1、深圳外国语学校 2024 届高三第一次月考试题数学本试卷分选择题和非选择题两部分，共 4 页，满分 150 分，考试用时 120 分钟。注意事项：1答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、班级、座位号等相关信息填写在答题卷指定区域内。2选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卷的整洁第一
2、部分 选择题(共 60 分)一、单选题(本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的)1.已知全集 U=R，集合 A=xx 4 或 x 0，B=xx 4 或 x-2，则图中阴影部分表示的集合为()A-2,0B-2,0C-2,0 4D-2,0 42.若复数 z 所对应的点在第四象限，且满足 z2-2z+2=0，则 z2=()A.1+iB.1-iC.-2iD.2i3.已知 a b=-24，a+2b=(-5,2)，若 a 与 b 模相等，则 a =().A.3B.4C.5D.64.探照灯反射镜的纵断面是抛物线的一部分，光源放在焦点 F 处已知灯口
3、直径为 60cm，光源距灯口的深度为 40cm，则光源到反射镜的顶点的距离为A.5cmB.10cmC.15cmD.20cm5.设函数 f x=a-1x x-b+1 为奇函数且在 R 上为减函数，则关于 a,b 的值表述正确的是()A.a 1,b=1B.a 1,b 1C.a 1,b=1D.a 16.定义函数迭代：f0 x=xf1x=f xf2x=f f xfn+1x=f fnx已知 f x=3x+2，则 fnx=()A.3nx+3n-1B.3nx+3n+1C.3nx+3n-1D.3nx-3n+117.如图，F1 F2是双曲线 C：x2a2-y2b2=1 a 0,b 0的左右焦点，过 F2的直线与
4、双曲线 C 交于 A B 两点.若 A 是 BF2中点且 BF1 BF2则该双曲线的渐近线方程为()A.y=2 3xB.y=2 2xC.y=3xD.y=2x8.若 m R，对于 x a,b恒有 2m2-2 2sin x+4 m+sin2x 0，则 b-a 的最大值是()A.34B.C.43D.2二、多选题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得 5分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分)9.已知函数 f(x)和 g(x)分别为奇函数和偶函数，且 f(x)+g(x)=2x，则()A.f(x)-g(x)=2-xB.f(x)在定义
5、域(-,+)上单调递增C.f(x)的导函数 f(x)1D.g(x)110.给出下列说法，其中正确的是()A.数据 0，1，2，4 的极差与中位数之积为 6B.已知一组数据 x1,x2,xn的方差是 5，则数据 4x1-1,4x2-1,4xn-1 的方差是 20C.已知一组数据 x1,x2,xn的方差为 0，则此组数据的众数唯一D.已知一组不完全相同的数据 x1,x2,xn的平均数为 x0，在这组数据中加入一个数 x0后得到一组新数据 x0,x1,x2,xn，其平均数为 x，则 x=x011.已知函数 f x定义域为 R，f x+1是奇函数，g x=1-xf x，函数 g x在 1,+上递增，则
6、下列命题为真命题的是()A.f-x-1=-f x+1B.函数 g x在-,1上递减C.若 a 2-b 1，则 g 1 g b g a+1，则 a 2 时，不等式 2k x-2+f x 4 或 x-2，所以 A B=xx 4 或 x 0 xx 4 或 x-2=xx 4 或 x 0，A B=xx 4 或 x 0 xx 4 或 x-2=xx 4 或 x-2.由题意可知阴影部分对于的集合为 U A B A B，所以 U A B=x-2 x 4，U A B A B=x-2 0得 302=2p p2+40，解得 p=10,p2=5，所以光源到反射镜的顶点的距离为 5cm.故选：A5.C【详解】因为函数 f
7、 x=a-1x x-b+1 为 R 上的奇函数，且递减，所以 a-1 0 且 f-1=-f 1，即-a-1-b=-a-12-b，所以-b=2-b，解得 b=1，经检验符合题意，故 f x=a-1x x=a-1x2,x 0-a-1x2,x 0因为函数 f x=a-1x x 在 R 上为减函数，所以 a-1 0，所以 a 1.故选：C.6.A【详解】对于 x0 R，设 an=fnx0n N，则 a1=f1x0=f x0=3x0+2，且 an+1=3an+2，所以 an+1+1=3an+3=3 an+1，所以 an+1是以 3x0+3 为首项，公比为 3 的等比数列.an+1=fnx0+1=3x0+
8、33n-1=3nx0+3n，即 fnx0=3nx0+3n-1.所以 fnx=3nx+3n-1，故选：A.7.A【详解】设 AB=AF2=m,AF1=AF2+2a=m+2a,BF1=BF2-2a=2m-2a，BF12+BA2=AF12,BF12+BF22=F1F22,2m-2a2+m2=m+2a2，2m-2a2+4m2=4c2,由可得 m=3a,代入式化简得：13a2=c2,12a2=b2,ba=2 3,所以双曲线的渐近线方程为 y=ba x=2 3x.故选：A18.B【详解】由 2m2-2 2sin x+4 m+sin2x 0，得 m2-sinx+cosx m+sinx cosx 0，即 m-
9、sinxm-cosx 0,由几何意义可知，函数 y=m 的图像在函数 y=sinx，y=cosx 的图像之间，如下图所示，-22 m 22，要使 b-a 达到最大，仅需要 m=-22 或 m=22，此时 b-a=4-34=.故选：B.9.BD【详解】由 f(x)+g(x)=2x得 f(-x)+g(-x)=2-x，由于函数 f(x)和 g(x)分别为奇函数和偶函数，所以-f(x)+g(x)=2-x，因此 f x=2x-2-x2,g x=2x+2-x2，对于 A,f(x)-g(x)=-2-x,故 A 错误，对于 B，由于函数 y=2x在(-,+)单调递增，y=2-x在(-,+)单调递减，所以 f
10、x=2x-2-x2在(-,+)单调递增，故 B 正确，对于 C，f x=2xln2+2-xln22=2x+2-xln22 2 2x 2-xln22=ln2,当且仅当 x=0 时取等号，而 ln2 1，所以 C 错误，对于 D，g x=2x+2-x2 2 2x 2-x2=1，当且仅当 x=0 时取等号，所以 D 正确，故选：BD10.ACD【详解】对于 A，极差为 4-0=4，中位数为 1+22=32，所以极差与中位数之积为 4 32=6，A 对；对于 B，根据方差的性质可知，数据 4x1-1,4x2-1,4xn-1 的方差是 42 5=80，B 错；对于 C，由方差 s2=1nx1-x2+x2
11、-x2+xn-x2=0，可得 x1=x2=xn=x，即此组数据众数唯一，C 对；对于 D，x1+x2+xnn=x0,x1+x2+xn=nx0，x0+x1+x2+xnn+1=x0+nx0n+1=x0，D 对.故选：ACD11.BCD【详解】对于 A，因为 f x+1是奇函数，所以 f-x+1=-f x+1，故 A 错误；因为 f x+1是奇函数，所以 y=f x的图象关于点 1,0对称，即有 f x=-f 2-x，所以 g 2-x=1-2-xf 2-x=x-1f 2-x=(1-x)f(x)=g x，所以 y=g x的图象关于直线 x=1 对称，函数 g x在 x 1,+上单调递增，所以 g x在
12、 x -,1上单调递减，故 B 正确；因为 a 2-b 1，所以 g 1 g 2-b g a，即 g 1 g b g a+1，且 a a+1，由函数 y=g x的图象关于直线 x=1 对称，得 a+a+12 1，解得 a b 0)，因为 OAB 是以半焦距为边长的正三角形，根据椭圆的对称性，可知 AB 平行于 x 轴或 AB 平行于 y 轴；当 AB 平行于 x 轴时，A,B 关于 y 轴对称，不妨设点 A 在第一象限，所以 AOx=60，OA=c，所以 A c2,3c2，所以 c24a2+3c24b2=1，即 c2(a2-c2)+3a2c2=4a2(a2-c2)，所以 c4-8a2c2+4a
13、4=0，即 e4-8e2+4=0，解得 e2=4-2 3 或 e2=4+2 3(因为 0 e 1，故舍去)，所以 e=3-1；当 AB 平行于 y 轴时，A,B 关于 x 轴对称，所以 AOx=30，OA=c，不妨设点 A 在第一象限，所以 A3c2,c2，所以 3c24a2+c24b2=1，即 3c2(a2-c2)+a2c2=4a2(a2-c2)，即 3c4-8a2c2+4a4=0，所以 3e4-8e2+4=0，而 0 e 0，设 A x1,y1、B x2,y2，则 y1+y2=4m，y1y2=-4，y1-y2=16m2+16，-7 分x1+x2=m y1+y2+2=4m2+2，-8 分则
14、AB=1+m2 y1-y2=4 1+m2，-9 分线段 AB 的中点坐标为 2m2+1,2m，中垂线方程为 y-2m=-m x-2m2-1，令 y=0，解得 x=3+2m2，即中垂线与 x 轴交于 P 3+2m2,0，-10 分所以 FP=2+2m2，-11 分则 FPAB=12.-12 分20.【详解】(1)由题意得 BQ=20m，QC=10m，B=C=4，MQN=2，BAC=2，四边形内角和等于 2，所以 AMQ+ANQ=，又 AMQ+BMQ=,ANQ+CNQ=，-1 分 CNQ+BMQ=，sinCNQ=sinBMQ，-2 分在 BMQ 中，由正弦定理得 MQsinB=BQsinBMQ，-
15、3 分在 CQN 中，由正弦定理得 NQsinC=CQsinCNQ，-4 分 MQNQ=BQQC=2，证毕；-5 分(2)由题意得 AB=AC=15 2m，故 SABC=12 AB AC=225 m2，-6 分 MQN=2，NQC=，BQM=2-，C=4，QNC=34-，-7 分设 QN=xm，则 QM=2xm，在 CQN 中，由正弦定理得 NQsinC=CQsinCNQ，即xsin 4=10sin 34-，解得 x=10sin 4sin 34-=5 2sin 34-，-8 分由三角形面积公式得 SCNQ=12 CQ QNsinCQN=5xsin，SBMQ=12 BQ QMsinBQM=20
16、xsin 2-=20 xcos，-9 分故 SCNQ+SBMQ=5xsin+20 xcos=12 SABC=2252，x=452 sin+4cos，-10 分由得5 2sin 34-=452 sin+4cos，化简得 sin+4cossin+cos=92，-11 分分子分母同除以 cos 得 tan+4tan+1=92，解得 tan=-17-12 分521.【详解】(1)X 的取值可能为 1，2，3，4，5，6-1 分P(X=1)=P(X=6)=125=132，P(X=2)=P(X=5)=C15 12 124=532，P(X=3)=P(X=4)=C25122123=516 -2 分因为 Y=|
17、20-5X|，所以 Y 的取值可能为 0，5，10，15P(Y=0)=P(X=4)=516，P(Y=5)=P(X=3)+P(X=5)=1532，P(Y=10)=P(X=2)+P(X=6)=316，P(Y=15)=P(X=1)=132 -3 分Y 的分布列为Y051015P5161532316132E(Y)=0 516+5 1532+10 316+15 132=7516 4.7，-4 分则顾客玩一次游戏，立减金额的均值约为 4.7 元，又该商品成本价是 10 元，所以该商品的最低定价约为 15 元-5 分(2)由(1)得 P(X=3)=516 进行 79 次试验，设小球落入 3 号球槽的个数为，
18、则 B 79,516-6 分P(=k)P(=k-1)=1+(79+1)516-kk 1-516=1+25-k11k16-8 分当 k 1，即 P(=k)P(=k-1)；-9 分当 k=25 时，P(=k)P(=k-1)=1，即 P(=k)=P(=k-1)；-10 分当 k 25 时，P(=k)P(=k-1)1，即 P(=k)0，x=1-lnxx2，令 x=0 得 x=e，-2 分当 0 x 0，当 x e 时，x 0，可知 x在 0,e上单调递增，在 e,+上单调递减，-3 分所以 xmax=e=1e，又当 0 x 1 时，x 1 时，x 0，根据以上信息，作出 x的大致图象，-4 分则由题意
19、可知 y=2a 与函数 x的图象有两个不同的交点，2a 0,1e，a 0,12e.-5 分6(2)当 a=1 时，f x=-xlnx+x2+x，由 2k x-2+f x g x得 2k x-2 2，所以 2k 2，则 F x=x-4-2lnxx-22，-7 分令 m x=x-4-2lnx x 2，则 m x=1-2x 0，所以 m x在 2,+上单调递增，-8 分又 m 8=4-2ln8 6-2lne3=0，所以 m x在 8,10上有唯一的零点 x0，即 x0-4-2lnx0=0，-9 分当 2 x x0时，m x 0，即 F x x0时，m x 0，即 F x 0，所以 F xmin=F x0=x0lnx0+x0 x0-2=x0 1+x0-42x0-2=x02，-10 分所以 2k x02，又 x0 8,10，所以 x02 4,5，-11 分又 k N*，所以 k 的最大值为 2.-12 分7
