1、第2讲概率考情研析1.互斥事件、对立事件的概率公式是每年高考的热点，既有单独命题，也有与其他概率知识综合命题题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等2.对古典概型的直接考查是每年高考的重点，题型为选择题、填空题，有时也与统计结合出现在解答题中，难度适中，属中档题3.与长度、面积有关的几何概型是每年高考的重点，题型为选择题或填空题，难度较小，属于基础题.核心知识回顾1.互斥事件与对立事件(1)事件A，B互斥，那么事件AB发生(即A，B中有一个发生)的概率，等于事件A，B分别发生的概率的和，即P(AB)P(A)P(B)(2)在一次试验中，对立事件A和不会同时发生，但一定有一个发生，因此有P()
2、1P(A)2古典概型(1)古典概型的概率公式P(A).(2)古典概型的两个特点试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等3几何概型(1)几何概型的概率公式P(A).(2)几何概型应满足的两个条件试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等热点考向探究考向1 互斥事件与对立事件例1(2019咸阳市高三模拟检测(一)(1)某校高三(1)班50名学生参加1500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C从这50名学生中任意抽取1人，若抽得成绩是B的概率是0.4，则抽得成绩是C的概率是()A0.14 B0.20 C0.40 D0.6
3、0答案A解析由于成绩是A的有23人，抽得成绩是B的概率是0.4，故抽到成绩是C的概率为10.40.14.(2)(2019汉中市高三年级教学质量第二次检测)一次数学考试中，4位同学各自在选做题第22题和第23题中任选一题作答，则至少有1人选做第23题的概率为()A B C D答案D解析记这4位同学选做第23题的事件分别为A，B，C，D，不选做第23题(即选做第22题)的事件分别为，.则这4位同学在第22题和第23题中任选一题作答，所以情况为：(A，B，C，D)，(，B，C，D)，(A，C，D)，(A，B，D)，(A，B，C，)，(，C，D)，(，B，D)，(，B，C，)，(A，D)，(A，C，)
4、，(A，B，)，(，D)，(，C，)，(，B，)，(A，)，(，)，共16种，其中，都不选做第23题的为(，)，共1种，故都不选做第23题的概率为，由对立事件的概率公式知，至少有1人选做第23题的概率为1.故选D 互斥事件、对立事件概率的求法(1)解决此类问题，首先应根据互斥事件和对立事件的定义分析出是不是互斥事件或对立事件，再选择概率公式进行计算(2)求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：直接法：将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的事件的概率的和，运用互斥事件的概率加法公式计算；间接法：先求此事件的对立事件的概率，再用公式P(A)1P()求解，即运用正难则反的数学思想特别是“至多”“至少”型
5、问题，用间接法就显得较简便 1如果事件A与B是互斥事件，且事件AB发生的概率是0.64，事件B发生的概率是事件A发生的概率的3倍，则事件A发生的概率为_答案0.16解析P(A)P(B)0.64，P(B)3P(A)，P(A)0.16.2投掷一枚骰子，若事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件A发生的概率为_答案解析由于事件总数为6，故P(A)，P(B)，从而P()1P(B)，又A与互斥，故P(A)P(A)P().考向2 古典概型例2某校有包括甲、乙两人在内的5名大学生自愿参加该校举行的A，B两场国际学术交流会的服务工作，这5名大学生中有2名被分配到A场交流会，另外
6、3名被分配到B场交流会，如果分配方式是随机的，则甲、乙两人被分配到同一场交流会的概率为_答案解析记其余3名大学生分别为丙、丁、戊，则5名大学生分别被分配到A场交流会、B场交流会的所有基本事件有：A(甲、乙)，余下的人分配到B场交流会，下同，A(甲、丙)，A(甲、丁)，A(甲、戊)，A(乙、丙)，A(乙、丁)，A(乙、戊)，A(丙、丁)，A(丙、戊)，A(丁、戊)，共10个，其中甲、乙两人被分配到同一场交流会的基本事件是：，故所求概率为. 定义法求解古典概型的关键定义法求解古典概型的关键是准确求解基本事件空间与所求事件包含的基本事件的个数，而求解事件个数的主要方法是列举法，列举时需注意两个方面：
7、一是确定抽取是否有“序”；二是确定列举法写出所有基本事件的一个顺序. 1(2019安徽江淮十校高三第三次联考)甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b1,2,3,4,5，若|ab|1，就称甲、乙“心有灵屏”现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为()A B C D答案C解析甲、乙两人猜数字时互不影响，故各有5种可能，故基本事件有25种，“心有灵犀”的情况包括(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，共1
8、3种，故他们“心有灵犀”的概率为.2(2019泸州市泸县第一中学高三三诊模拟)学校根据课程计划拟定同时实施“科普之旅”和“红色之旅”两个主题的研学旅行，现在小芳和小敏都已经报名参加此次的研学旅行，则两人选择的恰好是同一研学旅行主题的概率为()A B C D答案B解析记“科普之旅”和“红色之旅”两个研学旅行主题分别为A，B，则小芳和小敏的报名方法有(A，B)，(B，A)，(A，A)，(B，B)，共4种，其中两人选择的恰好是同一研学旅行主题的有(A，A)，(B，B)，共2种，因此所求概率为，选B考向3 几何概型例3(1)(2019湖北省八市(黄石市、仙桃市黄冈市高三联合考试)把不超过实数x的最大整
9、数记为x，则函数f(x)x称作取整函数，又叫高斯函数，在2,5上任取x，则x的概率为()A B C D答案B解析当2x3时，x2；当3x4时，x3，2；当4x4.5时，x4，2；当4.5x5时，x4，3.符合条件的x2,3)，由长度比可得，x的概率为.故选B(2)(2019太原市高三一模)在平面区域内任取一点P(x，y)，则存在R，使得点P的坐标(x，y)满足(x2)cosysin0的概率为()A1 B C D1答案A解析画出平面区域图中OBA边界及内部是所表示的平面区域，如图阴影部分所示：(x2)cosysin0 sin() ，它表示在已知平面区域内，圆心(2,0)，半径为的圆外(包括圆周)
10、，如图所示解方程组B，SOABOA|yB|，在已知平面区域内，圆心坐标为(2,0)，半径为的圆内(包括圆周)的面积为S1，S1，所求的概率P1，故选A 几何概型三种常见类型及判断方法(1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关；(2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题；(3)与体积有关的几何概型关键是看事件的构成是否与体积有关 1在区间上随机取一个数x，则sinxcosx1，的概率是()A B C D答案B解析由sinxcosxsin1
11、，得sin1，因为x，所以在区间内，满足sin的x，故要求的概率为.故选B2(2019云南昆明模拟)设实数x，y满足x2(y1)21，则xy20的概率为()A BC D答案C解析如图，直线xy20与圆x2(y1)21交于A(0,2)，B(1，1)两点，则xy20的概率P，故选C3在棱长为2的正方体内任取一点，则该点到正方体中心的距离不大于1的概率为_答案解析正方体体积V1238，满足要求的点构成的图形为球体积V213，所以概率P.真题押题真题模拟1(2019全国卷)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A B C D答案
12、B解析设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能故恰有2只测量过该指标的概率为.故选B2. (2019青岛
13、市高三教学质量检测)部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是()A B C D答案B解析由题图可知，黑色部分由9个小三角形组成，该图案可看作由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得P(A)，故选B3(2019赤峰市高三模拟)我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基
14、本步骤(函数RAND是产生随机数的函数，它能随机产生(0,1)内的任何一个实数)，若输出的结果为784，则由此可估计的近似值为()A3.119 B3.124 C3.136 D3.151答案C解析根据已知程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取(0,1)内的两个数x，y，将这两个数看作平面区域内的一个点(x，y)，该点落在x2y21的概率为；计数变量m表示计算该点落入平面区域x2y21的次数，因为输出的结果为784，所以在1000次中共有784次该点落入在平面区域x2y21内，根据古典概型概率计算公式可得P，所以有，故3.136，故选C4(2019江苏高考)从3名男同学和2名女同学
15、中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是_答案解析解法一：设3名男同学分别为A，B，C,2名女同学分别为a，b，则所有等可能事件分别为AB，AC，Aa，Ab，BC，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学包含的基本事件分别为Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab，共7个，故所求概率为.解法二：同解法一，得所有等可能事件共10个，选出的2名同学中没有女同学包含的基本事件分别为AB，AC，BC，共3个，故所求概率为1.金版押题5我国古代数学家赵爽所著周髀算经注中给出了勾股定理的绝妙证明，如图是赵爽的弦图及注文弦图是一个以勾股形之弦为
16、边的正方形，其面积称为弦实图中包含四个全等的勾股形及一个小正方形，分别涂成红(朱)色及黄色，其面积称为朱实、黄实，利用2勾股(股勾)24朱实黄实弦实，化简，得勾2股2弦2.设勾股中勾股比为1，若向弦图内随机抛掷1000颗图钉(大小忽略不计)，则落在黄色图形内的图钉数大约为()A866 B500 C300 D134答案D解析设勾为a，则股为a，弦为2a，所以题图中大四边形的面积为4a2，小四边形的面积为(1)2a2(42)a2.由测度比为面积比，可得图钉落在黄色图形内的概率为1.故落在黄色图形内的图钉数大约为1000134.故选D6有一长、宽分别为50 m、30 m的游泳池，一名工作人员在池边巡
17、视，某时刻出现在池边任一位置的可能性相同一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员，其声音可传出15 m，则工作人员能及时听到呼唤声(出现在声音可传到区域)的概率是()A B C D答案B解析当该人在池中心位置时，呼唤工作人员的声音可以传出15 m，那么当在如图所示的三角形范围的池边时，工作人员才能及时听到呼唤声所有可能结果用周长160表示，事件发生的结果可用两条线段的长度和60表示，故P.故选B配套作业一、选择题1若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)2a，P(B)4a5，则实数a的取值范围是()A BC D答案D解析由题意知所以解得可得a.故选D2(2019重庆市高三学
18、业质量调研抽测二诊)将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则甲、乙两名学生分到同一班级的概率是()A B C D答案B解析将甲、乙、丙三名学生随机分到两个不同的班级，每个班至少分到一名学生，则必有一人分到一个班，另两人分到一个班，所有情况有(甲，乙丙)，(乙，甲丙)，(丙，甲乙)，(乙丙，甲)，(甲丙，乙)，(甲乙，丙)，共6种，且甲、乙两名学生分到同一班级的情况有(甲乙，丙)，(丙，甲乙)，共2种所以甲、乙两名学生分到同一班级的概率P.故选B3(2019河北衡水中学期中)为了加强某站的安全检查工作，从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为安保人员，则甲、乙、丙中有
19、2人被选中的概率为()A B C D答案A解析从甲、乙、丙等5名候选民警中选2名作为安保人员共有10种情况，甲、乙、丙中有2个被选中有3种情况，故选A4(2019焦作市高三四模)记m表示不超过m的最大整数若在x上随机取1个实数，则使得log2x为偶数的概率为()A B C D答案A解析若x，则log2x(3，1)要使得log2x为偶数，则log2x2，1)所以x，故所求概率P.故选A5将一个棱长为4 cm的正方体表面涂上红色后，再均匀分割成棱长为1 cm的小正方体从涂有红色面的小正方体中随机取出一个小正方体，则这个小正方体表面的红色面积不少于2 cm2的概率是()A B C D答案A解析由题意
20、可知共分成了64个小正方体，其中，涂有红色面的小正方体的个数为432356,3个面涂色的小正方体有8个，2个面涂色的小正方体有24个，1个面涂色的小正方体有24个，易知所求概率为.6(2019沈阳市高三教学质量监测(一)某英语初学者在拼写单词“steak”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a”“e”“k”三个字母组成并且“k”只可能在最后两个位置，如果他根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为()A B C D答案B解析满足题意的字母组合有四种，分别是eka，ake，eak，aek，拼写正确的组合只有一种eak，所以他拼写正确的概率为P.故选B7(2019湖南益阳市高三模
21、拟)如图，在区域：x2y24内取一点，则该点恰好取自阴影部分(阴影部为“x2y24”与“(x1)2(y1)22”的公共部分)的概率是()A B1 C1 D答案A解析阴影部分的面积为圆(x1)2(y1)22的半圆面积和圆x2y24的弓形面积之和，即()222222，故所求概率为.故选A8(2019成都第二次诊断)两位同学约定下午5：306：00在图书馆见面，且他们在5：306：00之间到达的时刻是等可能的，先到同学须等待，15分钟后还未见面便离开则两位同学能够见面的概率是()A B C D答案D解析从下午5：30开始计时，设两位同学到达的时刻分别为x分钟，y分钟，则x，y应满足如图中正方形OAB
22、C所示，若两位同学能够见面，则x，y应满足|xy|15，如图中阴影部分(含边界)所示，所以所求概率P，故选D9一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M是AB的中点，一只蝴蝶在几何体ADFBCE内自由飞翔，则它飞入几何体FAMCD内的概率为()A B C D答案D解析由题图可知V几何体FAMCDS四边形AMCDDFa3，V几何体ADFBCEa3，所以它飞入几何体FAMCD内的概率为.10(2019湖北4月调考)已知圆C：x2y24，直线l：yx，则圆C上任取一点A到直线l的距离小于1的概率为()A B C D答案D解析如图所示，设与yx平行的两直线AD，BF交圆C于点A，D，B，F，且它们到直线
23、yx的距离相等，过点A作AE垂直于直线yx，垂足为E，当点A到直线yx的距离为1时，即AE1，又CA2，则ACE，所以ACBFCD，所以所求概率P，故选D二、填空题11(2019四川绵阳高三第二次质量检测)一个盒中有形状、大小、质地完全相同的5张扑克牌，其中3张红桃，1张黑桃，1张梅花现从盒中一次性随机抽出2张扑克牌，则这2张扑克牌花色不同的概率为_答案解析所有会出现的情况有：(红1，黑1)，(红1，梅1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(红1，红2)，(红1，红3)，(红2，红3)，(黑1，梅1)，共10种其中符合花色不同的情况有：(红1，黑1)，(红1，梅
24、1)，(红2，黑1)，(红2，梅1)，(红3，黑1)，(红3，梅1)，(黑1，梅1)，共7种，根据古典概型的概率公式得P.12有一套无线电监控设备，监控着圆心角为直角的扇形OAB区域，其半径为2a，在半径OA，OB的中点C，D处有两个检测点，且有数据接收装置，其接收有效半径都为a.只有C，D两个检测点都有数据接收，该处的监控才有效，现在在扇形OAB区域任意选取一个监控点，则该监控点有效的概率是_答案解析根据题意，分别以C，D为圆心，a为半径作半圆，则两半圆交于O，E两点，连接CE，DE，如图所示，易知四边形OCED为正方形，有效监控区域为图中阴影部分所示，则S扇形OAB(2a)2a2，由图可知
25、有效监控区域的面积S1S扇形DOES扇形COES正方形OCEDa2a2，由几何概型的概率公式可得，所求概率P.13(2019上饶市重点中学六校高三第二次联考)在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知c2，C，且ABC的面积为，则ab_.现有一只蚂蚁在ABC内自由爬行，则某一时刻该蚂蚁与ABC的三个顶点的距离都不小于1的概率为_答案41解析因为三角形的面积为，所以absinC，即ab4；又因为c2，C，所以c2a2b22abcosC(ab)23ab，所以ab4.由得ab2，故ABC为等边三角形蚂蚁到三个顶点的距离小于等于1时，活动区域是以三个顶点为圆心半径为1的扇形区域，其面积为
26、，三角形面积为，故所求概率为11.概率与统计类解答题(12分)近期中央电视台播出中国诗词大会火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽取的100名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示：组号分组频数频率第1组160,165) 0.100 第2组 165,170) 第3组 170,175) 20 第4组 175,180) 20 0.200 第5组 180,185) 10 0.100 合计 100 1.00 (1)请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成频率分布直方图(用阴影表示)(2)为了能选拔出最优秀的选手，组委会决定在笔试成绩高的第3,4,5组中用分层抽样抽取5名选手进入第二轮面试
27、，则第3,4,5组每组各抽取多少名选手进入第二轮面试？(3)在(2)的前提下，组委会决定在5名选手中随机抽取2名选手接受考官A面试，求第4组至少有一名选手被考官A面试的概率解题思路(1)根据频率与频数的关系及频率的性质，完成填表和画图(2)由分层抽样特点求解(3)根据古典概型要求，写出所有基本事件，并求出第4组至少一名选手被面试的概率解(1)第1组的频数为1000.10010，所以处应填的数为100(10202010)40，从而第2组的频率为0.400.处应填的数为1(0.10.40.20.1)0.200.频率分布直方图如图所示(2分)(4分)(2)因为第3,4,5组共有50名选手，所以利用分
28、层抽样在50名选手中抽取5名选手进入第二轮面试时，每组抽取的人数分别为：第3组：52，第4组：52，第5组：51，所以第3,4,5组分别抽取2人，2人，1人进入第二轮面试(8分)(3)设第3组的2位选手为A1，A2，第4组的2位选手为B1，B2，第5组的1位选手为C1，则从这五位选手中抽取两位选手有(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共10种情况(10分)其中第4组的2位选手B1，B2中至少有一位入选的有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(B
29、1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共有7种情况，所以第4组至少有一名选手被考官A面试的概率为.(12分)1根据频数和频率的性质关系，填对、位置的相应数据给2分2依据频率分布表，准确画出频率分布直方图给2分3根据分层抽样的原理，准确计算出每组抽取的人数并总结给4分4依次序准确写出从5名选手中抽取2名选手的10种结果给2分5写出第4组的2名选手中至少有一位入选的7种情况，并准确计算概率的给2分1准确填写频率分布表应牢记频率，并且各组频率之和为1.2画频率分布直方图时，要注意纵轴为.3分层抽样是按比例取样45选2时注意依序不重不漏，也可以列树状图，以便准确写出所有结果跟踪训练(12分)海水
30、养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：旧养殖法新养殖法 (1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；箱产量50 kg箱产量50 kg旧养殖法新养殖法(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较K2.解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.0120.0140.0240.0340.040)50.62，故P(A)的估计值为0.62.(4分)(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：箱产量6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关(8分)(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法(12分)
