1、2.3离散型随机变量的均值与方差2.3.1离散型随机变量的均值课时过关能力提升基础巩固1.设随机变量XB(40,p),且E(X)=16,则p=()A.0.1B.0.2C.0.3D.0.4解析:E(X)=40p=16,p=0.4.答案:D2.某一供电网络,有n个用电单位,每个单位在一天中使用电的机会是p,供电网络中一天平均用电的单位个数是()A.np(1-p)B.npC.nD.p(1-p)解析:供电网络中一天用电的单位个数服从二项分布,故所求为np.答案:B3.已知随机变量的分布列是-102Pcos 其中,则E()=()A.2cos +sin B.cos +sin C.0D.1答案:D4.若随机
2、变量B(n,0.6),且E()=3,则P(=1)的值为()A.20.44B.20.45C.30.44D.30.64解析:E()=0.6n=3,n=5,B(5,0.6),P(=1)=0.60.44=30.44.答案:C5.某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1 000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的均值为()A.100B.200C.300D.400解析:E(X)=1 0000.90+1 0000.12=200.答案:B6.随机变量的分布列为123P0.20.5m则的均值是()A.2B.2.1C.2.3D.随m的变化而变化解析:0.2+0.5+m=1,m=
3、0.3,E()=10.2+20.5+30.3=2.1.答案:B7.已知随机变量的分布列为01234P0.10.20.3x0.1则x=,P(13)=,E()=.解析:由0.1+0.2+0.3+x+0.1=1得x=0.3.P(13)=P(=1)+P(=2)=0.5.E()=0.2+0.6+0.9+0.4=2.1.答案:0.30.52.18.某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为代表参加演讲,若用随机变量表示选出的演讲者中女生的人数,则均值E()=.(结果用最简分数表示)解析:可取0,1,2,因此P(=0)= ,P(=1)=,P(=2)=,E()=0+1+2答案:9.随机抛掷一枚骰子,所得点数X
4、的均值为.解析:因为X的分布列为P(X=k)= (k=1,2,3,4,5,6),所以E(X)= (1+2+3+4+5+6)=3.5.答案:3.510.若对于某个数学问题,甲、乙两人都在研究,甲解出该题的概率为,乙解出该题的概率为,设解出该题的人数为,求E().解:记“甲解出该题”为事件A,“乙解出该题”为事件B,可能取值为0,1,2.P(=0)=P()P()=,P(=1)=P(A)+P(B)=P(A)P()+P()P(B)=,P(=2)=P(A)P(B)=所以,的分布列为012P故E()=0+1+2能力提升1.设随机变量的分布列如下表:0123P0.1ab0.1且E()=1.6,则a-b等于(
5、)A.0.2B.0.1C.-0.2D.-0.4解析:根据题意,解得故a-b=-0.2.答案:C2.一射手对靶射击,直到第一次命中为止,每次命中的概率为0.6.现有4发子弹,则命中后剩余子弹数的均值为()A.2.44B.3.376C.2.376D.2.4解析:记命中后剩余子弹数为,则可能取值为0,1,2,3.P(=0)=0.44+0.430.6=0.064,P(=1)=0.420.6=0.096,P(=2)=0.40.6=0.24,P(=3)=0.6.所以,E()=00.064+10.096+20.24+30.6=2.376.答案:C3.有10张卡片,其中8张标有数字2,2张标有数字5,从中任意
6、抽出3张卡片,设3张卡片上的数字之和为X,则X的均值是()A.7.8B.8C.16D.15.6解析:X的取值为6,9,12,P(X=6)=,P(X=9)=,P(X=12)=E(X)=6+9+12=7.8.答案:A4.在一次商业活动中,某人获利300元的概率为0.6,亏损100元的概率为0.4,此人在这样的一次商业活动中获利的均值是.解析:设此人获利为随机变量X,则X的取值是300,-100,其概率分布列为X300-100P0.60.4故E(X)=3000.6+(-100)0.4=140.答案:1405.有5支竹签,编号分别为1,2,3, 4,5,从中任取3支,以X表示取出竹签的最大号码,则E(
7、X)的值为.解析:随机变量X取值为3,4,5.P(X=3)=,P(X=4)=,P(X=5)=,则随机变量X的分布列为345P故E(X)=3+4+5=4.5.答案:4.56.一个随机变量的概率分布列如下表:x123P(=x)?!?某同学计算的均值,尽管“!”处完全无法看清,且两个“?”处字迹模糊,但能断定这两个“?”处的数值相同.据此,该同学给出了正确答案E()=.解析:设P(=1)=P(=3)=a,P(=2)=b,则2a+b=1,于是E()=a+2b+3a=2(2a+b)=2.答案:27.如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量(单位:t)的频率分布直方图.(1)求直方图中x的值; (2
8、)若将频率视为概率,从这个城市随机抽取3位居民(看作有放回的抽样),求月均用水量在34 t 的居民数X的分布列和均值.解:(1)依题意及频率分布直方图知,0.02+0.1+x+0.37+0.39=1,解得x=0.12.(2)由题意知,XB(3,0.1).因此P(X=0)=0.93=0.729,P(X=1)=0.10.92=0.243,P(X=2)=0.120.9=0.027,P(X=3)=0.13=0.001.故随机变量X的分布列为X0123P0.7290.2430.0270.001X的均值为E(X)=30.1=0.3.8.在甲、乙等6个单位参加的一次“唱读讲传”演出活动中,每个单位的节目集中
9、安排在一起,若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序(序号为1,2,6).求:(1)甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率;(2)甲、乙两单位之间的演出单位个数的分布列与均值.解:只考虑甲、乙两单位的相对位置,故可用组合计算基本事件数.(1)设A表示“甲、乙的演出序号至少有一个为奇数”,则表示“甲、乙的演出序号均为偶数”,由等可能性事件的概率计算公式得P(A)=1-P()=1-=1-(2)的所有可能值为0,1,2,3,4,且P(=0)=,P(=1)=,P(=2)=,P(=3)=,P(=4)=从而知的分布列为01234P故E()=0+1+2+3+49.购买某种保险,每个投保人每年度向保险公
10、司交纳保费a元,若投保人在购买保险的一年度内出险,则可以获得10 000元的赔偿金.假定在一年度内有10 000人购买了这种保险,且各投保人是否出险相互独立.已知保险公司在一年度内至少支付赔偿金10 000元的概率为1-0.99(1)求一投保人在一年度内出险的概率p;(2)设保险公司开办该项险种业务除赔偿金外的成本为50 000元,为保证盈利的均值不小于0,求每位投保人应交纳的最低保费(单位:元).解:各投保人是否出险相互独立,且出险的概率都是p,记投保的10 000人中出险的人数为,则B(104,p).(1)记事件A表示“保险公司为该险种至少支付10 000元赔偿金”,则发生当且仅当=0,P(A)=1-P()=1-P(=0)=1-(1-p又P(A)=1-0.99,所以p=0.001.(2)该险种总收入为10 000a元,支出是赔偿金总额与成本的和.支出10 000+50 000,盈利=10 000a-(10 000+50 000),盈利的均值为E()=10 000a-10 000E()-50 000.由B(104,10-3)知,E()=10410-3=10,E()=104a-104E()-5104=104a-10410-5104.E()0,104a-10410-51040,a-10-50,a15.故每位投保人应交纳的最低保费为15元.
