1、2011高考数学二轮专题天天练：第8课时 解三角形应用举例（三角函数）1如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为，设为坡角，那么cos等于()A. B.C. D.解析：选B.因tan，所以cos.2在ABC中，角A，B均为锐角，且cosAsinB，则ABC的形状是()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D等腰三角形解析：选C.cosAsin(A)sinB，A，B都是锐角，则AB，AB.3如图，若RtABC的斜边AB2，内切圆的半径为r，则r的最大值为()A. B1C. D.1解析：选D.r1，4a2b2，(ab)28.ab2，r1.故选D.4一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好
2、与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60，另一灯塔在船的南偏西75，则这艘船的速度是每小时()A5海里 B5海里C10海里 D10海里解析：选C.如图，依题意有BAC=60，BAD=75，所以CAD=CDA=15，从而CD=CA=10，在直角三角形ABC中，得AB=5，于是这艘船的速度是=10(海里/小时)5如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救，甲船立即前往营救，同时把消息告知在甲船的南偏西30，相距10海里C处的乙船，乙船立即朝北偏东角的方向沿直线前往B处救援，则sin的值等于()A. B.C. D.解析：选D.根据题目条件可
3、作图如图：在ABC中，AB20，AC10，CAB120，由余弦定理有BC2AC2AB22ACABcosCAB20210222010cos120700，BC10，再由正弦定理得，sinACB，cosACB.所以sinsin(30ACB)sin30cosACBcos30sinACB.6.一船自西向东航行，上午10时到达灯塔P的南偏西75、距塔68海里的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船航行的速度为()A.海里/时 B34海里/时C.海里/时 D34海里/时解析：选A.如图，由题意知MPN7545120，PNM45.在PMN中，由正弦定理，得，MN6834.又由M到N所用时间为 1
4、4104(小时)，船的航行速度v(海里/时)7如图，AA1与BB1相交于点O，ABA1B1且ABA1B1.若AOB的外接圆的直径为1，则A1OB1的外接圆的直径为_解析：在AOB中，由正弦定理得1，sinAOBAB，在A1OB1中，由正弦定理得2R2.答案：28如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，AD10，AB14，BDA60，BCD135，则BC的长为_解析：在ABD中，设BDx，则BA2BD2AD22BDADcosBDA，即142x2102210xcos60，整理得x210x960，解之得x116，x26(舍去)在BCD中，由正弦定理：，BCsin308.答案：89一船以每小时15 k
5、m的速度向东航行，船在A处看到一灯塔M在北偏东60方向，行驶4 h后，船到达B处，看到这个灯塔在北偏东15方向，这时船与灯塔的距离为_km.解析：如图，依题意有AB15460，MAB30，AMB45，在AMB中，由正弦定理得，解得BM30(km)答案：3010(2009年高考山东卷)已知函数f(x)2sinxcos2cosxsinsinx(0)在x处取最小值(1)求的值；(2)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知a1，b，f(A)，求角C.解：(1)f(x)2sinxcosxsinsinxsinxsinxcoscosxsinsinxsinxcoscosxsinsin(x)因为f
6、(x)在x时取最小值，所以sin()1，故sin1.又0a，所以B或B.当B时，CAB，当B时，CAB.综上所述，C或C.11某观测站在城A南偏西20方向的C处，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路距C 31千米的B处有一人正沿公路向城A走去，走了20千米后到达D处，此时CD间的距离为21千米，问这人还要走多少千米可到达城A?解：如图所示，设ACD=，CDB=.在CBD中由余弦定理得cos，sin.而sinsin(60)sincos60sin60cos.在ACD中，AD15(千米)所以这人再走15千米才可到城A.12如图所示，甲船由A岛出发向北偏东45的方向作匀速直线航行，速
7、度为15海里/小时，在甲船从A岛出发的同时，乙船从A岛正南40海里处的B岛出发，朝北偏东(tan)的方向作匀速直线航行，速度为10海里/小时(1)求出发后3小时两船相距多少海里？(2)求两船出发后多长时间距离最近？最近距离为多少海里？(3)两船在航行中能否相遇，试说明理由解：以A为原点，BA所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系设在t时刻甲、乙两船分别在P(x1，y1)、Q(x2，y2)处则由tan可得，cos，sin，故(1)令t3，P、Q两点的坐标分别为(45,45)，(30,20)，|PQ|5.即出发后3小时两船相距5海里(2)由(1)的解法过程易知：|PQ|20，当且仅当t4时，|PQ|取得最小值20.即两船出发4小时后距离最近，最近距离为20海里(3)由(2)可知，两船之间的最近距离为20海里，所以两船在航行中不会相遇
