1、第2讲三角恒等变换与解三角形考情研析正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查：1.边和角的计算2.三角形形状的判断3.面积的计算4.有关参数的范围问题由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视.核心知识回顾1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式sin()sincoscossin；cos()coscossinsin；tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式sin22sincos；cos2cos2sin22cos2112sin2；tan2；cos2，sin2.3辅助角公式asinbcos sin().4正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直
2、径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsinC.5余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推论：cosA，cosB，cosC.6面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.7常用结论(1)三角形内角和ABC；(2)abcABCsinAsinBsinC；(3)sin(AB)sinC，cos(AB)cosC.热点考向探究考向1 三角恒等变换与求值例1(1)已知为第一象限角，cos，则()A. B. C. D答案C解析cos且为第一象限角，sin，sin22sinco
3、s2，cos22cos21221，.(2)已知(0，)，且sin，则tan2()A. B. C D.答案C解析sin(sincos)，sincos.又(0，)，且sin2cos21，tan，tan2.(3)(2019四川德阳高三第二次诊断)已知为锐角，且tan，则cos()A B C. D.答案A解析cossin22sincos.(1)三角恒等变换的常用技巧是“化异为同”，即“化异名为同名”“化异次为同次”“化异角为同角”，其中涉及sin2，cos2时，常逆用二倍角余弦公式降幂(2)常见的“变角”技巧：()()，()()，等，使用“变角”技巧时，应根据已知条件中的角，选择恰当变角技巧1在ABC
4、中，若tanAtanBtanAtanB1，则cosC的值为()A B. C. D答案B解析由tanAtanBtanAtanB1，可得1，即tan(AB)1.又因为A，B是ABC的内角，即AB(0，)，所以AB，易知C，cosC.2(2019辽宁抚顺高三一模)已知函数f(x)sinxcos，若在区间上f(x)a恒成立，则实数a的最大值是()A B C. D.答案A解析函数f(x)sinxcossinxcosxsin，由于0x，故x， sin.当x0时，函数的最小值为.由于在区间上f(x)a恒成立，故a，所以a的最大值为.故选A.3已知tan，且0，则等于()A BC D.答案A解析由tan，得t
5、an.又0，所以sin.故2sin.考向2 正弦定理与余弦定理的应用例2(2019辽宁抚顺高三一模)已知a，b，c分别是ABC的三个内角A，B，C的对边，若a10，角B是最小的内角，且3c4asinB3bcosA.(1)求sinB的值；(2)若c14，求b的值解(1)由3c4asinB3bcosA且ABC，由正弦定理得3sinC4sinAsinB3sinBcosA，即3sin(AB)4sinAsinB3sinBcosA，由于0A0，整理可得3cosB4sinB，又sinB0，所以sinB.(2)因为角B是最小的内角，所以0B，又由(1)知sinB，所以cosB，由余弦定理得b214210221
6、41072，即b6.(1)利用正、余弦定理解三角形时，涉及边与角的余弦的积时，常用正弦定理将边化为角，涉及边的平方时，一般用余弦定理(2)涉及边a，b，c的齐次式时，常用正弦定理转化为角的正弦值，再利用三角公式进行变形(3)涉及正、余弦定理与三角形面积综合问题，求三角形面积时用SabsinC形式的面积公式已知ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足acos2C2ccosAcosCab0.(1)求角C的大小；(2)若b4sinB，求ABC面积S的最大值解(1)由acos2C2ccosAcosCab0，得a(2cos2C1)2ccosAcosCab0，即2acos2C2ccosAco
7、sCb0.由正弦定理，得2sinAcos2C2sinCcosAcosCsinB0，2cosCsin(AC)sinB0，即2cosCsinBsinB0.0B180，sinB0，cosC，C120.(2)根据正弦定理，得c，b4sinB，C120，c2，由余弦定理c2a2b22abcosC，得(2)2a2b22abcos120a2b2ab3ab，ab4，SabsinC，ABC面积S的最大值为.考向3 解三角形的综合问题角度1解三角形与三角恒等变换的综合例3(2019福建省高三模拟)已知在ABC中，AC3，C120，cosAsinB.(1)求边BC的长；(2)设D为AB边上一点，且BCD的面积为，求
8、sinBDC.解(1)由cosAsinB及C120，得cos(60B)sinB，展开得cosBsinBsinB0，即cos(B60)0，所以B30.所以A60B30，即AB30，所以BCAC3.(2)由SBCD3BDsin30，解得BD.在BCD中，CD2BC2BD22BCBDcosB，所以CD.由，得2，所以sinBDC.正、余弦定理与三角恒等变换的综合问题，应先利用三角恒等变换公式将函数关系式变形为只含一个角的一种三角函数形式后，再根据要求求解(2019江西南昌高三适应性测试)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.(1)求的值；(2)若cosB，b2，求ABC的面积解(1
9、)由正弦定理，得，所以，即(cosA2cosC)sinB(2sinCsinA)cosB，cosAsinB2cosCsinB2sinCcosBsinAcosB，cosAsinBsinAcosB2sinCcosB2cosCsinB化简得sin(AB)2sin(BC)，又ABC，所以sinC2sinA，因此2.(2)由2，得c2a，由余弦定理b2a2c22accosB及cosB，b2，得4a24a24a2，得a1，从而c2.又因为cosB，且0B0，所以AD3.真题押题真题模拟1(2019山东聊城高三一模)设函数f(x)sinxcosx，若对于任意的xR，都有f(2x)f(x)，则sin()A. B
10、 C. D答案B解析f(x)sinxcosxsin，由f(2x)f(x)，得x是函数f(x)的对称轴，得k，kZ，得k，kZ.sinsinsin.故选B.2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B. C. D.答案C解析由题可知SABCabsinC，所以a2b2c22absinC.由余弦定理得a2b2c22abcosC，所以sinCcosC.C(0，)，C.故选C.3(2019全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A. B. C. D.答案B解析由2sin2cos21，得4sincos2cos2.又，tan，sin.故选B.4
11、(2019河南顶级名校高三四模)已知，sin(2)sin，cos的最小值为()A. B. C. D.答案A解析因为sin(2)sin，即sin()sin()，则sin()coscos()sinsin()coscos()sin，有sin()cos5cos()sintan()5tan，即5tan，那么tan，tan0，tan0，tan，当5tan即tan时等号成立因此tan2，即cos2，又，cos0cos.故选A.5(2018全国卷)已知sincos1，cossin0，则sin()_.答案解析解法一：因为sincos1，cossin0，所以(1sin)2(cos)21，所以sin，cos，因此s
12、in()sincoscossincos21sin21.解法二：由(sincos)2(cossin)21，得22sin()1，所以sin().6(2019浙江高考)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_.答案解析如图，易知sinC，cosC.在BDC中，由正弦定理可得，BD.由ABCABDCBD90，可得cosABDcos(90CBD)sinCBDsin(CBDC)sin(CBDC)sinCcosBDCcosCsinBDC.金版押题7已知sinxcosx，则cos()A B. C D.答案B解析sinxcosx222cos，即cos.8在A
13、BC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则cosB()A B. C D.答案B解析在ABC中，由正弦定理，得1，tanB，又B(0，)，B，cosB.故选B.配套作业一、选择题1在平面直角坐标系xOy中，已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边上一点M的坐标为(，1)，则cos的值是()A B0 C. D1答案B解析由已知得sin，cos，所以coscossin0.2. (2019贵州凯里第一中学模拟)如图，是我国古代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如果大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，直角三角形较小的锐角为，则
14、sin2()A. B. C. D.答案D解析大正方形的面积为225，小正方形的面积为9，大正方形的边长为15，小正方形的边长为3.设四个全等的直角三角形的长直角边为x，则短直角边为x3，由勾股定理得x2(x3)2152，解得x12，为直角三角形较小的锐角，所以sin，cos，所以sin22sincos.3在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.若 ab，A2B，则cosB()A. B. C. D.答案B解析ab，由正弦定理，得sinAsinB.又A2B，sinAsin2B，sinA2sinBcosB.由且角B为ABC的内角得cosB.4(2019内蒙古呼和浩特市3月质检)在平面直角坐标
15、系中，角的终边过P(2,1)，则cos2sin2的值为()A. B. C. D.答案B解析在平面直角坐标系中，角的终边过P(2,1)，tan，则cos2sin2，故选B.5(2019四川德阳第二次模拟)在ABC中，BD是AC边上的高，A，cosABC，则()A. B. C. D.答案A解析cosABC，sinABC，sinCsin(sinABCcosABC)，BD是AC边上的高，BDBCsinCBC，如图，由正弦定理可知，即ACBC，故选A.6如图，在ABC中，B45，D是BC边上一点，AD5，AC7，DC3，则AB()A. B. C. D.答案A解析在ACD中，由余弦定理可得cosC，则si
16、nC.在ABC中，由正弦定理可得，则AB，选A.7(2019河南信阳高三模拟)已知函数f(x)2sinxcosx2cos2x1，且yf(x)的图象沿x轴方向平移m个单位后所得的图象关于坐标原点对称，则|m|的最小值为()A. B. C. D.答案C解析f(x)2sinxcosx2cos2x1sin2xcos2x2sin，将yf(x)的图象向左平移m个单位(若m0则为向右平移m个单位)，得到g(x)2sin，因为平移后图象关于点(0,0)对称，将(0,0)代入g(x)，得sin0，可得2mk，kZ，m，kZ，则|m|的最小值为.故选C.二、填空题8已知cossin，则cos的值是_答案解析cos
17、sincos，cos2cos21.9(2019辽宁辽南协作体高三一模)已知cos，则的值为_答案解析由cos，得sin，.10在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sin2Asin2BsinBsinC，sinC2sinB，则A_.答案30解析根据正弦定理可得a2b2bc，c2b，解得ab.根据余弦定理cosA，得A30.11已知不等式3sincoscos2m0对任意的x恒成立，则实数m的取值范围是_答案，)解析依题意得，3sincoscos2msincosmsinm0在上恒成立，msin在上恒成立，由于， sin ，故m.三、解答题12(2019上海金山区第二学期质检)已知ABC
18、中，tanA，tanB，AB.求：(1)角C的大小；(2)ABC中最小边的边长解(1)tanCtan(AB)tan(AB)1，所以C.(2)因为tanAtanB，所以最小角为A，又因为tanA，所以sinA，cAB，又，所以最小边a.13已知ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a2ab2b20.(1)若B，求C；(2)若C，c14，求SABC.解(1)由已知B，a2ab2b20，结合正弦定理得2sin2AsinA10，于是sinA1或sinA(舍去)因为0A，所以A，所以C.(2)由题意及余弦定理可知a2b2ab196，由a2ab2b20得(ab)(a2b)0，即a2b，联立解得b2
19、，a4.所以SABCabsinC14.14(2019湖南永州高三三模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinBcosB0，a1，c2.(1)求b；(2)如图，D为AC边上一点，且BDBC，求ABD的面积解(1)由sinBcosB0得，tanB，又0B，所以B.由余弦定理得，b2a2c22accosB142127，所以b.(2)由(1)得，cosC，sinC，即tanC.在RtBDC中，BDBCtanC1，ABDABCDBC，所以SABDABBDsinABD2.15在四边形ABCD中，ADBC，AB2，AD1，A.(1)求sinADB；(2)若BDC，求四边形ABCD的面积解
20、(1)如图，在ABD中，AB2，AD1，A，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosA，即BD241221cos，解得BD.在ABD中，由正弦定理，得，即，解得sinADB.(2)设CBD，因为ADBC，所以ADBCBD，所以sin.因为0，所以cos，因为BDC，所以sinCsinsincoscossin.在BCD中，由正弦定理得，即，解得BC7.所以SBCDBDBCsin7，SABDABADsinBAD21sin.所以四边形ABCD的面积SSBCDSABD4.16. 如图，已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，且acosCasinCbc0.(1)求A；(2)若AD为B
21、C边上的中线，cosB，AD，求ABC的面积解(1)acosCasinCbc0，由正弦定理得sinAcosCsinAsinCsinBsinC，即sinAcosCsinAsinCsin(AC)sinC，又sinC0，所以化简得sinAcosA1，所以sin(A30).在ABC中，0A0)，则在ABD中，AD2AB2BD22ABBDcosB，即25x249x225x7x，解得x1，所以a7，c5，故SABCacsinB10.三角函数与解三角形类解答题(12分)已知函数f(x)sinxcosxsin2x1(0)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为.(1)求的值及函数f(x)的单调递减区间；(2)已知a
22、，b，c分别为ABC中角A，B，C的对边，且满足a，f(A)1，求ABC面积S的最大值解题思路(1)首先将函数解析式化为“一角一函数”的形式，然后利用函数图象中对称轴之间的距离确定函数的周期，从而求得的值，最后利用换元法求得函数的递减区间；(2)根据第(1)问所得，利用f(A)1求得角A，再根据余弦定理建立b，c的关系式，利用基本不等式求得bc的最大值，将其代入面积公式即可解(1)f(x)sin2x1sin.(3分)因为函数f(x)的图象中相邻两条对称轴之间的距离为，所以T，即，所以1.(4分)所以f(x)sin.令2k2x2k(kZ)，解得kxk(kZ)所以函数f(x)的单调递减区间为(kZ
23、)(6分)(2)由f(A)1得sin.因为2A，所以2A，得A.(8分)由余弦定理得a2b2c22bccosA，即()2b2c22bccos，(9分)所以bc3b2c22bc，解得bc3，当且仅当bc时等号成立(11分)所以SABCbcsinA3.故ABC面积S的最大值为.(12分)1化简：用诱导公式、和角公式、差角公式和倍角公式化简给3分2求值：运用三角函数的对称轴及周期性求值给1分3求单调区间：利用三角函数的单调区间求f(x)的单调区间给2分4求角：已知三角函数值求角给2分5建立关系式：利用余弦定理得出b，c的关系式给1分6求最值：利用基本不等式求出bc的最大值给2分7求面积最值：代入面积
24、公式求最大值给1分1发现差异：观察角、函数运算的差异，即进行所谓的“差异分析”2寻找联系：运用相关公式，找出差异之间的内在联系3合理转化：选择恰当的公式促使差异的转化4挖掘隐含：如定义域、锐角、三角函数值的正负对角的范围的影响，将已知的三角函数值与特殊角的三角函数值比较、缩小角的范围等等跟踪训练(2019天津九校联考)(12分)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若bc，且2sinBsinA.(1)求sinB的值；(2)求cos的值；(3)若b2，求ABC的面积解(1)因为2sinBsinA，所以2ba，即ab，(1分)所以cosB，(3分)因为B(0，)，所以sinB.(4分)(2)由(1)可知cosB.(5分)因为sin2B2sinBcosB2，cos2B2cos2B1221.(6分)所以coscos2Bcossin2Bsin.(8分)(3)因为b2，所以c2，a，(10分)所以SABCacsinB2.(12分)
