1、课时作业19几何概型 基础巩固(25分钟,60分)一、选择题(每小题5分,共25分)1下列关于几何概型的说法错误的是()A几何概型是古典概型的一种,基本事件都要具有等可能性B几何概型中事件发生的概率与它的形状或位置无关C几何概型在一次试验中可能出现的结果有无限个D几何概型中每个结果的发生都具有等可能性解析:几何概型和古典概型是两种不同的概率模型答案:A2已知函数f(x)2x,若从区间2,2上任取一个实数x,则使不等式f(x)2成立的概率为()A. B.C. D.解析:基本事件的总数构成的区域对应的长度是2(2)4,由f(x)2可得x1,所以满足题设的基本事件构成的区域对应的长度是211,则使不
2、等式f(x)2成立的概率为.答案:A3在半径为2的球O内任取一点P,则|OP|1的概率为()A. B.C. D.解析:问题相当于在以O为球心,1为半径的球外,且在以O为球心,2为半径的球内任取一点,所以P.答案:A4已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P,使APB的最大边是AB ”发生的概率为,则()A. B.C. D.解析:如图,在矩形ABCD中,以B,A为圆心,以AB为半径作圆交CD分别于E,F,当点P在线段EF上运动时满足题设要求,所以E,F为CD的四等分点,设AB4,则DF3,AFAB4,在直角三角形ADF中,AD,所以.答案:D5如图,边长为2的正方形中有一封闭曲线围成的阴影
3、区域在正方形中随机撒一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是,则阴影区域的面积是()A.B.C. D无法计算解析:在正方形中随机撒一粒豆子,其结果有无限个,属于几何概型设“落在阴影区域内”为事件A,则事件A构成的区域是阴影部分设阴影区域的面积为S,全部结果构成的区域面积是正方形的面积,则有P(A),解得S.答案:C二、填空题(每小题5分,共15分)6记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x,则xD的概率是_解析:令6xx20,解得2x3,即D2,3,在区间4,5上随机取一个数x,则xD的概率P.答案:7在平面直角坐标系xOy中,设D是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域,E
4、是到原点的距离不大于1的点构成的区域,向D中随机投一点,则落入E中的概率为_解析:如图,区域D表示边长为4的正方形的内部(含边界),区域E表示单位圆及其内部,因此P.答案:8一个球形容器的半径为3 cm,里面装有纯净水,因不小心混入了1个感冒病毒,从中任取1 mL水(体积为1 cm3),含有感冒病毒的概率为_解析:水的体积为R33336(cm3)36(mL),则含感冒病毒的概率为P.答案:三、解答题(每小题10分,共20分)9一个路口的红灯亮的时间为30秒,黄灯亮的时间为5秒,绿灯亮的时间为40秒,当你到达路口时,看见下列三种情况的概率各是多少?(1)红灯亮;(2)黄灯亮;(3)不是红灯亮解析
5、:在75秒内,每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的,属于几何概型(1)P;(2)P;(3)P.10(1)在区间0,4上随机取两个整数m,n,求关于x的一元二次方程x2xm0有实数根的概率P(A);(2)在区间0,4上随机取两个数m,n,求关于x的一元二次方程x2xm0有实数根的概率P(B)解析:方程x2xm0有实数根,则n4m0.(1)由于m,n0,4,且m,n是整数,因此m,n可能的取值共有25组又满足n4m0的m,n的取值有共6组因此,原方程有实数根的概率P(A).(2)对应的区域如图中正方形区域,面积为16,而n4m0(m,n0,4)表示的区域如图中阴影部分所示,面积为142.因此,原方
6、程有实数根的概率P(B).能力提升(20分钟,40分)11一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行,若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1,称其为“安全飞行”,则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. B.C. D.解析:根据题意:安全飞行的区域为棱长为1的正方体,P.故选B.答案:B12在区间0,5上随机地选择一个数p,则方程x22px3p20有两个负根的概率为_解析:由题意,得解得p1或2p5,所以p.答案:13甲、乙两人约定晚上6点到7点之间在某地见面,并约定先到者要等候另一人一刻钟,过时即可离开求甲、乙能见面的概率解析:如图所示:以x轴和y轴分别表示甲、乙两人到达约定地点
7、的时间,则两人能够会面的等价条件是|xy|15.在平面直角坐标系内,(x,y)的所有可能结果是边长为60的正方形,而事件A“两人能够见面”的可能结果是阴影部分所表示的平面区域,由几何概型的概率公式得:P(A).所以两人能会面的概率是.14如图,已知AB是半圆O的直径,AB8,M,N,P是将半圆圆周四等分的三个点(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,求这3个点组成直角三角形的概率;(2)在半圆内任取一点S,求SAB的面积大于8的概率解析:(1)从A,B,M,N,P这5个点中任取3个点,一共可以组成10个三角形:ABM,ABN,ABP,AMN,AMP,ANP,BMN,BMP,BNP,MNP,其中是直角三角形的只有ABM,ABN,ABP 3个,所以组成直角三角形的概率为.(2)易知半圆的面积为8.连接MP,OM,OP,取线段MP的中点D,连接ON,则ODMP,易求得OD2,当S点在线段MP上时,SABS288,所以只有当S点落在阴影部分时,SAB的面积才能大于8,而S阴影S扇形MOPSOMP424248,所以由几何概型的概率公式得SAB的面积大于8的概率为.