1、浙江省温州市十校联合体2020-2021学年高二数学下学期期末考试试题（含解析）一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1已知集合A1，0，1，2，3，By|yx2+1，xR，则AB（）AB1，2C1，2，3D1，2，5，102双曲线2021的渐近线方程为（）ABy2xCD3下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）ABytanxCy3x3xDyx3+14已知等比数列an的公比为q，则“a10且q1”是“an为递增数列”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5函数的图象大致是（）ABCD6已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列
2、条件的ABC有两解的是（）Aa2，b3，C60Ba2，A30Ca1，b2，A45Da2，b3，cZ7设a0，b0，且a+2b1，则（）A有最小值为B有最小值为6C有最小值为D有最小值为78已知三次函数f（x）2x3+3ax2+bx+c（a，b，cR），且f（2020）2020，f（2021）2021，f（2022）2022，则f（2023）（）A2023B2029C2031D20359如图，已知椭圆C：x2+4y24，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于P点，O是坐标原点，作PNOM于N则|OM|ON|（）A恒为定值B有最小值没最大值C有最大值没最小值D既没最大值也没最小值10如图
3、，在等腰直角三角形ABC中，BC2，C90，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DEBC，现将ADE沿直线DE折起至ADE，使平面ADE平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中错误的是（）AADB的大小不会发生变化B二面角ABDC的平面角的大小不会发生变化C三棱锥AEBC的体积先变大再变小DAB与DE所成的角先变大后变小二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11椭圆的左焦点F坐标为 ，以F为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为 12已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域M内运动，则区域M的面积为 ，z4xy的最大值为 13某四棱锥三视
4、图如图所示，则该几何体的体积是 ，其内切球半径为 14记等差数列an的前n项和为Sn，若，a2+a20210，则S2022 ；当Sn取得最大值时，n 15已知函数，若f（x）+f（x+a）0恒成立，则正数a的最小值是 16设aR，函数，若函数yff（x）恰有4个零点，则实数a的值为 17已知，是平面上的单位向量，则的最大值是 三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.18已知函数（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）在锐角ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）0且a3，求b+c的取值范围19如图，在四棱锥ABCDE中，底面B
5、CDE为平行四边形，BC2，BE4，AB2，M是线段AC的中点，点A在平面BCDE上的射影为线段BD的中点（）证明：AE平面BMD；（）若直线AB与平面BCDE所成角为，求二面角ABDM的平面角的余弦值20已知正项数列an的前n项和为Sn，满足2Snan2+an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）设bn（1）n+1，求数列bn的前n项和Tn，并证明21（16分）如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y22x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k0）（）若直线PA、PB恰好为圆（x2）2+y21的切线，求直线PA的斜率；（）求证：直线AB的斜率为定
6、值并求出当PAB为直角三角形时，PAB的面积22（16分）已知函数f（x）x2+ax+b（aR）（）若a2，当x0时，若不等式f（x）（x2）0恒成立，求实数b的值；（）若b0，且函数y|f（x）|在0，1上单调递增，求a的取值范围；（）若函数yf（x）的图象在0，2上与x轴有两个不同的交点，求b2+2ab+4b的取值范围参考答案一、选择题（共10小题，每题4分，共40分）.1已知集合A1，0，1，2，3，By|yx2+1，xR，则AB（）AB1，2C1，2，3D1，2，5，10解：集合A1，0，1，2，3，By|yx2+1，xRx|y1，AB1，2，3故选：C2双曲线2021的渐近线方程为（
7、）ABy2xCD解：双曲线2021的渐近线方程为0，即y2x故选：B3下列函数中，在定义域内单调递增且是奇函数的是（）ABytanxCy3x3xDyx3+1解：对于A，的定义域为R，因为f（x）ln（+x）lnln（x）f（x），所以f（x）为奇函数，但是f（1）ln（1）0，f（0）0，f（1）f（0），不满足单调递增，不符合题意；对于B，ytanx在R上不单调，不符合题意；对于C，y3x3x在R上单调递增，且f（x）3x3xf（x），即f（x）为奇函数，符合题意；对于D，yx3+1为非奇非偶函数，不符合题意故选：C4已知等比数列an的公比为q，则“a10且q1”是“an为递增数列”的（）A
8、充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解：在等比数列中，若a10，q1，q1，则an+1an，即an为递增数列成立，即充分性成立若an1满足an为递增数列，但a10，q1不成立，即必要性不成立，故a10，q1是an为递增数列的充分不必要条件，故选：A5函数的图象大致是（）ABCD解：根据题意，其定义域为x|x0，排除A，当x0时，f（x）（+），有f（x）0，排除B，当x0时，f（x），在区间（0，）上，f（x）0，排除C，故选：D6已知ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，满足下列条件的ABC有两解的是（）Aa2，b3，C60Ba2，A30Ca1，b2，A
9、45Da2，b3，cZ解：对于A，由余弦定理可得c，三角形只有一解，故错误；对于B，因为A30，可得bsinAab，所以三角形有两解，故正确；对于C，由正弦定理可得，可得sinB1，故错误；对于D，若z5，则a+bc，不能构成三角形，故错误故选：B7设a0，b0，且a+2b1，则（）A有最小值为B有最小值为6C有最小值为D有最小值为7解：因为a0，b0，且a+2b1，则26，当且仅当且a+2b1时取等号，此时取得最小值6故选：B8已知三次函数f（x）2x3+3ax2+bx+c（a，b，cR），且f（2020）2020，f（2021）2021，f（2022）2022，则f（2023）（）A202
10、3B2029C2031D2035解：函数f（x）2x3+3ax2+cx+d，且f（2020）2020，f（2021）2021，f（2022）2022，设三次函数g（x）f（x）x，则g（2020）g（2020）g（2022）0，g（x）（x2020）（x2021）（x2022），g（2023）f（2023）20233216，f（2023）g（2023）+20236+20232029，故选：B9如图，已知椭圆C：x2+4y24，过椭圆C上第一象限的点M作椭圆的切线与y轴相交于P点，O是坐标原点，作PNOM于N则|OM|ON|（）A恒为定值B有最小值没最大值C有最大值没最小值D既没最大值也没最小值
11、解：不妨设切线PM方程为ykx+m，联立切线方程和椭圆方程，消去y得（1+4k2）x2+8kmx+4（m21）0，所以16（m2+4k2+1）0，得4k2+1m2，即k，由韦达定理可得，解得xM，所以yM，可求得，P（0，m），为定值故选：A10如图，在等腰直角三角形ABC中，BC2，C90，D，E分别是线段AB，AC上异于端点的动点，且DEBC，现将ADE沿直线DE折起至ADE，使平面ADE平面BCED，当D从B滑动到A的过程中，下列选项中错误的是（）AADB的大小不会发生变化B二面角ABDC的平面角的大小不会发生变化C三棱锥AEBC的体积先变大再变小DAB与DE所成的角先变大后变小解：co
12、sADBcosADEcosBDEcos60cos120，是定值，ADB的大小不会发生变化，故A正确；由三垂线法作出二面角ABDC的平面角，可知其大小为定值，选项B正确.，由二次函数单调性可知V先变大再变小，选项C正确AB与DE所成的角先变小后变大，选项D错误故选：D二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题6分，单空题每小题6分，共36分.11椭圆的左焦点F坐标为 （1，0），以F为焦点、坐标原点为顶点的抛物线方程为 y24x解：由椭圆的方程可得a24，b23，所以c2a2b21，所以可得椭圆额左焦点F（1，0），所以由题意可得抛物线的焦点坐标为：（1，0）即1，所以p2，所以抛物线的方程为：y
13、22px4x，故答案分别为：（1，0），y24x12已知点P（x，y）在不等式组所表示的平面区域M内运动，则区域M的面积为 ，z4xy的最大值为 4解：由不等式组作出可行域如图，得A（1，0），解得B（0，1），平面区域M的面积为11；化z4xy，得y4xz，由图可知，当直线y4xz过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最大值为4104故答案为：，413某四棱锥三视图如图所示，则该几何体的体积是 ，其内切球半径为 解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面棱长为2，高为2的四棱锥体；如图所示：所以，设内切球的半径为r，所以，整理得：，解得r2故答案为：14记等差数列an的前n项和为Sn
14、，若，a2+a20210，则S20220；当Sn取得最大值时，n1011解：由an是等差数列，得S2012（a1+a2012）1006（a2+a2021）0；又a10，a2+a2021a1011+a10120，所以an是a10的递减数列，且a10110；a10120，所以当Sn取得最大值时，n1011故答案为：0；101115已知函数，若f（x）+f（x+a）0恒成立，则正数a的最小值是 解：如图，可知的最小正周期为，又f（x）+f（x+a）0，则f（x+2a）f（x+a+a）f（x+a）f（x），f（x）的周期为2a，则2a，即，正实数a的最小值为故答案为：16设aR，函数，若函数yff（x
15、）恰有4个零点，则实数a的值为 解：当a0时，f（x），令f（f（x）0，解得f（x）2，所以x0或x4，只有2个根，故函数yff（x）只有2个零点，不符合题意；当a0时，令f（f（x）0，解得f（x）2或f（x）a，因为f（x）a只有一个根，所以f（x）2要有3个根，则当x0时，f（x）最大值为2，即，解得a，又a0，所以a综上所述，实数a的值为故答案为：17已知，是平面上的单位向量，则的最大值是 解：设（1，0），（x，y），且x2+y21，（12x，2y），（1+x，y），+2+当且仅当，即x时取等号，的最大值为故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共74分，解答应写出文字说明、证明过程
16、或演算步骤.18已知函数（）求函数f（x）的最小正周期及单调递增区间；（）在锐角ABC中，设角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（A）0且a3，求b+c的取值范围解：（），函数的最小正周期为由，kZ，得，kZ函数的单调递增区间是，kZ（）由及，故，由正弦定理可知，由，ABC为锐角三角形可得，19如图，在四棱锥ABCDE中，底面BCDE为平行四边形，BC2，BE4，AB2，M是线段AC的中点，点A在平面BCDE上的射影为线段BD的中点（）证明：AE平面BMD；（）若直线AB与平面BCDE所成角为，求二面角ABDM的平面角的余弦值【解答】（）证明：设BD与CE相交于O点，由题意知AO平面BC
17、DE连接MO，点M、O分别是AC、EC的中点，MOAEAE平面MDB，MO平面MDBAE平面BMD（）解：AO平面BCDE，直线AB与平面BCDE所成角为，AO平面BCDE，平面ABD平面CBD二面角ABDM的平面角与二面角MBDC的平面角互余取线段OC中点F，连接MF，则MF平面BCDE取OB中点G，连接FG、MG.，又BC2，CDBE4，CD2BC2+BD2.，即BCBD，FGBC，FGBD又MF平面BCDE，MGF就是二面角MBDC的平面角在RtMFG中，二面角ABDM的平面角的余弦值为20已知正项数列an的前n项和为Sn，满足2Snan2+an（nN*）（）求数列an的通项公式；（）设
18、bn（1）n+1，求数列bn的前n项和Tn，并证明解：（）当n1时，解得a11；当n2时，an是正项数列，an+an10，anan11数列an是以1为首项1为公差的等差数列ann（）证明：由（）可知，因此当n为奇数时，单调递减，此时；当n为偶数时，单调递增，此时21（16分）如图，已知点P（2，2）是抛物线C：y22x上一点，过点P作两条斜率相反的直线分别与抛物线交于A、B两点，直线PA的斜率为k（k0）（）若直线PA、PB恰好为圆（x2）2+y21的切线，求直线PA的斜率；（）求证：直线AB的斜率为定值并求出当PAB为直角三角形时，PAB的面积解：（）依题意，PA：y2k（x2）（k0），由
19、直线PA与圆（x2）2+y21相切，可得，解得（）设A（xA，yA），B（xB，yB），联立直线PA与抛物线方程，消去x可得：ky22y+44k0，用k代替k可得：，因此，即直线AB的斜率为定值，1当PAB90时，由kABk1得k2，此时P（2，2），求得，2当APB90时，可得k1，此时P（2，2），A（0，0），B（8，4），求得，3当ABP90时，无解综上所述，当PAB为直角三角形时，PAB的面积为或1222（16分）已知函数f（x）x2+ax+b（aR）（）若a2，当x0时，若不等式f（x）（x2）0恒成立，求实数b的值；（）若b0，且函数y|f（x）|在0，1上单调递增，求a的取值范
20、围；（）若函数yf（x）的图象在0，2上与x轴有两个不同的交点，求b2+2ab+4b的取值范围解：（）若a2，f（x）x2+2x+b，不等式f（x）（x2）0恒成立当x2时，x20，此时f（x）0，0x2时，x20，此时f（x）0，f（2）4+4+b0，解得b8，经检验符合题意（由图像直接得到f（2）0也相应给分）（）若b0，则y|f（x）|x2+ax|因为x0，1，当a0时，|f（x）|x2+ax在区间0，1上单调递增；当a0时，所以要使f（x）在0，1上单调递增，则需，即a2所以满足条件的实数a的取值范围是（，20，+）（由数形结合得到a的范围也相应给分）（）解：依题意，方程x2+ax+b0在区间0，2上有两个相异实根设x1，x2是方程x2+ax+b0在区间0，2上的两个相异实根，则f（x）（xx1）（xx2），b2+2ab+4bb（4+2a+b）f（0）f（2）x1x2（2x1）（2x2），不妨设0x1x22，则，b2+2ab+4b的取值范围是0，1）
