1、秦皇岛市第一中学2020-2021学年第二学期第一次月考高二数学试卷 注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上 。2. 将答案涂写在答题卡上，写在本试卷上无效。3. 考试时间120分钟，满分150分。一、选择题（本题有12小题，每题5分。每小题只有一个正确答案）1若复数满足，其中为虚数单位，则复数的虚部为A1BCD2命题：“，”的否定为A，B，C， D，3已知等差数列的前项和为，公差为3，若，成等比数列，则A25B30C35D404在中，若，且三角形面积为，则最小边长为A3B6C9D125、两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局队获胜
2、的概率是外，其余每局比赛队获胜的概率都是假设各局比赛结果相互独立则队以获得比赛胜利的概率为ABCD6已知，且，则曲线在点处的切线方程为ABCD7在的展开式中，只有第7项的二项式系数最大，则展开式常数项是ABCD288设，若是的必要不充分条件，则的取值范围是A，B，CD，9一个盒子内装有3个红球，4个白球，从盒子中取出两个球，已知一个球是红球，则另一个也是红球的概率是ABCD10三名男生和三名女生站成一排照相，男生甲与男生乙相邻，且三名女生中恰好有两名女生相邻，则不同的站法共有A72种B108种C36种D144种11在棱长为1的正方体中，已知点是正方形内部（不含边界）的一个动点，若直线与平面所成
3、角的正弦值和异面直线与所成角的余弦值相等，则线段长度的最小值是A B C D12已知双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，若在双曲线的渐近线上存在点，使得，则双曲线的离心率的取值范围是ABCD二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）13已知，则14从1，3，5中任取2个数字，从2，4，6中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数有 个15在三棱锥中，是边长为的等边三角形，二面角的大小为，则此三棱锥的外接球的半径为16分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学分形的外表结构极为复杂，但其内部却是有规律可寻的一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，即一
4、种基于递归的反馈系统下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段的长度为，在线段上取两个点，使得，以为一边在线段的上方做一个正六边形，然后去掉线段，得到图2中的图形；对图2中的最上方的线段作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图形：记第个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为，给出有关数列的四个命题：数列是等比数列；数列是递增数列；存在最小的正数，使得对任意的正整数，都有；存在最大的正数，使得对任意的正整数，都有其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号）三、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.（10分）万众瞩目
5、的第14届全国冬季运动运会（简称“十四冬” 于2020年2月16日在呼伦贝尔市盛大开幕，期间正值我市学校放寒假，寒假结束后，某校工会对全校100名教职工在“十四冬”期间每天收看比赛转播的时间作了一次调查，得到如图所示的频率分布直方图.男女合计冰雪迷20非冰雪迷20合计（1）若将每天收看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，请根据频率分布直方图补全列联表；并判断能否有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关；（2）在（1）的条件下，从全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，再从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座记其中女职工的人数为，求的分布
6、列与方差附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828，18.（12分）在，三个条件中选一个，补充在下面的横线处，然后解答问题在中，角，所对的边分别是，设的面积为，已知_（1）求角的值；（2）若，点在边上，为的平分线，求的值注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.19.（12分）已知数列满足，且（1）证明：数列为等比数列；（2）设，求数列的前项和为20（12分）在创建“全国文明卫生城”过程中，运城市“创城办”为了调查市民对创城工作的了解情况，进行了一次创城知识问卷调查（一位市民只能参加
7、一次），通过随机抽样，得到参加问卷调查的100人的得分统计结果如表所示：组别，频数212202524134（1） 由频数分布表可以大致认为，此次问卷调查的得分，近似为这100人得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表），利用该正态分布，求；（2）在（1）的条件下，“创城办”为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案：得分不低于的可以获赠2次随机话费，得分低于的可以获赠1次随机话费；每次获赠的随机话费和对应的概率为：赠送话费的金额（单位：元）2050概率现有市民甲参加此次问卷调查，记（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费，求的分布列与数学期望附：参考数据与公式：，若，则；，21.（
8、12分）如图1，平面四边形，点在边上，且是边长为2的正方形沿着直线将折起，使平面平面（如图，已知，分别是棱，的中点，是棱上一点（1）求证：平面平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为时，求锐二面角的余弦值22.（12分）已知椭圆的右焦点为，左、右顶点分别为，椭圆上异于顶点的动点满足直线与的斜率之积为（1）求椭圆的方程（2）过点的直线与椭圆交于，两点，其中，点与不重合）在轴上，直线，分别与轴交于，是否存在定点，使得恒成立？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由数学答案一、选择题15 ACCDA 610 BBBBD 1112 CA二、填空题13. 1 14. 36 15. 16. 11【解
9、答】以为坐标原点，所在直线为，轴建立空间直角坐标系，可设，0，由，0，1，0，0，1，0，设直线与平面所成角为和异面直线与所成角为，可得，由，可得，则，当时，线段长度的最小值为故选：12【解答】双曲线的右顶点为，抛物线的焦点为，双曲线的渐近线方程为，可设，即有，由，得，可得，即为，化为，由题意可得，即有，即，则由，可得故选：16.【解答】解：由题意，得图1中的线段为，图2中的正六边形边长为，；图3中的最小正六边形的边长为，图4中的最小正六边形的边长为，由此类推，为递增数列，但不是等比数列，即错误，正确，因为，即存在最大的正数使得对任意的正整数，都有即正确，错误，故填17.【解答】（1）将每天收
10、看比赛转播时间不低于3小时的教职工定义为“冰雪迷”，否则定义为“非冰雪迷”，根据频率分布直方图补全列联表：男女合计冰雪迷402060非冰雪迷202040合计6040100，有的把握认为该校教职工是否为“冰雪迷”与“性别”有关（2）在全校“冰雪迷”中按性别分层抽样抽取6名，则抽中男教工：人，抽中女教工：人，从这6名“冰雪迷”中选取2名作冰雪运动知识讲座记其中女职工的人数为，则的可能取值为0，1，2，的分布列为： 0 1 2 数学期望方差18.【解答】（1）选，则由余弦定理可得：，整理可得，可得，因为，所以选，可得，即，所以，因为，可得选，可得：，可得，可得：，因为，所以，可得（2）因为，所以即所
11、以19.【解答】（1）证明：因为数列满足，所以，整理得，即（常数）所以数列是以6为首项，2为公比的等比数列（2）由（1）知，即所以20.【解答】（1）故，易知又故（2）由题意一位市民得分高于或低于的概率各为该市民参与活动获赠话费的可能取值为20，40，50，70，100；故的分布列为：20405070100所以故该市民参与活动获赠话费的数学期望为41.25元21.【解答】（1）证明：因为平面平面，平面平面，所以平面，又因为平面，所以，因为，所以，因为，所以平面，又因为平面，所以平面平面（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系，设，2，0，0，1，2，1，0，1，平面的法向量为，0，设直线与平面所成的角，所以，解得，设平面和平面的法向量分别为，令，令，1，所以锐二面角的余弦值为22.【解答】（1）设，则由，得，即结合得又由右焦点，得，所以，所以椭圆的方程为（2）设存在定点，使得恒成立显然直线的斜率不为0，故设直线，消去得，即由题意可知，存在且不为0，则要使恒成立，只需，即，故所以在轴上存在定点，使得恒成立
