1、34基本不等式：目标 1.了解基本不等式的代数式和几何背景；2.会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式；3.会用基本不等式求最值和解决简单的实际问题重点 基本不等式的简单应用难点 基本不等式的理解与应用知识点一 两个不等式 填一填1重要不等式：对于任意实数a，b，有a2b22ab，当且仅当ab时，等号成立2基本不等式：如果a，bR，那么，当且仅当ab时，等号成立其中为a，b的算术平均数，为a，b的几何平均数所以两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数答一答1不等式a2b22ab和基本不等式成立的条件有什么不同？提示：不等式a2b22ab对任意实数a，b都成立；中要求a，b都是正实数知
2、识点二 基本不等式与最值 填一填已知x，y都是正数，(1)若xys(和为定值)，则当xy时，积xy取得最大值 (2)若xyp(积为定值)，则当xy时，和xy取得最小值答一答2利用基本不等式求最值时，我们应注意哪些问题？提示：(1)在利用基本不等式具体求最值时，必须满足三个条件：各项均为正数；含变数的各项的和(或积)必须是常数；当含变数的各项均相等时取得最值三个条件可简记为：一正、二定、三相等这三个条件极易遗漏而导致解题失误，应引起足够的重视(2)记忆口诀：和定积最大，积定和最小3在多次使用基本不等式求最值时，我们应注意什么问题？提示：在连续多次应用基本不等式时，我们要注意各次应用时不等式取等号
3、的条件是否一致，若不能同时取等号，则需换用其他方法求出最值4两个正数的积为定值，它们的和一定有最小值吗？提示：不一定应用基本不等式求最值时还要求等号能取到如sinx与，x(0，)，两个都是正数，乘积为定值但是由0sinx15，等号不成立，取不到最小值类型一 利用基本不等式证明不等式例1(1)已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：abc.(2)已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.分析(1)左边是和式，右边是带根号的积式之和，所以用基本不等式，将和变积，并证得不等式(2)不等式右边数字为8，使我们联想到左边因式分别使用基本不等式，可得三个“2”连乘，又1，可由此变形入手证明(1)a0，
4、b0，c0，ab20，bc20，ca20.2(abc)2()，即abc.由于a，b，c为不全相等的正实数，故等号不成立abc.(2)a，b，c为正实数，且abc1，1，同理1，1.由上述三个不等式两边均为正，分别相乘，得8.当且仅当abc时，等号成立1.利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.2.注意多次运用基本不等式时等号能否取到.3.解题时要注意技巧，当不能直接利用不等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用基本不等式的形式.变式训练1已知a0，b0，c0，且abc1.求证：9.
5、证明：因为a0，b0，c0，且abc1，所以3332229，当且仅当abc时，取等号类型二 利用基本不等式求最值例2(1)若x0，求f(x)4x的最小值；(2)设0x2，求x的最小值；(4)已知x0，y0，且1，求xy的最小值分析利用基本不等式求最值，当积或和不是定值时，通过变形使其和或积为定值，再利用基本不等式求解解(1)x0，由基本不等式得f(x)4x2212，当且仅当4x，即x时，f(x)4x取最小值12.(2)0x0，y4x(32x)22x(32x)22.当且仅当2x32x，即x时取“”y的最大值为.(3)x2，x20，x(x2)2226.当且仅当x2，即x4时，x取最小值6.(4)x
6、0，y0，1，xy(xy)1010216.当且仅当且1时等号成立即x4，y12时等号成立当x4，y12时，xy有最小值16.求最值问题第一步就是“找”定值，观察、分析、构造定值是问题的突破口.找到定值后还要看“”是否成立，不管题目是否要求写出符号成立的条件，都要验证“”是否成立.变式训练2(1)已知lgalgb2，求ab的最小值；(2)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值解：(1)由lgalgb2可得lgab2，即ab100，且a0，b0，因此由基本不等式可得ab2220，当且仅当ab10时，ab取到最小值20.(2)x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)22，当且仅当2x3y，且2
7、x3y6时等号成立，即x，y1时，xy取到最大值.类型三 基本不等式的实际应用例3特殊运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按规定限制50x100(单位：千米/时)假设汽油的价格是每升6元，而送货卡车每小时耗油升，司机的工资是每小时140元(1)求这次行车总费用y关于x的表达式(2)当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值解(1)设所用时间为t(小时)，y6140，x50,100所以，这次行车总费用y关于x的表达式是y，x50,100(2)y，当且仅当，即x450,100时，等号成立故当x4千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为元解实际问题时，首先审清题意，然后
8、将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题.用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行：(1)先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.(3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值.(4)正确写出答案. 变式训练3要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是160(单位：元)解析：设该长方体容器的长为x m，则宽为 m又设该容器的总造价为y元，则y204210，即y8020(x0
9、)因为x24，所以ymin80204160(元)1给出下列条件：ab0；ab0，b0；a0，b0，则下列不等式中，恒成立的是(D)Aa2b22ab Bab2C D2解析：a，bR，且ab0，0，0，22.当且仅当，即ab时取等号3设a，b为实数，且ab3，则2a2b的最小值为(B)A6 B4C2 D8解析：2a2b224.4已知0x0，b0，c0，求证：(1)6；(2)8.证明：(1)()()()2226(当且仅当abc时取“”)(2)8(当且仅当abc时取“”)本课须掌握的两大问题1基本不等式成立的条件：a0且b0；其中等号成立的条件：当且仅当ab时取等号，即若ab时，则，即只能有0，b0；(2)二定：化不等式的一边为定值；(3)三相等：必须存在取“”号的条件，即“”号成立以上三点缺一不可若是求和式的最小值，通常化(或利用)积为定值；若是求积的最大值，通常化(或利用)和为定值，其解答技巧是恰当变形，合理拆分项或配凑因式
