1、安徽省六安市舒城中学2021届高三数学下学期4月仿真试题（一）理考试时间：120分钟 满分：150分注意事项：1答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的校名、姓名、考号、座位号等相关信息填写在答题卡指定区域内，并用2B铅笔填涂相关信息。2选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；不能答在试卷上。3非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4考生必须保持答题卡的整洁。一、单项选
2、择题：本题共12小题，每小题5分，共60分1设集合，则（ ）A(，4 B(，4) C(0，2) D0，2)2. 已知复数z与均是纯虚数，则z的虚部为（ ）A. B. 2 C. D. 3已知直线，和平面，且，则是的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ ）A B C D5函数在处的切线方程为（ ）AB C D6我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.则估计全市
3、居民月均用水量的中位数是（ ）A. 2.25吨B. 2.24吨 C. 2.06吨 D. 2.04吨第6题图7某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值舒中高三仿真试卷（一）理数 第2页 （共4页）是，则 ( )A. B. C. D.8函数的图象大致是 （ ）A B C D.9九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ ）A B C D10. 已知点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若
4、则p的值为 （ ）A. 1或B. 或3C. 3或D. 1或11点C，D是平面内的两个定点，点在平面的同一侧，且，若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体ABCD的说法中，不正确的是 （ ）A点A在空间中的运动轨迹是一个圆 B面积的最小值为2C四面体ABCD体积的最大值为D当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为12已知点是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为 （ ）A B C D 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中的常数项是_14已知、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为 15
5、已知数列的前n项和，则的最大值为 16如图，等腰所在平面为，.是的重心.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是_ 四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，角，的对边分别是，且（）求；（）若，的面积为，求.18.（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面为菱形，平面（1）若点是的中点，求证：；（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由19（本小题满分12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤
6、害.每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度/21232527293235平均产卵数/个71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714表中，（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地年平均温度达到28以上时红铃虫会受到严重伤害，需要人工防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的
7、概率为.（）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.（）当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数舒中高三仿真试卷（一）理数 第4页 （共4页）为，求的数学期望和方差.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.20（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，是坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线：与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于C,D两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值21（本小题满分12分）已知函数（1）若，函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）设，若存在使，求证：且（二）
8、选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.23选修44：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数，.（）当时，解不等式；（）当时，恒成立，求实数的取值范围.舒城中学2021届高三仿真试卷（一）理科数学考试时间：120分钟 满分：150分第一部分 选择题一、单项选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，
9、在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设集合，则（ A ）A(，4 B(，4) C(0，2) D0，2)2. 已知复数z与均是纯虚数，则z的虚部为（ A ）A. B. 2C. D. 3已知直线，和平面，且，则是的（ B ）A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件4已知是两个夹角为的单位向量，则的最小值为（ D ）A B C D5函数在处的切线方程为（ C ）ABCD6我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照，分成9组，制成了如图所示的频率
10、分布直方图.则估计全市居民月均用水量的中位数是（ D ）A. 2.25吨B. 2.24吨C. 2.06吨D. 2.04吨7某程序框图如图所示，若该程序运行后输出的值是，则( B )A. B. C. D.开始S=1，k=1ka?S=S+k=k+1输出S结束是否（第7题图）第6题图8函数的图象大致是（ A ）A B D D.9九章算术是我国古代数学名著，也是古代东方数学的代表作书中有如下问题：“今有勾八步，股十五步，问勾中容圆径几何？”其意思是“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步，问其内切圆的直径是多少？”现若向此三角形内投豆子，则落在其内切圆内的概率是（ A ）A B C D10. 已知
11、点为抛物线上一点，F为抛物线的焦点，O为坐标原点，若则p的值为（ C ）A. 1或B. 或3C. 3或D. 1或11点C，D是平面内的两个定点，点在平面的同一侧，且，若与平面所成的角分别为，则下列关于四面体ABCD的说法中，不正确的是（ C ）A点A在空间中的运动轨迹是一个圆 B面积的最小值为2C四面体ABCD体积的最大值为D当四面体ABCD的体积达最大时，其外接球的表面积为12已知点是函数的图象和函数图象的连续三个交点，若是锐角三角形，则的取值范围为（ A ）A B C D 第二部分 非选择题三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13. 的展开式中的常数项是_【答案】-2614已知
12、、双曲线的左、右焦点，A、B为双曲线上关于原点对称的两点，且满足，则双曲线的离心率为 15已知数列的前n项和，则的最大值为 15、 16如图，等腰所在平面为，.是的重心.平面内经过点的直线将分成两部分，把点所在的部分沿直线翻折，使点到达点（平面）.若在平面内的射影恰好在翻折前的线段上，则线段的长度的取值范围是_ 【答案】【详解】因为等腰所在平面为.是的重心所以可得连接在中，当与重合时最大为此时 最小，与重合作于此时最小为最大为的长度的取值范围是故答案为.四、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（本小题满分12分）在中，角，的对边分别是，且（）求；（）若，的面积为，求.【答
13、案】（1）；（2）.【分析】（1）由于，代入化简得 可得答案；（2）由已知得，结合余弦定理得，由面积公式可得答案.【详解】（1）由于，所以，化简得 ，因为，所以，所以，.（2）由（1）得得，由已知条件，得，由余弦定理得，且，得，由面积公式，即解得.【点睛】本题考查了利用两角和公式、余弦定理、面积公式解三角形，关键点是利用公式熟练进行边角之间的转换和计算.18.（本小题满分12分）如图，在四棱台中，底面为菱形，平面（1）若点是的中点，求证：；（2）棱上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由【解析】（1）取中点，连接、，因为四边形为菱形，则，为等边三角形，为的
14、中点，则，由于平面，以点为坐标原点，以、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，如图： 则、，；（2）假设点存在，设点的坐标为，其中，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，平面的一个法向量为，所以，解得，又由于二面角为锐角，由图可知，点在线段上，所以，即因此，棱上存在一点，使得二面角余弦值为，此时.【点睛】方法点睛：立体几何开放性问题求解方法有以下两种：（1）根据题目的已知条件进行综合分析和观察猜想，找出点或线的位置，然后再加以证明，得出结论；（2）假设所求的点或线存在，并设定参数表达已知条件，根据题目进行求解，若能求出参数的值且符合已知限定的范围，则存在这样的点或线，否则不存在19（本
15、小题满分12分）红铃虫是棉花的主要害虫之一，能对农作物造成严重伤害.每只红铃虫的平均产卵数和平均温度有关.现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.平均温度/21232527293235平均产卵数/个71121246611532527.42981.2863.61240.182147.714表中，（1）根据散点图判断，与（其中为自然对数的底数）哪一个更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型？（给出判断即可不必说明理由）并由判断结果及表中数据，求出关于的回归方程.（计算结果精确到小数点后第三位）（2）根据以往统计，该地年平均温度达到28以上时红铃虫会受到严重伤害，需要人工
16、防治，其他情况均不需要人工防治，记该地每年平均温度达到28以上的概率为.（）记该地今后5年中，恰好需要3次人工防治的概率为，求的最大值，并求出相应的概率.（）当取最大值时，记该地今后5年中，需要人工防治的次数为，求的数学期望和方差.附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为：，.【答案】（1）更适宜；（2）（i），此时相应的概率为；（ii），.【解析】（1）根据散点图可以判断更适宜作为平均产卵数关于平均温度的回归方程类型.对两边取自然对数得，令，得.因为，所以，所以，所以关于的回归方程为.（2）（）由，得，因为，令得，解得；令得，解得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以有
17、唯一极大值，也为最大值.所以当时，此时响应的概率.（）由（）知，当取最大值时，所以，所以，.【点睛】关键点睛：解题关键在于利用回归方程，期望和方差的公式，结合导数性质进行求解即可20（本小题满分12分）已知离心率为的椭圆与抛物线有相同的焦点，是坐标原点（1）求椭圆的标准方程；（2）已知直线：与抛物线交于A,B两点，与椭圆交于C,D两点，若的内切圆圆心始终在直线上，求面积的最大值【解析】（1）由题抛物线的方程为抛物线的焦点为，1分故.2分又因为椭圆离心率为，即，得.3分椭圆的方程为. 4分（2）因为的内切圆圆心始终在直线上，即平分.设直线的斜率分别为因为垂直于x轴，故 5分设，则.， ，即. 5
18、分，即. 6分将直线与联立，可得，由题，故 7分将直线与联立，可得，由题，故，故 8分设，则 则 9分坐标原点O到直线l的距离为，故的面积 . 10分，故当时， 12分21（本小题满分12分）已知函数（1）若，函数在区间上是增函数，求实数的取值范围；（2）设，若存在使，求证：且【解析】（1）当，-1分在由题意对恒成立，-2分而故.即实数的取值范围为； 4分（2）因为，所以若，则，在上是递增，不符合题意，故必有-6分由（1）知在区间上是增函数，所以，则-8分由得故欲证-10分综上：且12分（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，曲线过点，其参数方程为（为参数，）.以为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；（）已知曲线与曲线交于两点，且，求实数的值.23选修44：不等式选讲（本小题满分10分）已知函数，.（）当时，解不等式；（）当时，恒成立，求实数的取值范围.
