1、第六章 不等式、推理与证明第一节不等关系与不等式对应学生用书P85基础盘查一 两个实数比较大小的方法(一)循纲忆知1了解现实世界和日常生活中的不等关系；2了解不等式(组)的实际背景(二)小题查验判断正误(1)不等关系是通过不等式来体现的，离开了不等式，不等关系就无从体现()(2)两个实数 a，b 之间，有且只有 ab，ab，ab 三种关系中的一种()(3)若ab1，则 ab()答案：(1)(2)(3)基础盘查二 不等式的基本性质(一)循纲忆知掌握不等式的性质及应用(二)小题查验1判断正误(1)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变()(2)一个非零实数越大，则其倒数就越小()(
2、3)同向不等式具有可加和可乘性()(4)ab0，cd0adbc()(5)若 ab0，则 ab1a1b答案：(1)(2)(3)(4)(5)2(人教 A 版教材习题改编)用不等号“”或“”填空：(1)ab，cdac_bd；(2)ab0，cd0ac_bd；(3)ab03 a_3 b；(4)ab01a2_ 1b2.答案：(1)(2)(3)(4)对应学生用书P85 考点一 比较两个数式的大小(基础送分型考点自主练透)必备知识两个实数比较大小的法则关系法则作差法则作商法则abab0ab1(a，b0)或ab1(a，b0)abab0ab1(b0)abab0ab1(a，b0)或ab1(a，b0)题组练透1已知
3、a1，a2(0,1)，记 Ma1a2，Na1a21，则 M 与 N 的大小关系是()AMNCMND不确定解析：选 B MNa1a2(a1a21)a1a2a1a21a1(a21)(a21)(a11)(a21)，又a1(0,1)，a2(0,1)，a110，a210，即 MN0.M N.2.若 aln 22，bln 33，则 a_b(填“”或“”)解析：易知 a，b 都是正数，ba2ln 33ln 2log891，所以 ba.答案：3若实数 a1，比较 a2 与 31a的大小解：a2 31aa2a11aa2a1a1.当 a1 时，a2 31a；当 a1 时，a2bbb，bcac.(3)可加性：aba
4、cbc.(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb，cdacbd.(6)乘法法则：ab0，cd0acbd.(7)乘方法则：ab0anbn(nN，n2)(8)开方法则：ab0n an b(nN，n2)2不等式的倒数性质(1)ab，ab01a1b.(2)a0b1ab0,0cbd.提醒 不等式两边同乘数 c 时，要特别注意“乘数 c 的符号”典题例析1(2013天津高考)设 a，bR 则“(ab)a20”是“ab0，则下列不等式不成立的是()A.1a|b|Cab2 abD.12ab0，1a|b|，ab2 ab，又 2a2b，12a 12b，选 C.2若 a0ba，cd0，则下列结论：adbc
5、；adbc0；acbd；a(dc)b(dc)中成立的个数是()A1B2C3D4解析：选 C 法一：a0b，cd0，ad0，bc0，adbc，故错误a0ba，ab0，cd0，cd0，a(c)(b)(d)，acbd0，adbcacbdcd0，故正确cd，cd，ab，a(c)b(d)，acbd，故正确ab，dc0，a(dc)b(dc)，故正确，故选 C.法二：取特殊值考点三 不等式性质的应用(题点多变型考点全面发掘)一题多变典型母题已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2，2f(1)4.求 f(2)的取值范围解 f(1)ab，f(1)ab.f(2)4a2b.设 m(ab)n(ab)4a2b.则
6、mn4，mn2，解得m1，n3.f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1)1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10.即 f(2)的取值范围为5,10.题点发散 1 若本例中条件变为：已知函数 f(x)ax2bx，且 1f(1)2,2f(1)4，求 f(2)的取值范围解：由本例知 f(2)f(1)3f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故 5f(2)0a；0ab；a0b；ab0 中，能推出1a1b成立的有()A1 个B2 个C3 个D4 个解析：选 C 1a1b成立，即baab 0 成立，逐个验证可得，满足题意5若1a1b0，则下列结论不正确的是()Aa2b2Bab
7、b2Cab|ab|解析：选 D 1a1bab.a2b2，abb2，abb，则 ac2bc2；若 ac2bc2，则 ab；若 ab，则 a2cb2c.其中正确命题的序号是_解析：若 c0 则命题不成立正确中由 2c0 知成立答案：8若 13，4 2，则|的取值范围是_解析：4 2，0|4.4|0.3|3.答案：(3,3)9已知 ab0，则ab2 ba2与1a1b的大小关系是_解析：ab2ba21a1b abb2 baa2(ab)1b2 1a2 abab2a2b2.ab0，(ab)20，abab2a2b20.ab2ba21a1b.答案：ab2ba21a1b10已知存在实数 a 满足 ab2aab，
8、则实数 b 的取值范围是_解析：ab2aab，a0，当 a0 时，有 b21b，即b21，b1，解得 b1；当 a0 时，有 b21b，即b21，无解综上可得 b1.答案：(，1)三、解答题11若 ab0，cd0，e0.求证：eac2ebd2.证明：cd0，cd0.又ab0，acbd0.(ac)2(bd)20.01ac21bd2.又e0，eac2ebd2.12某单位组织职工去某地参观学习需包车前往甲车队说：“如果领队买一张全票，其余人可享受 7.5 折优惠”乙车队说：“你们属团体票，按原价的 8 折优惠”这两个车队的原价、车型都是一样的，试根据单位去的人数比较两车队的收费哪家更优惠解：设该单位
9、职工有 n 人(nN*)，全票价为 x 元，坐甲车需花 y1 元，坐乙车需花 y2 元，则 y1x34x(n1)14x34xn，y245nx.所以 y1y214x34xn45nx14x 120nx14x1n5.当 n5 时，y1y2；当 n5 时，y1y2；当 n5 时，y1y2.因此当单位去的人数为 5 人时，两车队收费相同；多于 5 人时，甲车队更优惠；少于 5人时，乙车队更优惠第二节一元二次不等式及其解法对应学生用书P87基础盘查 一元二次不等式(一)循纲忆知1会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型；2通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系；3会解一元二次不等
10、式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图(二)小题查验1判断正误(1)不等式 ax2x10 一定是一元二次不等式()(2)一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集就是二次函数 yax2bxc(a0)的图象在 x 轴上方时点的横坐标 x 的集合()(3)一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集为 R 时，ax2bxc0 恒成立()(4)若一元二次方程 ax2bxc0 的解是 x1，x2，且 x1x2，则 ax2bxc0 的解集为x|xx1或xx2()答案：(1)(2)(3)(4)2不等式组x24x30的解集是()A(2,3)B.1，32(2,3)C.，32(3，)D(，1)(2，
11、)解析：选 B x24x30，1x0，(x2)(2x3)0，x2，原不等式组的解集为1，32(2,3)3(人教 A 版教材例题改编)不等式x22x30 的解集为_答案：4已知集合 Ax|5x1，集合 BxR|(xm)(x2)0，且 AB(1，n)，则 m_，n_.答案：1 1对应学生用书P87 考点一 一元二次不等式的解法(基础送分型考点自主练透)必备知识设一元二次不等式为 ax2bxc0(a0)，其中 b24ac，x1，x2 是方程 ax2bxc0(a0)的两个根且 x1x2.(1)当 a0 时，若 0，则不等式的解集为x|xx1，或 xx2；若 0，则不等式的解集为xxR，且x b2a；若
12、 0，则不等式的解集为 R.(2)当 a0 时，若 0，则不等式的解集为x|x1xx2；若 0，则不等式的解集为；若 0，则不等式的解集为.题组练透1已知不等式 x22x30 的解集为 A，不等式 x2x60 的解集为 B，不等式 x2axb0 的解集为 AB，则 ab 等于()A3 B1C1D3解析：选 A 由题意得，Ax|1x3，Bx|3x2，ABx|1x2，由根与系数的关系可知，a1，b2，则 ab3，故选 A.2解下列不等式：(1)3x22x80；(2)0 x2x24；(3)x24ax5a20(a0)解：(1)原不等式可化为 3x22x80，即(3x4)(x2)0.解得2x43，所以原
13、不等式的解集为x2x43.(2)原不等式等价于x2x20，x2x24x2x20，x2x60 x2x10，x3x20 x2或x1，2x3.借助于数轴，如图所示，原不等式的解集为x|2x1或2x3.(3)由 x24ax5a20 知(x5a)(xa)0.由于 a0 故分 a0 与 a0 讨论当 a0 时，x5a 或 xa；当 a0 时，xa 或 x5a.综上，a0 时，解集为x|x5a或xa；a0 时，解集为x|x5a或xa.类题通法1解一元二次不等式的一般步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式(2)判：计算对应方程的判别式(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有
14、没有实根(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式时分类讨论的依据(1)二次项中若含有参数应讨论是等于 0，小于 0，还是大于 0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时，讨论判别式 与 0 的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式提醒 当不等式中二次项的系数含有参数时，不要忘记讨论其等于 0 的情况考点二 一元二次不等式恒成立问题(常考常新型考点多角探明)必备知识一元二次不等式恒成立的条件(1)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0
15、，c0，或a0，0.(2)不等式 ax2bxc0 对任意实数 x 恒成立ab0，c0，或a0，0，g1x2x24x40，解得 x3.故当 x3 时，对任意的 m1,1，函数 f(x)的值恒大于零类题通法恒成立问题及二次不等式恒成立的条件(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴上方；恒小于 0 就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在 x 轴下方考点三 一元二次不等式的应用(重点保分型考点师生共研)典题例析甲厂以 x 千克/小时的
16、速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1x10)，每小时可获得利润是 1005x13x 元(1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，求 x 的取值范围；(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润解：(1)根据题意，2005x13x 3 000，整理得 5x143x0，即 5x214x30，又 1x10，可解得 3x10.即要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 3 000 元，x 的取值范围是3,10(2)设利润为 y 元，则y900 x 1005x13x910451x3x2910431x1626112，故 x6 时，ym
17、ax457 500 元即甲厂以 6 千克/小时的生产速度生产 900 千克该产品获得的利润最大，最大利润为 457500 元类题通法求解不等式应用题的四个步骤(1)阅读理解，认真审题，把握问题中的关键量，找准不等关系(2)引进数学符号，将文字信息转化为符号语言，用不等式表示不等关系，建立相应的数学模型(3)解不等式，得出数学结论，要注意数学模型中自变量的实际意义(4)回归实际问题，将数学结论还原为实际问题的结果演练冲关某商品每件成本价为 80 元，售价为 100 元，每天售出 100 件若售价降低 x 成(1 成10%)，售出商品数量就增加85x 成(要求售价不能低于成本价)(1)设该商店一天
18、的营业额为 y，试求 y 与 x 之间的函数关系式 yf(x)，并写出定义域；(2)若要求该商品一天营业额至少为 10 260 元，求 x 的取值范围解：(1)由题意得 y1001 x10 1001 850 x20(10 x)(508x)因为售价不能低于成本价，所以 1001 x10 800，解得 x2.所以 yf(x)20(10 x)(508x)，定义域为0,2(2)由题意得 20(10 x)(508x)10 260，化简得 8x230 x130.解得12x134.所以 x 的取值范围是12，2.对应A本课时跟踪检测三十五一、选择题1(2014大纲卷)不等式组xx20，|x|1的解集为()A
19、x|2x1 Bx|1x0Cx|0 x1解析：选 C 解 x(x2)0，得 x0；解|x|1，得1x1.因为不等式组的解集为两个不等式解集的交集，即解集为x|0 x0，即 x2 时，不等式可化为(x2)24，x4；当 x20，即 x2 时，不等式可化为(x2)24，0 x0 在区间1,5上有解，则 a 的取值范围是()A.235，B.235，1C(1，)D.，235解析：选 A 由 a280，知方程恒有两个不等实根，又知两根之积为负，所以方程必有一正根、一负根于是不等式在区间1,5上有解的充要条件是 f(5)0，解得 a235，故 a 的取值范围为235，二、填空题7不等式|x(x2)|x(x2
20、)的解集是_解析：不等式|x(x2)|x(x2)的解集即 x(x2)0 的解集，解得 0 x2.答案：x|0 xzC 或 zAzCzB 或 zBzCzA，解得 a1 或 a2.法二：目标函数 zyax 可化为 yaxz，令 l0：yax，平移 l0，则当 l0AB 或 l0AC时符合题意，故 a1 或 a2.类题通法1求目标函数的最值的一般步骤为：一画二移三求其关键是准确作出可行域，理解目标函数的意义2常见的目标函数有：(1)截距型：形如 zaxby.求这类目标函数的最值常将函数 zaxby 转化为直线的斜截式：yabxzb，通过求直线的截距zb的最值间接求出 z 的最值(2)距离型：形如 z
21、(xa)2(yb)2.(3)斜率型：形如 zybxa.提醒 注意转化的等价性及几何意义考点三 线性规划的实际应用(重点保分型考点师生共研)典题例析(2013湖北高考)某旅行社租用 A，B 两种型号的客车安排 900 名客人旅行，A，B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，租金分别为 1 600 元/辆和 2 400 元/辆，旅行社要求租车总数不超过 21 辆，且 B 型车不多于 A 型车 7 辆，则租金最少为()A31 200 元 B36 000 元C36 800 元 D38 400 元解析：选 C 设租用 A 型车 x 辆，B 型车 y 辆，目标函数为 z1 600 x2 400y
22、，则约束条件为36x60y900，yx7，yx21，x，yN，作出可行域，如图中阴影部分所示，可知目标函数过点(5,12)时，有最小值 zmin 36800(元)类题通法1解线性规划应用题的步骤(1)转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题；(2)求解解这个纯数学的线性规划问题；(3)作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的三个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数 x，y 的取值范围，特别注意分析 x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般
23、地，目标函数是等式的形式演练冲关A，B 两种规格的产品需要在甲、乙两台机器上各自加工一道工序才能成为成品已知 A产品需要在甲机器上加工 3 小时，在乙机器上加工 1 小时；B 产品需要在甲机器上加工 1 小时，在乙机器上加工 3 小时在一个工作日内，甲机器至多只能使用 11 小时，乙机器至多只能使用 9 小时A 产品每件利润 300 元，B 产品每件利润 400 元，则这两台机器在一个工作日内创造的最大利润是_元解析：设生产 A 产品 x 件，B 产品 y 件，则 x，y 满足约束条件3xy11，x3y9，xN，yN，生产利润为 z300 x400y.画出可行域，如图中阴影部分(包含边界)内的
24、整点，显然z300 x400y 在点 A 处取得最大值，由方程组3xy11，x3y9，解得x3，y2，则 zmax 300340021 700.故最大利润是 1 700 元答案：1 700对应B本课时跟踪检测三十六一、选择题1已知点(3，1)和点(4，6)在直线 3x2ya0 的两侧，则 a 的取值范围为()A(24,7)B(7,24)C(，7)(24，)D(，24)(7，)解析：选 B 根据题意知(92a)(1212a)0.即(a7)(a24)0，解得7a24.2(2015临沂检测)若 x，y 满足约束条件x0，x2y3，2xy3，则 zxy 的最小值是()A3B0C.32D3解析：选 A
25、作出不等式组x0，x2y3，2xy3表示的可行域(如图所示的ABC 的边界及内部)平移直线 zxy，易知当直线 zxy经过点 C(0,3)时，目标函数 zxy 取得最小值，即 zmin 3.3(2015泉州质检)已知O 为坐标原点，A(1,2)，点P 的坐标(x，y)满足约束条件x|y|1，x0，则 zOA OP 的最大值为()A2B1C1D2解析：选 D 如图作可行域，zOA OP x2y，显然在 B(0,1)处 zmax2.故选 D.4设动点 P(x，y)在区域：x0，yx，xy4上，过点 P 任作直线 l，设直线 l 与区域 的公共部分为线段 AB，则以 AB 为直径的圆的面积的最大值为
26、()AB2C3D4解析：选 D 作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，则根据图形可知，以 AB 为直径的圆的面积的最大值 S 4224，故选 D.5(2015东北三校联考)变量 x，y 满足约束条件y1，xy2，3xy14，若使 zaxy 取得最大值的最优解有无穷多个，则实数 a 的取值集合是()A3,0B3，1C0,1D3,0,1解析：选 B 作出不等式组所表示的平面区域，如图所示易知直线 zaxy 与 xy2 或 3xy14 平行时取得最大值的最优解有无穷多个，即a1 或a3，a1 或 a3.故选 B.6(2014新课标全国卷)设 x，y 满足约束条件xya，xy1，且 zxay
27、的最小值为 7，则 a()A5B3C5 或 3D5 或3解析：选 B 法一：联立方程xya，xy1，解得xa12，ya12，代入 xay7 中，解得a3 或5，当 a5 时，zxay 的最大值是 7；当 a3 时，zxay 的最小值是 7，故选 B.法二：先画出可行域，然后根据图形结合选项求解当 a5 时，作出不等式组表示的可行域，如图(1)(阴影部分)图(1)由xy1，xy5得交点 A(3，2)，则目标函数 zx5y 过 A 点时取得最大值zmax35(2)7，不满足题意，排除 A，C 选项当 a3 时，作出不等式组表示的可行域，如图(2)(阴影部分)图(2)由xy1，xy3得交点 B(1,
28、2)，则目标函数 zx3y 过 B 点时取得最小值zmin1327，满足题意二、填空题7(2014安徽高考)不等式组xy20，x2y40，x3y20表示的平面区域的面积为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，可知 SABC122(22)4.答案：48(2015重庆一诊)设变量 x，y 满足约束条件x1，xy40，x3y40，则目标函数 z3xy 的最大值为_解析：根据约束条件作出可行域，如图中阴影部分所示，z3xy，y3xz，当该直线经过点 A(2,2)时，z 取得最大值，即 zmax 3224.答案：49(2013北京高考)设 D 为不等式组x0，2xy0，xy30所表示的平
29、面区域，区域 D 上的点与点(1,0)之间的距离的最小值为_解析：作出可行域，如图中阴影部分所示，则根据图形可知，点 B(1,0)到直线 2xy0 的距离最小，d|210|221 2 55，故最小距离为2 55.答案：2 5510(2015通化一模)设 x，y 满足约束条件x0，y0，x3a y4a1，若 zx2y3x1的最小值为32，则 a 的值为_解析：x2y3x112y1x1，而y1x1表示过点(x，y)与(1，1)连线的斜率，易知 a0，可作出可行域，由题意知y1x1的最小值是14，即y1x1 min 013a113a114a1.答案：1三、解答题11若 x，y 满足约束条件xy1，x
30、y1，2xy2.(1)求目标函数 z12xy12的最值；(2)若目标函数 zax2y 仅在点(1,0)处取得最小值，求 a 的取值范围解：(1)作出可行域如图，可求得 A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)平移初始直线12xy120，过 A(3,4)取最小值2，过 C(1,0)取最大值 1.所以 z 的最大值为 1，最小值为2.(2)直线 ax2yz 仅在点(1,0)处取得最小值，由图象可知1a22，解得4a2.故所求 a 的取值范围为(4,2)12某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟
31、，已知总生产时间不超过 10 小时若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3元(1)试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 w(元)；(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？解：(1)依题意每天生产的伞兵个数为 100 xy，所以利润 w5x6y3(100 xy)2x3y300.(2)约束条件为5x7y4100 xy600，100 xy0，x0，y0，x，yN.整理得x3y200，xy100，x0，y0，x，yN.目标函数为 w2x3y300.作出可行域如图所示：初始直线 l0：2x3y0，平移初始直线经过点
32、A 时，w 有最大值由x3y200，xy100，得x50，y50.最优解为 A(50,50)，所以 wmax550 元所以每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，最大利润为 550 元第四节基本不等式对应学生用书P92基础盘查一 基本不等式、算术平均数与几何平均数的概念(一)循纲忆知1了解基本不等式的证明过程；2理解基本不等式及变形应用(二)小题查验判断正误(1)当 a0，b0 时，ab2 ab()(2)两个不等式 a2b22ab 与ab2 ab成立的条件是相同的()(3)(ab)24ab(a，bR)()(4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项()答案：(1)(2)
33、(3)(4)基础盘查二 利用基本不等式求最值问题(一)循纲忆知会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(二)小题查验1判断正误(1)函数 yx1x的最小值是 2()(2)x0 且 y0 是xyyx2 的充分不必要条件()(3)若 a0，则 a2 1a2的最小值为 2()答案：(1)(2)(3)2(人教 A 版教材习题改编)设 x，yR，且 xy18，则 xy 的最大值为_答案：813若 x，y(0，)，且 x4y1，则 xy 的最大值是_解析：x，y(0，)，则 1x4y4 xy，即 xy 116.答案：116对应学生用书P92 考点一 利用基本不等式证明不等式(重点保分型考点师生共研)必备知
34、识1基本不等式 abab2(1)基本不等式成立的条件：a0，b0.(2)等号成立的条件：当且仅当 ab 时取等号2几个重要的不等式(1)a2b22ab(a，bR)(2)baab2(a，b 同号)(3)abab22(a，bR)(4)a2b22ab22(a，bR)典题例析设 a，b，c 都是正数，求证：bca acb abc abc.证明：a，b，c 都是正数，bca，cab，abc 都是正数bca cab 2c，当且仅当 ab 时等号成立，cab abc 2a，当且仅当 bc 时等号成立，abc bca 2b，当且仅当 ac 时等号成立三式相加，得 2bca cab abc 2(abc)，即bc
35、a cab abc abc，当且仅当 abc 时等号成立类题通法利用基本不等式证明不等式的方法技巧利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加上一个数，“1”的代换法等演练冲关设 a，b 均为正实数，求证：1a21b2ab2 2.证明：由于 a，b 均为正实数，所以1a2 1b221a2 1b2 2ab，当且仅当1a2 1b2，即 ab 时等号成立，又因为 2abab22abab2 2，当且仅当 2abab 时等号成立，所以1a2 1b2ab 2abab2
36、2，当且仅当1a2 1b2，2abab，即 ab4 2时取等号考点二 利用基本不等式求最值(题点多变型考点全面发掘)必备知识已知 x0，y0，则：(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最小值是 2 p.(简记：积定和最小)(2)如果和 xy 是定值 p，那么当且仅当 xy 时，xy 有最大值是p24.(简记：和定积最大)一题多变典型母题已知 a0，b0，ab1，则1a1b的最小值为_解析 a0，b0，ab1，1a1baba abb 2baab22baab4，即1a1b的最小值为 4，当且仅当 ab12时等号成立答案 4题点发散 1 本例的条件不变，则11a 11b 的
37、最小值为_解析：11a 11b 1aba1abb2ba 2ab 52baab 549.当且仅当 ab12时，取等号答案：9题点发散 2 本例的条件和结论互换即：已知 a0，b0，1a1b4，则 ab 的最小值为_解析：由1a1b4，得 14a 14b1.ab14a 14b(ab)12 b4a a4b122b4a a4b1.当且仅当 ab12时取等号答案：1题点发散 3 若本例条件变为：已知 a0，b0，a2b3，则2a1b的最小值为_解析：由 a2b3 得13a23b1，2a1b13a23b 2a1b 43 a3b4b3a432a3b4b3a83.当且仅当 a2b32时，取等号答案：83题点发
38、散 4 本例的条件变为：已知 a0，b0，c0，且 abc1，则1a1b1c的最小值为_解析：a0，b0，c0，且 abc1，1a1b1cabcaabcbabcc3bacaabcbacbc3baab caac cbbc 32229.当且仅当 abc13时，取等号答案：9题点发散 5 若本例变为：已知各项为正数的等比数列an满足 a7a62a5，若存在两项 am，an，使得 aman2 2a1，则1m4n的最小值为_解析：设公比为 q(q0)，由 a7a62a5a5q2a5q2a5q2q20(q0)q2.aman2 2a1a12m1a12n18a212m12n18mn23mn5，则1m4n151
39、m4n(mn)155nm4mn15(52 4)95，当且仅当 n2m103 时等号成立答案：95类题通法利用基本不等式求最值的方法及注意点(1)知和求积的最值：求解此类问题的关键：明确“和为定值，积有最大值”但应注意以下两点：具备条件正数；验证等号成立(2)知积求和的最值：明确“积为定值，和有最小值”，直接应用基本不等式求解，但要注意利用基本不等式求最值的条件(3)构造不等式求最值：在求解含有两个变量的代数式的最值问题时，通常采用“变量替换”或“常数 1”的替换，构造不等式求解(4)利用基本不等式求最值时应注意：非零的各数(或式)均为正；和或积为定值；等号能否成立，即“一正、二定、三相等”，这
40、三个条件缺一不可考点三 基本不等式的实际应用(重点保分型考点师生共研)典题例析某厂家拟在 2014 年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用 m 万元(m0)满足 x3km1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是 1 万件已知 2014 年生产该产品的固定投入为 8 万元每生产一万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5 倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将 2014 年该产品的利润 y 万元表示为年促销费用 m 万元的函数；(2)该厂家 2014 年的促销费用投入多少万
41、元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意知，当 m0 时，x1(万件)，13kk2，x32m1，每件产品的销售价格为 1.5816xx(元)，2014 年的利润 y1.5x816xx816xm16m1m1 29(m0)(2)m0 时，16m1(m1)2 168，y82921，当且仅当 16m1m1m3(万元)时，ymax21(万元)故该厂家 2014 年的促销费用投入 3 万元时，厂家的利润最大为 21 万元类题通法利用基本不等式求解实际应用题的方法(1)此类型的题目往往较长，解题时需认真阅读，从中提炼出有用信息，建立数学模型，转化为数学问题求解(2)当运用基本不等式求最值时，若等号成立的自变量
42、不在定义域内时，就不能使用基本不等式求解，此时可根据变量的范围用对应函数的单调性求解演练冲关某化工企业 2014 年年底投入 100 万元，购入一套污水处理设备该设备每年的运转费用是 0.5 万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为 2 万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加 2 万元设该企业使用该设备 x 年的年平均污水处理费用为y(单位：万元)(1)用 x 表示 y；(2)当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备解：(1)由题意得，y1000.5x2462xx，即 yx100 x 1.5(xN*)(
43、2)由基本不等式得：yx100 x 1.52x100 x 1.521.5，当且仅当 x100 x，即 x10 时取等号故该企业 10 年后需要重新更换新的污水处理设备对应A本课时跟踪检测三十七一、选择题1已知 f(x)x1x2(x0)，则 f(x)有()A最大值为 0 B最小值为 0C最大值为4D最小值为4解析：选 C x0，f(x)x 1x 2224，当且仅当x 1x，即 x1 时取等号2若 a，bR 且 ab0，则下列不等式中，恒成立的是()Aab2 abB.1a1b 2abC.baab2Da2b22ab解析：选 C ab0，ba0，ab0.由基本不等式得baab2，当且仅当baab，即
44、ab 时等号成立，故选 C.3已知不等式(xy)1xay 9 对任意正实数 x，y 恒成立，则正实数 a 的最小值是()A2B4C6D8解析：选 B(xy)1xay 1ayxaxy 1a2 a，当 1a2 a9 时不等式恒成立，故 a13，a4.4若 a，b 均为大于 1 的正数，且 ab100，则 lg alg b 的最大值是()A0B1C2D.52解析：选 B a1，b1，lg a0，lg b0.lg alg blg alg b24lg ab241.当且仅当 ab10 时取等号5设OA(1，2)，OB(a，1)，OC(b,0)(a0，b0，O 为坐标原点)，若 A，B，C 三点共线，则2a
45、1b的最小值是()A4B.92C8D9解析：选 D AB OB OA(a1,1)，AC OC OA(b1,2)，若 A，B，C 三点共线，则有 AB AC，(a1)21(b1)0，2ab1，又 a0，b0，2a1b2a1b(2ab)52ba 2ab 522ba 2ab 9，当且仅当2ba 2ab，2ab1，即 ab13时等号成立故选 D.6函数 yx22x1(x1)的最小值是()A2 32B2 32C2 3D2解析：选 A x1，x10.yx22x1 x22x2x2x1x22x12x13x1x122x13x1x1 3x122x13x1 22 32.当且仅当 x1 3x1，即 x1 3时，取等号
46、二、填空题7已知 a，bR，且 ab50，则|a2b|的最小值是_解析：依题意得 a，b 同号，于是有|a2b|a|2b|2|a|2b|2 2|ab|2 10020，当且仅当|a|2b|10 时取等号，因此|a2b|的最小值是 20.答案：208当 x1 时，不等式 x 1x1a 恒成立，则实数 a 的最大值为_解析：因为 x1，所以 x10.又 x 1x1x1 1x11213，当且仅当 x2时等号成立，所以 a 的最大值为 3.答案：39某公司租地建仓库，每月土地占用费 y1 与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费 y2 与仓库到车站的距离成正比，如果在距车站 10 公里处建仓库，这
47、两项费用 y1 和 y2分别为 2 万元和 8 万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站_公里处解析：设 x 为仓库与车站距离，由已知 y120 x，y20.8x.费用之和 yy1y20.8x20 x 20.8x20 x 8，当且仅当 0.8x20 x，即 x5 时“”成立答案：510.创新题规定记号“”表示一种运算，即 ab abab(a，b 为正实数)若 1k3，则 k 的值为_，此时函数 f(x)kxx的最小值为_解析：1k k1k3，即 k k20，k1 或 k2(舍)，k1.f(x)1xx xx1x1 x 1x123，当且仅当 x 1x，即 x1 时等号成立答案：1 3三、
48、解答题11已知 x0，y0，且 2x8yxy0，求(1)xy 的最小值；(2)xy 的最小值解：(1)由 2x8yxy0，得8x2y1，又 x0，y0，则 18x2y28x2y 8xy，得 xy64，当且仅当 x16，y4 时，等号成立所以 xy 的最小值为 64.(2)由 2x8yxy0，得8x2y1，则 xy8x2y(xy)102xy 8yx1022xy 8yx 18.当且仅当 x12 且 y6 时等号成立，xy 的最小值为 18.12某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品已知该单位每月的处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，
49、月处理成本 y(元)与月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为 y12x2200 x80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为 100 元(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损？解：(1)由题意可知，二氧化碳每吨的平均处理成本为yx12x80 000 x200212x80 000 x200200，当且仅当12x80 000 x，即 x400 时等号成立，故该单位月处理量为 400 吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为 200 元(2
50、)不获利设该单位每月获利为 S 元，则 S100 xy100 x12x2200 x80 00012x2300 x80 00012(x300)235 000，因为 x400,600，所以 S80 000，40 000故该单位每月不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元才能不亏损见课时跟踪检测A本命题点一 不等关系与一元二次不等式命题指数：难度：中、低 题型：选择题、填空题1(2014天津高考)设 a，bR，则“ab”是“a|a|b|b|”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件解析：选 C 构造函数 f(x)x|x|，则 f(x)在定义域 R 上为奇函数因为
51、f(x)x2，x0，x2，xbf(a)f(b)a|a|b|b|.选 C.2(2014四川高考)若 ab0，cd0，则一定有()A.adbc B.adbdD.acbd解析：选 B cd0，1d1c0，1d1c0，而 ab0，adbc0，adbc，故选 B.3(2014新课标全国卷)设函数 f(x)ex1，x1，x13，x1，则使得 f(x)2 成立的 x 的取值范围是_解析：选 D 当 x1 时，由 ex12 得 x1ln 2，x1；当 x1 时，由 x13 2 得 x8，1x8.综上，符合题意的 x 的取值范围是 x8.答案：(，84(2014江苏高考)已知函数 f(x)x2mx1，若对于任意
52、 xm，m1，都有 f(x)0成立，则实数 m 的取值范围是_解析：由题可得 f(x)0 对于 xm，m1恒成立，即fm2m210，fm12m23m0，解得 22m0，ab0，即 a0，b0，所以4a3b1(a0，b0)，ab(ab)4a3b 74ba 3ab 724ba 3ab 74 3，当且仅当4ba 3a4 时取等号，故选 D.3(2014上海高考)若实数 x，y 满足 xy1，则 x22y2 的最小值为_解析：x22y22 x22y22 2xy2 2，当且仅当 x 2y 时取“”，x22y2 的最小值为 2 2.答案：2 24(2014湖北高考)某项研究表明：在考虑行车安全的情况下，某
53、路段车流量 F(单位时间内经过测量点的车辆数，单位：辆/小时)与车流速度 v(假设车辆以相同速度 v 行驶，单位：米/秒)、平均车长 l(单位：米)的值有关，其公式为 F76 000vv218v20l.(1)如果不限定车型，l6.05，则最大车流量为_辆/小时；(2)如果限定车型，l5，则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/小时解析：(1)F76 000v206.05v1876 0002 121181 900，当且仅当 v11 时等号成立(2)F76 000v205v1876 0002 100182 000，当且仅当 v10 时等号成立，2 0001 900100.答案：1 900 10
54、0第五节合情推理与演绎推理对应学生用书P94基础盘查一 合情推理(一)循纲忆知了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用(二)小题查验1判断正误(1)归纳推理得到的结论不一定正确，类比推理得到的结论一定正确()(2)由平面三角形的性质推测空间四面体的性质，这是一种合情推理()(3)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适()(4)一个数列的前三项是 1,2,3，那么这个数列的通项公式是 ann(nN*)()答案：(1)(2)(3)(4)2(人教 A 版教材例题改编)已知数列an的第 1 项 a11，且 an1 an1an(n1,
55、2,3，)，归纳该数列的通项公式 an_.答案：1n基础盘查二 演绎推理(一)循纲忆知1了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理；2了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异(二)小题查验判断正误(1)演绎推理的结论一定是正确的()(2)演绎推理是由特殊到一般再到特殊的推理()(3)“所有 3 的倍数都是 9 的倍数，某数 m 是 3 的倍数，则 m 一定是 9 的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的()(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确()答案：(1)(2)(3)(4)对应学生用书P95 考点一 类比推理(基础送分型考点自主练透)必备
56、知识(1)定义：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理(2)特点：类比推理是由特殊到特殊的推理题组练透1给出下面类比推理(其中 Q 为有理数集，R 为实数集，C 为复数集)：“若 a，bR，则 ab0ab”类比推出“a，cC，则 ac0ac”；“若 a，b，c，dR，则复数 abicdiac，bd”类比推出“a，b，c，dQ，则 ab 2cd 2ac，bd”；“a，bR，则 ab0ab”类比推出“若 a，bC，则 ab0ab”；“若 xR，则|x|11x1”类比推出“若 zC，则|z|11z1”其中类比结论正确的个数为()A1 B2C3D4解
57、析：选 B 类比结论正确的有.2(2015贵州六校联考)在平面几何中：ABC 的C 内角平分线 CE 分 AB 所成线段的比为ACBCAEBE.把这个结论类比到空间：在三棱锥 A-BCD 中(如图)，DEC 平分二面角 A-CD-B 且与 AB 相交于 E，则得到类比的结论是_解析：由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得AEEBSACDSBCD.答案：AEEBSACDSBCD类题通法(1)类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为找出两类事物之间的相似性或一致性；用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)(2)类比推理的关键是找到合适的类比对象平面几何中的一些定理、公
58、式、结论等，可以类比到立体几何中，得到类似的结论考点二 归纳推理(常考常新型考点多角探明)必备知识(1)定义：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理(2)特点：是由部分到整体、由个别到一般的推理多角探明 归纳推理是每年高考的常考内容，题型多为选择题和填空题，难度稍大，属中高档题归纳起来常见的命题角度有：(1)数的归纳；(2)式的归纳；(3)形的归纳.角度一：数的归纳1(2013陕西高考)观察下列等式1211222312223261222324210照此规律，第 n 个等式可为_解析：观察规律可知，第 n 个式子为 122
59、23242(1)n1n2(1)n1nn12.答案：12223242(1)n1n2(1)n1nn12角度二：式的归纳2(2014陕西高考)已知 f(x)x1x，x0，若 f1(x)f(x)，fn1(x)f(fn(x)，nN，则f2 014(x)的表达式为_解析：由 f1(x)x1xf2(x)fx1x x1x1 x1xx12x；又可得 f3(x)f(f2(x)x12x1x12xx13x，故可猜想 f2 014(x)x12 014x.答案：f2 014(x)x12 014x角度三：形的归纳3下面图形由小正方形组成，请观察图 1 至图 4 的规律，并依此规律，写出第 n 个图形中小正方形的个数是_解析
60、：由图知第 n 个图形的小正方形个数为 123n.总个数为nn12.答案：nn12类题通法(1)归纳是依据特殊现象推断出一般现象，因而由归纳所得的结论超越了前提所包含的范围(2)归纳的前提是特殊的情况，所以归纳是立足于观察、经验或试验的基础之上的(3)归纳推理所得结论未必正确，有待进一步证明，但对数学结论和科学的发现很有用考点三 演绎推理(重点保分型考点师生共研)必备知识(1)模式：三段论大前提已知的一般原理；小前提所研究的特殊情况；结论根据一般原理，对特殊情况做出的判断(2)特点：演绎推理是由一般到特殊的推理典题例析数列an的前 n 项和记为 Sn，已知 a11，an1n2n Sn(nN*)
61、证明：(1)数列Snn 是等比数列；(2)Sn14an.证明：(1)an1Sn1Sn，an1n2n Sn，(n2)Snn(Sn1Sn)，即 nSn12(n1)Sn.故 Sn1n12Snn，(小前提)故Snn是以 2 为公比，1 为首项的等比数列(结论)(大前提是等比数列的定义)(2)由(1)可知Sn1n14 Sn1n1(n2)，Sn14(n1)Sn1n14n12n1 Sn14an(n2)(小前提)又a23S13，S2a1a21344a1，(小前提)对于任意正整数 n，都有 Sn14an.(结论)类题通法演绎推理的推证规则(1)演绎推理是从一般到特殊的推理，其一般形式是三段论，应用三段论解决问题
62、时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略，本题中，等比数列的定义在解题中是大前提，由于它是显然的，因此省略不写(2)在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成演练冲关如图所示，D，E，F 分别是 BC，CA，AB 上的点，BFDA，且 DEBA.求证：EDAF(要求注明每一步推理的大前提、小前提和结论，并最终把推理过程用简略的形式表示出来)证明：(1)同位角相等，两条直线平行，(大前提)BFD 与A 是同位角，且BFDA，(小前提)所以 DFEA.(结论)(2)两组对边分别平行的四边形是平行四边形，(大前提)DEBA 且 DFEA，(小前提)所
63、以四边形 AFDE 为平行四边形(结论)(3)平行四边形的对边相等，(大前提)ED 和 AF 为平行四边形的对边，(小前提)所以 EDAF.(结论)上面的证明可简略地写成：BFDADFEADEBA四边形 AFDE 是平行四边形EDAF.对应B本课时跟踪检测三十八一、选择题1(2015合肥模拟)正弦函数是奇函数，f(x)sin(x21)是正弦函数，因此 f(x)sin(x21)是奇函数，以上推理()A结论正确 B大前提不正确C小前提不正确D全不正确解析：选 C 因为 f(x)sin(x21)不是正弦函数，所以小前提不正确.2由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：“mnnm”类比得到“
64、abba”；“(mn)tmtnt”类比得到“(ab)cacbc”；“(mn)tm(nt)”类比得到“(ab)ca(bc)”；“t0，mtxtmx”类比得到“p0，apxpax”；“|mn|m|n|”类比得到“|ab|a|b|”；“acbcab”类比得到“acbcab”以上的式子中，类比得到的结论正确的个数是()A1B2C3D4解析：选 B 正确，错误3观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则 a10b10()A28B76C123D199解析：选 C 记 anbnf(n)，则 f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4
65、)11.通过观察不难发现 f(n)f(n1)f(n2)(nN*，n3)，则 f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123.所以 a10b10123.4在平面几何中有如下结论：正三角形 ABC 的内切圆面积为 S1，外接圆面积为 S2，则S1S214，推广到空间可以得到类似结论：已知正四面体 P-ABC 的内切球体积为 V1，外接球体积为 V2，则V1V2()A.18B.19C.164D.127解析：选 D 正四面体的内切球与外接球的半径之比为 13，故V1V2 127.5下列推理中属于归
66、纳推理且结论正确的是()A设数列an的前 n 项和为 Sn.由 an2n1，求出 S112，S222，S332，推断：Snn2B由 f(x)xcos x 满足 f(x)f(x)对xR 都成立，推断：f(x)xcos x 为奇函数C由圆 x2y2r2 的面积 Sr2，推断：椭圆x2a2y2b21(ab0)的面积 SabD由(11)221，(21)222，(31)223，推断：对一切 nN*，(n1)22n解析：选 A 选项 A 由一些特殊事例得出一般性结论，且注意到数列an是等差数列，其前 n 项和等于 Snn12n12n2，选项 D 中的推理属于归纳推理，但结论不正确6(2015西安五校联考)
67、已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第 60 个“整数对”是()A(7,5)B(5,7)C(2,10)D(10,1)解：选 B 依题意，把“整数对”的和相同的分为一组，不难得知第 n 组中每个“整数对”的和均为 n1，且第 n 组共有 n 个“整数对”，这样的前 n 组一共有nn12个“整数对”，注意到10101260111112，因此第 60 个“整数对”处于第 11 组(每个“整数对”的和为 12 的组)的第 5 个位置，结合题意可知每个“整数对”的和为 12 的组中的各
68、对数依次为：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，因此第 60 个“整数对”是(5,7)，选 B.二、填空题7(2015福建厦门模拟)已知等差数列an中，有a11a12a2010a1a2a3030，则在等比数列bn中，会有类似的结论：_.解析：由等比数列的性质可知 b1b30b2b29b11b20，10 b11b12b2030 b1b2b30.答案：10 b11b12b2030 b1b2b308将全体正整数排成一个三角形数阵：12 34 5 67 8 9 10根据以上排列规律，数阵中第 n(n3)行从左至右的第 3 个数是_解析：前 n1 行共有正整数 12(n1)n
69、n12个，即n2n2个，因此第 n 行从左至右的第 3 个数是全体正整数中第n2n23 个，即为n2n62.答案：n2n629在平面上，我们如果用一条直线去截正方形的一个角，那么截下的一个直角三角形，按下图所标边长，由勾股定理有：c2a2b2.设想正方形换成正方体，把截线换成如图的截面，这时从正方体上截下三条侧棱两两垂直的三棱锥 O-LMN，如果用 S1，S2，S3 表示三个侧面面积，S4 表示截面面积，那么类比得到的结论是_解析：将侧面面积类比为直角三角形的直角边，截面面积类比为直角三角形的斜边，可得 S21S22S23S24.答案：S21S22S23S2410如果函数 f(x)在区间 D
70、上是凸函数，那么对于区间 D 内的任意 x1，x2，xn，都有fx1fx2fxnnfx1x2xnn.若 ysin x 在区间(0，)上是凸函数，那么在ABC中，sin Asin Bsin C 的最大值是_解析：由题意知，凸函数满足fx1fx2fxnnfx1x2xnn，又 ysin x 在区间(0，)上是凸函数，则 sin Asin Bsin C3sinABC33sin33 32.答案：3 32三、解答题11在锐角三角形 ABC 中，求证：sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.证明：ABC 为锐角三角形，AB2，A2B，ysin x 在0，2 上是增函数，sin Asin
71、2B cos B，同理可得 sin Bcos C，sin Ccos A，sin Asin Bsin Ccos Acos Bcos C.12某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：sin213cos217sin 13cos 17；sin215cos215sin 15cos 15；sin218cos212sin 18cos 12；sin2(18)cos248sin(18)cos 48；sin2(25)cos255sin(25)cos 55.(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解：(1)选择
72、式，计算如下：sin215cos215sin 15cos 15112sin 3011434.(2)法一：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)sin2(cos 30cos sin 30sin)2sin(cos 30cos sin 30sin)sin234cos2 32 sin cos 14sin2 32 sin cos 12sin234sin234cos234.法二：三角恒等式为sin2cos2(30)sin cos(30)34.证明如下：sin2cos2(30)sin cos(30)1cos 221cos602
73、2sin(cos 30cos sin 30sin)1212cos 21212(cos 60cos 2sin 60sin 2)32 sin cos 12sin21212cos 21214cos 2 34 sin 2 34 sin 214(1cos 2)114cos 21414cos 234.第六节直接证明和间接证明对应学生用书P96基础盘查一 直接证明(一)循纲忆知了解直接证明的两种基本方法分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点(二)小题查验判断正误(1)综合法是直接证明，分析法是间接证明()(2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件()(3)在解决问题时，常常用
74、分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程()(4)证明不等式 2 7 3 6最合适的方法是分析法()答案：(1)(2)(3)(4)基础盘查二 间接证明(一)循纲忆知了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程和特点(二)小题查验1判断正误(1)用反证法证明结论“ab”时，应假设“ab”()(2)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾()答案：(1)(2)2用反证法证明“如果 ab，那么 a3b3”时假设的内容为_答案：a3b3对应学生用书P97 考点一 分析法(基础送分型考点自主练透)必备知识分析法证题的一般规律分析法的思路是逆向思维，用分析法证题必须从结论出发，倒
75、着分析，寻找结论成立的充分条件应用分析法证明问题时要严格按分析法的语言表达，下一步是上一步的充分条件题组练透1已知 a，b，m 都是正数，且 aab.证明：要证明ambmab，由于 a，b，m 都是正数，只需证 a(bm)b(am)，只需证 am0，所以只需证 ab.又已知 ab，所以原不等式成立2已知ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，A，B，C 的对边分别为 a，b，c.求证：1ab 1bc3abc.证明：要证 1ab 1bc3abc，即证abcab abcbc 3 也就是 cab abc1，只需证 c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需证 c2a2acb2，又ABC 三内角 A
76、，B，C 成等差数列，故 B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即 b2c2a2ac，故 c2a2acb2 成立于是原等式成立类题通法分析法证明问题的适用范围当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需用的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，常考虑用分析法提醒 用分析法证明问题时，必须有必要的文字说明考点二 综合法(常考常新型考点多角探明)必备知识综合法证题的一般规律用综合法证明命题时，必须首先找到正确的出发点，也就是能想到从哪里起步，我们一般的处理方法是广泛地联想已知条件所具备的各种性质，逐层推进，从而由已知逐步推出结论多
77、角探明 综合法证明问题是历年高考的热点问题，也是必考问题之一通常在解答题中出现，归纳起来常见的命题角度有：(1)立体几何证明题；(2)数列证明题；(3)与函数、方程、不等式结合的证明题.角度一：立体几何证明题1如图，在四棱锥 P-ABCD 中，平面 PAB平面 ABCD，ABAD，BAD60，E，F 分别是 AP，AB 的中点求证：(1)直线 EF平面 PBC；(2)平面 DEF平面 PAB.证明：(1)在PAB 中，因为 E，F 分别为 PA，AB 的中点，所以 EFPB.又因为 EF平面 PBC，PB平面 PBC，所以直线 EF平面 PBC.(2)连接 BD，因为 ABAD，BAD60，所
78、以ABD 为正三角形因为 F 是 AB 的中点，所以 DFAB.因为平面 PAB平面 ABCD，DF平面 ABCD，平面 PAB平面 ABCDAB，所以 DF平面 PAB.又因为 DF平面 DEF，所以平面 DEF平面 PAB.角度二：数列证明题2(2014江苏高考节选)设数列an的前 n 项和为 Sn.若对任意正整数 n，总存在正整数 m，使得 Snam，则称an是“H 数列”(1)若数列an的前 n 项和 Sn2n(nN*)，证明：an是“H 数列”；(2)证明：对任意的等差数列an，总存在两个“H 数列”bn和cn，使得 anbncn(nN*)成立证明：(1)由已知，当 n1 时，an1
79、Sn1Sn2n12n2n.于是对任意的正整数 n，总存在正整数 mn1，使得 Sn2nam.所以an是“H 数列”(2)设等差数列an的公差为 d，则 ana1(n1)dna1(n1)(da1)(nN*)令 bnna1，cn(n1)(da1)，则 anbncn(nN*)下面证bn是“H 数列”设bn的前 n 项和为 Tn，则 Tnnn12a1(nN*)于是对任意的正整数 n，总存在正整数 mnn12，使得 Tnbm，所以bn是“H 数列”同理可证cn也是“H 数列”所以任意的等差数列an，总存在两个“H 数列”bn和cn，使得 anbncn(nN*)成立角度三：与函数、方程、不等式结合的证明题
80、3已知函数 f(x)ln(1x)，g(x)abx12x213x3，函数 yf(x)与函数 yg(x)的图象在交点(0,0)处有公共切线(1)求 a，b 的值；(2)证明：f(x)g(x)解：(1)f(x)11x，g(x)bxx2，由题意得g0f0，f0g0，解得 a0，b1.(2)证明：令 h(x)f(x)g(x)ln(x1)13x312x2x(x1)h(x)1x1x2x1x3x1.h(x)在(1,0)上为增函数，在(0，)上为减函数h(x)maxh(0)0，h(x)h(0)0，即 f(x)g(x)类题通法综合法证题的思路考点三 反证法(重点保分型考点师生共研)必备知识反证法：假设原命题不成立
81、，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法典题例析已知 f(x)ax2bxc，若 ac0，f(x)在1,1上的最大值为 2，最小值为52.求证：a0且 ba 2.证明：假设 a0 或 ba 2.(1)当 a0 时，由 ac0，得 f(x)bx，显然 b0.由题意得 f(x)bx 在1,1上是单调函数，所以 f(x)的最大值为|b|，最小值为|b|.由已知条件，得|b|(|b|)25212，这与|b|(|b|)0 相矛盾，所以 a0.(2)当 ba 2 时，由二次函数的对称轴为 x b2a，知 f(x)在1,1上是单调函数，故其最值在区间的端
82、点处取得所以f1abc2，f1abc52，或f1abc52，f1abc2.又 ac0，则此时 b 无解，所以 ba 2.由(1)(2)，得 a0 且 ba 2.类题通法反证法证明问题的一般步骤(1)反设：假定所要证的结论不成立，而设结论的反面(否定命题)成立；(否定结论)(2)归谬：将“反设”作为条件，由此出发经过正确的推理，导出矛盾与已知条件、已知的定义、公理、定理及明显的事实矛盾或自相矛盾；(推导矛盾)(3)立论：因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误既然原命题结论的反面不成立，从而肯定了原命题成立(命题成立)演练冲关已知 xR，ax212，b2x，cx2x1，试证明 a，b，
83、c 至少有一个不小于 1.证明：假设 a，b，c 均小于 1，即 a1，b1，c1，则有 abcbc，且 abc0，求证：b2ac0 Bac0C(ab)(ac)0D(ab)(ac)0解析：选 C b2ac 3ab2ac3a2(ac)2ac3a2a22acc2ac3a202a2acc20(ac)(2ac)0(ac)(ab)0.故选 C.3不相等的三个正数 a，b，c 成等差数列，并且 x 是 a，b 的等比中项，y 是 b，c 的等比中项，则 x2，b2，y2 三数()A成等比数列而非等差数列B成等差数列而非等比数列C既成等差数列又成等比数列D既非等差数列又非等比数列解析：选 B 由已知条件，可
84、得ac2b，x2ab，y2bc.由得ax2b，cy2b.代入，得x2by2b2b，即 x2y22b2.故 x2，b2，y2 成等差数列4设 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，若 x1x20，则 f(x1)f(x2)的值()A恒为负值B恒等于零C恒为正值D无法确定正负解析：选 A 由 f(x)是定义在 R 上的奇函数，且当 x0 时，f(x)单调递减，可知 f(x)是 R 上的单调递减函数，由 x1x20，可知 x1x2，f(x1)f(x2)f(x2)，则 f(x1)f(x2)1；ab2；ab2；a2b22；ab1.其中能推出：“a，b 中至少有一个大于 1”的
85、条件是()ABCD解析：选 C 若 a12，b23，则 ab1，但 a1，b2，故推不出；若 a2，b3，则 ab1，故推不出；对于，即 ab2，则 a，b 中至少有一个大于 1，反证法：假设 a1 且 b1，则 ab2 与 ab2 矛盾，因此假设不成立，a，b 中至少有一个大于 1.6如果A1B1C1 的三个内角的余弦值分别等于A2B2C2 的三个内角的正弦值，则()AA1B1C1 和A2B2C2 都是锐角三角形BA1B1C1 和A2B2C2 都是钝角三角形CA1B1C1 是钝角三角形，A2B2C2 是锐角三角形DA1B1C1 是锐角三角形，A2B2C2 是钝角三角形解析：选 D 由条件知，
86、A1B1C1 的三个内角的余弦值均大于 0，则A1B1C1 是锐角三角形，假设A2B2C2 是锐角三角形由sin A2cos A1sin2A1，sin B2cos B1sin2B1，sin C2cos C1sin2C1，得A22A1，B22B1，C22C1.那么，A2B2C22，这与三角形内角和为 180相矛盾所以假设不成立，又显然A2B2C2 不是直角三角形所以A2B2C2 是钝角三角形二、填空题7用反证法证明命题“a，bR，ab 可以被 5 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 5 整除”，那么假设的内容是_解析：“至少有 n 个”的否定是“最多有 n1 个”，故应假设 a，b 中没有一个
87、能被 5整除答案：a，b 中没有一个能被 5 整除8设 ab0，m a b，n ab，则 m，n 的大小关系是_解析：法一：(取特殊值法)取 a2，b1，得 mn.法二：(分析法)a b aa0，显然成立答案：mn9已知点 An(n，an)为函数 y x21图象上的点，Bn(n，bn)为函数 yx 图象上的点，其中 nN*，设 cnanbn，则 cn 与 cn1 的大小关系为_解析：由条件得 cnanbn n21n1n21n，cn 随 n 的增大而减小，cn1cn.答案：cn10，则实数 p 的取值范围是_解析：法一：(补集法)令f12p2p10，f12p23p90，解得 p3 或 p32，故
88、满足条件的 p 的范围为3，32.法二：(直接法)依题意有 f(1)0 或 f(1)0，即 2p2p10 或 2p23p90，得12p1 或3p32.故满足条件的 p 的取值范围是3，32答案：3，32三、解答题11若 abcd0 且 adbc，求证：d a b c.证明：要证 d a b c，只需证(d a)2(b c)2，即 ad2 adbc2 bc，因 adbc，只需证 ad bc，即 adbc，设 adbct，则 adbc(td)d(tc)c(cd)(cdt)0，故 adbc 成立，从而 d a b c成立12已知二次函数 f(x)ax2bxc(a0)的图象与 x 轴有两个不同的交点，
89、若 f(c)0，且0 x0.(1)证明：1a是 f(x)0 的一个根；(2)试比较1a与 c 的大小；(3)证明：2b1.解：(1)证明：f(x)的图象与 x 轴有两个不同的交点，f(x)0 有两个不等实根 x1，x2，f(c)0，x1c 是 f(x)0 的根，又 x1x2ca，x21a1ac，1a是 f(x)0 的一个根(2)假设1a0，由 0 x0，知 f 1a 0 与 f 1a 0 矛盾，1ac，又1ac，1ac.(3)证明：由 f(c)0，得 acb10，b1ac.又 a0，c0，b1.二次函数 f(x)的图象的对称轴方程为x b2ax1x22x2x22x21a，即 b2a0，b2，2
90、b1，都存在 mN*，使得 a1，an，am 成等比数列解：(1)由 Sn3n2n2，得 a1S11，当 n2 时，anSnSn13n2，当 n1 时也适合所以数列an的通项公式为：an3n2.(2)证明：要使得 a1，an，am 成等比数列，只需要 a2na1am，即(3n2)21(3m2)，即 m3n24n2，而此时 mN*，且 mn.所以对任意的 n1，都存在 mN*，使得 a1，an，am 成等比数列2(2014北京高考)如图，在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，侧棱垂直于底面，ABBC，AA1AC2，BC1，E，F 分别是 A1C1，BC 的中点(1)求证：平面 ABE平面 B1BC
91、C1；(2)求证：C1F平面 ABE；(3)求三棱锥 E-ABC 的体积解：(1)证明：在三棱柱 ABC-A1B1C1 中，BB1底面 ABC.所以 BB1AB.又因为 ABBC，BB1BCB，所以 AB平面 B1BCC1.又 AB平面 ABE.所以平面 ABE平面 B1BCC1.(2)证明：取 AB 中点 G，连结 EG，FG.因为 E，F 分别是 A1C1，BC 的中点，所以 FGAC，且 FG12AC.因为 ACA1C1，且 ACA1C1，所以 FGEC1，且 FGEC1.所以四边形 FGEC1 为平行四边形所以 C1FEG.又因为 EG平面 ABE，C1F平面 ABE，所以 C1F平面 ABE.(3)因为 AA1AC2，BC1，ABBC，所以 AB AC2BC2 3.所以三棱锥 E-ABC 的体积V13SABCAA11312 312 33.