1、1.1集合与集合的表示方法1.1.1集合的概念课时过关能力提升1下列指定的对象,不能构成集合的是()A.一年中有31天的月份B.数轴上到原点的距离等于1的点C.满足方程x2-2x-3=0的xD.某校高一(1)班性格开朗的女生答案D2若集合A中只含有一个元素a,则下列关系表示正确的是()A.aAB.aAC.a=AD.A=答案A3已知集合A是由0,m,m2-3m+2三个元素构成的集合,且2A,则实数m的值为()A.2B.3C.0或3D.0或2或3解析由题意,知m=2或m2-3m+2=2,解得m=2或m=0或m=3.经检验,当m=0或m=2时,不满足集合A中元素的互异性;当m=3时,满足题意.综上可
2、知,m=3.答案B4有下列命题:集合N中最小的正数是1;若-aN,则aN;x2-6x+9=0的解集中的元素为3,3;由元素4,3,2与3,2,4构成的集合是同一个集合.其中正确的个数为()A.0B.1C.2D.3解析正确;中若a取-1,有-aN,但aN,故错误;中方程的解为x1=x2=3,根据集合中元素的互异性知其解集中的元素只有3,故错误.答案C5已知集合A是无限集,且集合A中的元素为12,22,32,42,若mA,nA,则mnA.其中“”表示的运算可以是()A.加法B.减法C.乘法D.除法解析因为两个正整数的平方的乘积肯定是一个正整数的平方,所以选C
3、.答案C6已知集合P中含有0,2,5三个元素,集合S中含有1,2,6三个元素.如果定义集合T中的元素是x+y,其中xP,yS,那么集合T中元素的个数是()A.6B.7C.8D.9解析因为0+1=1,0+2=2,0+6=6,2+1=3,2+2=4,2+6=8,5+1=6,5+2=7,5+6=11,所以T中含有8个元素1,2,6,3,4,8,7,11.答案C7由实数a,-a,|a|,组成的集合中最多含有个元素,最少含有个元素.答案218已知方程x2-4x+3=0和x2+4x-5=0的实数根组成的集合分别记为A和B,若xA,且xB,则x=.解析由已知得集合A中含有1和3两个元素,集合B中含有1和-5
4、两个元素,因此当xA,且xB时,x=3.答案39对于由元素2,4,6构成的集合,若aA,则6-aA.其中a的值是.解析当a=2时,6-a=4A;当a=4时,6-a=2A;当a=6时,6-a=0A.因此a的值为2或4.答案2或410若x为实数,则由对象x,x2-x,x3-3x能构成一个集合吗?如果能构成集合,请说明理由;如果不能,请给出附加条件,使它们构成一个集合.解由于x为实数,x,x2-x,x3-3x这三个实数有可能相等,此时不满足集合中元素的互异性,因此,它们不一定能构成集合.由x=x2-x,得x=0或x=2;由x=x3-3x,得x=0或x=2;由x2-x=x3-3x,得x=0或x=2或x
5、=-1,故只有增加条件x0,且x-1,且x-2,且x2,由对象x,x2-x,x3-3x才能构成一个集合.11方程ax2+2x+1=0,aR的根构成集合A.(1)当A中有且只有一个元素时,求a的值,并求此元素;(2)当A中至少有一个元素时,求a满足的条件.解(1)A中有且只有一个元素,即ax2+2x+1=0有且只有一个根或有两个相等的实根.当a=0时,方程的根为x=-;当a0时,由=4-4a=0,得a=1,此时方程的两个相等的根为x1=x2=-1.综上可知,当a=0时,集合A中的元素为-;当a=1时,集合A中的元素为-1.(2)A中至少有一个元素,即方程ax2+2x+1=0有两个不相等的实根或有
6、两个相等的实根或有一个实根.当方程有两个不相等的实根时,a0,且=4-4a0,即a1,且a0;当方程有两个相等的实根时,a0,且=4-4a=0,即a=1;当方程有一个实根时,a=0,此时2x+1=0,得x=-,符合题意.由可知,当A中至少有一个元素时,a满足的条件是a1.12已知集合A中的元素满足性质:若实数aA,a1,则A.(1)若a=2A,试探究集合A中一定含有另外的元素;(2)说明集合A不是单元素集合.分析解此题的关键在于由已知aA,a1,得到A,A,然后逐步探究,再根据集合中元素的互异性,从而使问题得以解决.解(1)若2A,则=-1A,A,=2A.故集合A中一定还含有两个元素-1,.(2)若集合A是单元素集合,则a=,即a2-a+1=0,但此方程无实数解,故a.又因为a与都为集合A中的元素,所以集合A不是单元素集合.
