1、模块综合检测(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1已知复数z满足(z-1)i=1+i,则z=()A.-2-iB.-2+iC.2-iD.2+i答案C2已知a0,-1babab2B.ab2abaC.abaab2D.abab2a解析-1b0,0b2b.又a0,aab20,ab2n,mp,所以m-nm-pB.如果不买彩票,那么就不能中大奖,因为你买了彩票,所以你一定能中大奖C.如果m,n均为正实数,那么(m+n)24mnD.如果m,n均为正实数,那么lg m+lg n2解析由mn,mp可能有m-nm-
2、p,例如2-10,y=f(x)的图象在x轴的上方;函数f(x)在区间(a,b)内是减函数,f(x)0,则f(x)0;(2)|sin x|dx=4;(3)F(x)是以T为周期的函数,且F(x)=f(x),则f(x)dx=f(x)dx.其中正确命题的个数为()A.1B.2C.3D.0解析(1)错误.如xdx=x20,但f(x)=x在(-1,2)上不满足f(x)0.(2)正确.|sin x|dx=sin xdx+(-sin x)dx=4.(3)正确.f(x)dx=F(x)=F(a)-F(0),f(x)dx=F(x)=F(a+T)-F(T)=F(a)-F(0).答案B10已知对任意实数x,有f(-x)
3、=-f(x),g(-x)=g(x),且当x0时,f(x) 0,g(x)0,则当x0,g(x)0B.f(x)0,g(x)0C.f(x)0D.f(x)0,g(x)0时,y=f(x),y=g(x)是增函数,所以当x0时,y=f(x)是增函数,y=g(x)是减函数,即当x0,g(x)0,类比可得关于x的方程ax2+bx+c=0(a,b,cC)有两个不同复数根的条件是b2-4ac0;由向量加法的几何意义,可以类比得到复数加法的几何意义.其中类比得到的结论正确的是()A.B.C.D.解析中|z|2R,而z2不一定是实数.中复数集中不能比较大小,不能用b2-4ac来确定根的个数.答案D12如图,设T是直线x
4、=-1,x=2,y=0以及过x=-1,x=2与y=x2交点的直线围成的直角梯形区域,S是T内函数y=x2图象下方的点构成的区域(图中阴影部分).向T中随机投一点,则该点落入S中的概率为()A.B.C.D.解析解方程组得曲线y=x2与直线x=-1交点的纵坐标y1=1;解方程组得曲线y=x2与直线x=2交点的纵坐标y2=4.所以直角梯形区域T的面积为2-(-1)=.又因为阴影部分S的面积为x2dx=x3=3,所以向T中随机投一点,则该点落入S中的概率为.答案B二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在题中的横线上)13已知i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数
5、a的值为.答案-214已知函数f(x)=在其图象上点(1,f(1)处的切线方程为y=2x+1,则f(x)在点(-3,f(-3)处的切线方程为.解析在y=2x+1中,令x=1,得y=3,所以f(1)=3,所以a+b+c=3.对函数f(x)=ax2+bx+c求导得f(x)=2ax+b,则f(1)=2a+b=2.由已知得f(-3)=f(3-2)=f(1)=3,对函数f(x)=f(-x-2)求导得f(x)=-f(-x-2),所以f(-3)=-f(3-2)=-2,所以f(x)在点(-3,f(-3)处的切线方程为y-3=-2(x+3),即y=-2x-3.答案y=-2x-315设等边三角形ABC的边长为a,
6、P是ABC内的任意一点,且P到三边AB,BC,CA的距离分别为d1,d2,d3,则有d1+d2+d3为定值a.由这个平面图形的特性类比空间图形:设四面体ABCD的棱长均为a,P是四面体ABCD内的任意一点,且点P到平面ABC,平面ABD,平面ACD,平面BCD的距离分别为d1,d2,d3,d4,则有d1+d2+d3+d4为定值.解析在等边三角形ABC中,d1+d2+d3=a为ABC的高,类比四面体中,d1+d2+d3+d4也应为四面体的高a.答案a16若偶函数f(x)在x(0,+)时满足f(x),且f(1)=0,则不等式0的解集是.解析设g(x)=(x0),则g(x)=0,所以g (x)在(0
7、,+)内是增函数.当x0时,由0=,得x1;当x0,000-x1,所以-1x0,所以只需证b2ac.因为成等差数列,所以2.所以b2ac.又a,b,c任意两边均不相等,所以b2ac成立.故所得大小关系正确.20(12分)设ABC的两个内角A,B所对的边分别为a,b,复数z1=a+bi,z2=cos A+icos B,若复数z1z2为纯虚数,试判断ABC的形状,并说明理由.分析利用复数为纯虚数的条件,结合正弦定理及三角知识求解.解ABC为等腰三角形或直角三角形.理由如下:因为z1=a+bi,z2=cos A+icos B,所以z1z2=(acos A-bcos B)+i(acos B+bcos
8、A).又z1z2为纯虚数,所以由及正弦定理,得sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B.因为A,B为ABC的内角,所以02A2,02B2,且2A+2B2.所以2A=2B或2A=-2B,即A=B或A+B=.也就是A=B或C=.由及正弦定理,得sin Acos B+sin Bcos A0,即sin(A+B)0.因为A,B是ABC的内角,所以0A+B0恒成立,所以f(x)在-2,-1上单调递增.要使f(x)恒成立,则f(-2)=e-2(4a+a+1),即a.故实数a的取值范围是.22(14分)设函数f(x)=(x-1)3-ax-b,xR,其中a,bR.(1)求f(x)
9、的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间0,2上的最大值不小于.(1)解由f(x)=(x-1)3-ax-b,可得f(x)=3(x-1)2-a.下面分两种情况讨论:当a0时,有f(x)=3(x-1)2-a0恒成立,所以f(x)的单调递增区间为(-,+).当a0时,令f(x)=0,解得x=1+,或x=1-.当x变化时,f(x),f(x)的变化情况如下表:x-,1-,1+,f(x)+0-0+f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以f(x)的单调递减区间为,单调递增
10、区间为.(2)证明因为f(x)存在极值点,所以由(1)知a0,且x01.由题意,得f(x0)=3(x0-1)2-a=0,即(x0-1)2=,进而f(x0)=(x0-1)3-ax0-b=-x0-b.又f(3-2x0)=(2-2x0)3-a(3-2x0)-b=(1-x0)+2ax0-3a-b=-x0-b=f(x0),且3-2x0x0,由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1x0,因此x1=3-2x0.所以x1+2x0=3.(3)证明设g(x)在区间0,2上的最大值为M,maxx,y表示x,y两数的最大值.下面分三种情况讨论:当a3时,1-021+,由(1)知,f(x)在
11、区间0,2上单调递减,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f(2),f(0),因此M=max|f(2)|,|f(0)|=max|1-2a-b|,|-1-b|=max|a-1+(a+b)|,|a-1-(a+b)|=所以M=a-1+|a+b|2.当a3时,1-01-1+21+,由(1)和(2)知f(0)f=f,f(2)f=f,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为,因此M=max=max=max=+|a+b|.当0a时,01-1+2,由(1)和(2)知f(0)f=f,所以f(x)在区间0,2上的取值范围为f(0),f(2),因此M=max|f(0)|,|f(2)|=max|-1-b|,|1-2a-b|=max|1-a+(a+b)|,|1-a-(a+b)|=1-a+|a+b|.综上所述,当a0时,g(x)在区间0,2上的最大值不小于.
