1、南阳市一中2013年高三第四次周考高三数学试卷(理科)第卷（选择题共60分）一、 选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 复数的虚部为（ ）A. iB. - i C. 1D. -12. 在等差数列中，若，则=（ ）A. 13B. 14C. 15D. 163. 设则b-a=( )A. 1B. -1C. 2D. -24. 命题“存在”的否定是( )A. 不存在B. 存在C. 对任意的D. 对任意的5. 将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，则的值为（ ）A. B. -1C. D. 26不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围
2、为（ ）A BC D7.设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱长都为，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )A.B. C. D.8. 若平面区域是一个三角形，则的取值范围是( )A. B. C. D. 9. 已知双曲线过点(4，)，渐近线方程为yx，圆C经过双曲线的一个顶点和一个焦点且圆心在双曲线上，则圆心到该双曲线的中心的距离是 ( )A. B. C4 D. 10.若均为正实数，则的最大值为 ( )A. B. C. D. 11. 观察下列各式：则的末四位数字为( )A. 3125B. 5625C. 0625D. 812512已知以为周期的函数，其中。若方程恰有5个实数解，则的取值范围为（ ）
3、ABCD二、填空题：本大题共4个小题,每小题5分,共20分.13.已知则 .14.在边长为1的正三角形ABC中，设,则 .15.安排6个团队在某一天去旅游，有2个景点供选择，已知每个景点每天最多允许接纳4个团队，则共有 种安排方案.16.如图是某多面体的三视图，则这个多面体的体积为_.三、解答题：本大题共6个小题,共70分.17.( 本小题满分12分)设数列的前n项和为，其中（常数），且成等差数列.（1）求的通项公式;（2）设，问是否存在实数a,使数列为等比数列？若存在，求a的值；若不存在，请说明理由.18.（本小题满分12分）某商场在店庆日进行抽奖促销活动，当日在该店消费的顾客可参加抽奖抽奖
4、箱中有大小完全相同的4个小球，分别标有字“生”“意”“兴”“隆”顾客从中任意取出1个球，记下上面的字后放回箱中，再从中任取1个球，重复以上操作，最多取4次，并规定若取出“隆”字球，则停止取球获奖规则如下：依次取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球为一等奖；不分顺序取到标有“生”“意”“兴”“隆”字的球，为二等奖；取到的4个球中有标有“生”“意”“兴”三个字的球为三等奖（1）求分别获得一、二、三等奖的概率；（2）设摸球次数为，求的分布列和数学期望PDCABO19.( 本小题满分12分)如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD底面ABCD，侧棱PA=PD，底面ABCD为直角梯形，其中BCAD, A
5、BAD, AD=2AB=2BC=2, O为AD中点.（1）求证：PO平面ABCD；（2）求异面直线PB与CD所成角的余弦值；（3）线段AD上是否存在点Q，使得它到平面PCD的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 20.（ 本小题满分12分）设椭圆过M（2，），N（，1）两点，O为坐标原点.（1）求椭圆E的方程；（2）是否存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A，B，且？若存在，写出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理由.21.（本小题满分12分）已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）设.如果对任意，求的取值范围。选做题：本小题满分10分,请考
6、生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。22.如图所示，在中，的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E。（1）证明：；（2）若，AD，DC的长是方程的两根，证明：点D是外接圆的圆心。23.设函数其中(1)当时，求不等式的解集；(2)若不等式的解集为，求实数的值。 2013年第四次周考理数答案1-12 DACDA ABADA DB 13. -3 14. 15260 16.17.-得为首次为a，公比为2的等比数列.（2）若即当为等比数列。18.解：（）设“摸到一等奖、二等奖、三等奖”分别为事件A，B，C 1分则P(A)=， 2分 P(B) 4分三等奖的情况有：“生，生，
7、意，兴”；“生，意，意，兴”；“生，意，兴，兴”三种情况P(C)6分（）设摸球的次数为，则 7分， ， ， 10分故取球次数的分布列为1234 12分19.（1）证明：在PAD中PA=PD, O为AD中点，所以POAD, 又侧面PAD底面ABCD, 平面平面ABCD=AD, 平面PAD，所以PO平面ABCD.（2）解：以O为坐标原点，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz,依题意，易得A(0,-1,0),B(1,-1,0),C(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1), 所以，设异面直线PB与CD所成的角为，则所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为。（3）
8、假设存在点Q，使得它到平面PCD的距离为，由(2)知设平面PCD的法向量为则所以即，取 设 由点Q到平面PCD的距离为得,得解得 此时，所以存在点Q满足题意，此时.20.解：（1）将的坐标代入椭圆E的方程得解得所以椭圆E的方程为 （2）证明：假设满足题意的圆存在，其方程为，其中设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A（x1，y1），B（x2，y2）两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的方程为，将其代入椭圆E的方程并整理得由韦达定理得因为 ，所以 将代入并整理得联立得因为直线AB和圆相切，因此,由得所以 存在圆满足题意.当切线AB的斜率不存在时，易得由椭圆方程得显然，综上所述，存在圆满足题意.
9、解法一：当切线AB的斜率存在时，由得令，则，因此所以即.当切线AB的斜率不存在时，易得，所以综上所述，存在圆心在原点的圆满足题意，且.解法二：过原点O作，垂足为D，则D为切点，设，且为锐角，且,所以所以令，易证：当时，单调递减当时，单调递增. 故21.解：（）的定义域为（0，+）. .当时，0，故在（0，+）单调增加；当时，0，故在（0，+）单调减少；当-10时，令=0，解得.则当时，0；时，0.故在单调增加，在单调减少.（）不妨假设，而-1，由（）知在（0，+）单调减少，从而 ，等价于， 令，则等价于在（0，+）单调减少，即 对恒成立. 从而. 故a的取值范围为（-，-2. 22.证明：（1）由AD是的角平分线，可得，是同弧上的圆周角，即（2）由方程可得，从而方程有两根相等的根，即AD=DC故，点D为BC的中点，而BAC=900故BC为圆的直径，所以D是圆心。23.解析：(1)当时，可化为，解得故不等式的解集为(2)由 ，得，此不等式等价于不等式组或，即或，因为，所以不等式组的解集为，由题设可得。
