1、第24练空间几何体的三视图及表面积与体积题型分析高考展望三视图作为新课标新增加的内容，是高考的热点和重点：其考查形式多种多样，选择题、填空题和综合解答题都有出现，而这些题目以选择题居多；立体几何中的计算问题考查的知识，涉及到三视图、空间几何体的表面积和体积以及综合解答和证明常考题型精析题型一三视图识图例1(1)(2014湖北)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)，给出编号为、的四个图，则该四面体的正视图和俯视图分别为()A和 B和 C和 D和(2)将正方体(如图(1)所示)截去两个三棱锥，得到如图(2)所
2、示的几何体，则该几何体的侧(左)视图为()答案(1)D(2)B解析(1)由三视图可知，该几何体的正视图是一个直角三角形(三个顶点的坐标分别是(0,0,2)，(0,2,0)，(0,2,2)且内有一虚线(一顶点与另一直角边中点的连线)，故正视图是；俯视图即在底面的射影是一个斜三角形，三个顶点的坐标分别是(0,0,0)，(2,2,0)，(1,2,0)，故俯视图是.(2)还原正方体后，将D1，D，A三点分别向正方体右侧面作垂线D1A的射影为C1B，且为实线，B1C被遮挡应为虚线点评画法规则：(1)由几何体的轮廓线定形状，看到的画成实线，看不到的画成虚线(2)正(主)俯一样长，俯侧(左)一样宽，正(主)
3、侧(左)一样高变式训练1(2014江西)一几何体的直观图如图，下列给出的四个俯视图中正确的是()答案B解析该几何体是组合体，上面的几何体是一个五面体，下面是一个长方体，且五面体的一个面即为长方体的一个面，五面体最上面的棱的两端点在底面的射影距左右两边距离相等，因此选B.题型二空间几何体的表面积和体积例2(1)(2015安徽)一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是()A1 B2C12 D2(2)(2015天津)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m3. 答案(1)B(2)解析(1)由空间几何体的三视图可得该空间几何体的直观图，如图，该四面体的表面积为S表2212
4、()22，故选B.(2)由三视图可知，该几何体由相同底面的两圆锥和圆柱组成，底面半径为1 m，圆锥的高为1 m，圆柱的高为2 m，所以该几何体的体积V2121122m3.点评利用三视图求几何体的表面积、体积，需先由三视图还原几何体，三个图形结合得出几何体的大体形状，由实虚线得出局部位置的形状，再由几何体的面积体积公式求解变式训练2(2014陕西)四面体ABCD及其三视图如图所示，平行于棱AD，BC的平面分别交四面体的棱AB，BD，DC，CA于点E，F，G，H.(1)求四面体ABCD的体积；(2)证明：四边形EFGH是矩形(1)解由该四面体的三视图可知，BDDC，BDAD，ADDC，BDDC2，
5、AD1，AD平面BDC，四面体ABCD的体积V221.(2)证明BC平面EFGH，平面EFGH平面BDCFG，平面EFGH平面ABCEH，BCFG，BCEH，FGEH.同理EFAD，HGAD，EFHG，四边形EFGH是平行四边形，又AD平面BDC，ADBC，EFFG.四边形EFGH是矩形高考题型精练1(2015课标全国)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示若该几何体的表面积为1620，则r等于()A1 B2 C4 D8答案B解析由正(主)视图与俯视图想象出其直观图，然后进行运算求解如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的
6、半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S4r2r24r2r2r(54)r2.又S1620，(54)r21620，r24，r2，故选B.2(2015重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C.2 D.2答案A解析这是一个三棱锥与半个圆柱的组合体，V1221，选A.3(2014浙江)某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则此几何体的表面积是()A90 cm2 B129 cm2C132 cm2 D138 cm2答案D解析该几何体如图所示，长方体的长、宽、高分别为6 cm,4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，边长分别为3 cm,4 cm，5 cm，所以表
7、面积S2(4643)36339939138(cm2)4如图是某简单组合体的三视图，则该组合体的体积为()A36() B36(2)C108 D108(2)答案B解析由俯视图可知该几何体的底面由三角形和半圆两部分构成，结合正(主)视图和侧(左)视图可知该几何体是由半个圆锥与一个三棱锥组合而成的，并且圆锥的轴截面与三棱锥的一个侧面重合，两个锥体的高相等由三视图中的数据，可得该圆锥的底面半径r6，三棱锥的底面是一个底边长为12，高为6的等腰三角形，两个锥体的高h6，故半圆锥的体积V162636.三棱锥的底面积S12636，三棱锥的体积V2Sh36672.故该几何体的体积VV1V2367236(2)故选
8、B.5(2014重庆)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为()A54 B60C66 D72答案B解析由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由正(主)视图和侧(左)视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中，直角梯形ABPA1的面积为(25)414，计算可得A1P5.直角梯形BCC1P的面积为(25)5.因为A1C1平面A1ABP，A1P平面A1ABP，所以A1C1A1P，故RtA1PC1的面积为53.又RtABC的面积为436，矩形ACC1A1的面积为5315，故几何体ABC
9、A1PC1的表面积为1461560.6两球O1和O2在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的内部，且互相外切，若球O1与过点A的正方体的三个面相切，球O2与过点C1的正方体的三个面相切，则球O1和球O2的表面积之和的最小值为()A(63) B(84)C(63) D(84)答案A解析设球O1，O2的半径分别为r1，r2，由题意知O1AO1O2O2C1，而O1Ar1，O1O2r1r2，O2C1r2，r1r1r2r2.r1r2，从而S1S24r4r4(rr)4(63).7已知球的直径SC4，A，B是该球球面上的两点，AB，ASCBSC30，则棱锥SABC的体积为()A3 B2 C. D1答案C解
10、析如图，过A作AD垂直SC于D，连接BD.由于SC是球的直径，所以SACSBC90，又ASCBSC30，又SC为公共边，所以SACSBC.由于ADSC，所以BDSC.由此得SC平面ABD.所以VSABCVSABDVCABDSABDSC.由于在RtSAC中，ASC30，SC4，所以AC2，SA2，由于AD.同理在RtBSC中也有BD.又AB，所以ABD为正三角形，所以VSABCSABDSC()2sin 604，所以选C.8(2015山东)在梯形ABCD中，ABC，ADBC，BC2AD2AB2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为()A. B. C. D2答案C
11、解析过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示，该几何体的体积为VV圆柱V圆锥AB2BCCE2DE122121，故选C.9(2014北京)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为_答案2解析根据三视图还原几何体，得如图所示的三棱锥PABC.由三视图的形状特征及数据，可推知PA平面ABC，且PA2.底面为等腰三角形，ABBC，设D为AC的中点，AC2，则ADDC1，且BD1，易得ABBC，所以最长的棱为PC，PC2.10一个几何体的三视图
12、如图所示，其中正(主)视图是等边三角形，俯视图是半圆现有一只蚂蚁从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，则蚂蚁所经过路程的最小值为_答案解析如图所示，侧面展开图为一个四分之一圆与一个等边三角形，从点A出发沿该几何体的侧面环绕一周回到A点，蚂蚁所经过路程的最小值为|AA1|.11如图所示是一几何体的直观图及正(主)视图、侧(左)视图、俯视图(1)若F为PD的中点，证明：AF平面PCD；(2)证明：BD平面PEC.证明(1)由几何体的三视图，可知底面ABCD是边长为4的正方形，PA平面ABCD，PAEB，PA2EB4.因为PAAD，F为PD的中点，所以PDAF.又CDDA，CDPA，PADAA
13、，所以CD平面ADP.所以CDAF.又CDDPD，所以AF平面PCD.(2)取PC的中点M，连接AC，EM，AC与BD的交点为N，连接MN，所以MNPA，MNPA.所以MNEB，MNEB.故四边形BEMN为平行四边形所以EMBN.又EM平面PEC，BN平面PEC，所以BD平面PEC.12如图1，在直角梯形ABCD中，ADC90，CDAB，AB4，ADCD2，将ADC沿AC折起，使平面ADC平面ABC，得到几何体DABC，如图2所示(1)求证：BC平面ACD；(2)求几何体DABC的体积(1)证明在图中，可得ACBC2，从而AC2BC2AB2，故ACBC.又平面ADC平面ABC，平面ADC平面ABCAC，BC平面ABC，BC平面ACD.(2)解由(1)可知BC为三棱锥BACD的高，BC2，SACD2，VBACDSACDBC22，由等体积性可知，几何体DABC的体积为.
