1、2020-2021学年山东省济南一中高三（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题）1. 复数（是虚数单位）的虚部是（ ）A. 1B. C. D. A分析：利用复数的除法运算化简，并判断虚部.解答：复数，复数的虚部是1，故选：A2. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. A分析：先解分数不等式和一元二次不等式化简集合A，B，再进行交集运算即可解答：解分式不等式得，故，使对数型函数有意义，则一元二次方程，即得，故，所以.故选：A.3. 设向量，满足，则（ ）A. 2B. C. D. B分析：利用和解出，再求解答：解：因为向量，满足，所以，可得，所以故选：B点拨：利用可实现向量与向量的模的互化.
2、4. 已知函数f (x)的图象如图所示，则f (x)的解析式可以是（ ）A. f (x)B. f (x)C. f (x)1D. f (x)xA分析：根据图象的对称性，结合函数极限，即可容易判断和选择.解答：由函数图象可知，函数f (x)为奇函数，而中，是非奇非偶函数，是偶函数，应排除B，C.若函数为f (x)x，则x时，f (x)，排除D；故选：.点拨：本题考查由函数图象选取函数解析式，涉及函数奇偶性判断以及极限，属综合基础题.5. 中国古代数学名著张丘建算经中记载：“今有马行转迟，次日减半，疾七日，行七百里，问日行几何”.意思是：“现有一匹马行走的速度逐渐变慢，每天走的里程数是前一天的一半，
3、连续走了7天，共走了700里，问每天走的里数各是多少？”根据以上叙述，该匹马第四天走的里数是（ ）A. B. C. D. C分析：本题先判断每天走的里数是以为公比的等比数列，再根据求出，最后运用通项公式即可解题.解答：解：由题意可知，每天走的里数是以为公比的等比数列，由题意可得，故，.故选：C.点拨：本题考查等比数列的前项和公式与等比数列的通项公式在实际问题中的应用，是基础题.6. 为了规定工时定额，需要确定加工某种零件所需的时间，为此进行了5次试验，得到5组数据：，由最小二乘法求得回归直线方程为.若已知，则（ ）.A. 75B. C. 375D. 442D分析：利用回归直线方程过样本中心点，
4、求得的值.解答：因为，回归直线方程为，所以，则.故选：D点拨：本小题主要考查回归直线方程过样本中心点，属于基础题.7. 已知函数的图象与轴切于点，则的极值为（ ）A. 极大值为，极小值为0B. 极大值为0，极小值为C. 极小值为，极大值为0D. 极大值为，极小值为0A分析：将点代入解析式，再由处的切线斜率为，建立方程组得出，再结合导数得出函数的单调性，进而确定极值.解答：解：由函数的图象与轴切于点得：，联立，解得，则函数则，令得到：或当或时，当时，即函数在，上单调递增，在上单调递减则极大值为，极小值为故选：A点拨：关键点睛：解决本题的关键在于由函数在处切线的斜率为，建立方程求出的值.8. 若，
5、则（ ）A. B. C. D. A分析：先根据已知条件利用二倍角公式求，再利用诱导公式求即可.解答：，故.故选：A.点拨：本题考查了二倍角的余弦公式和诱导公式，属于基础题.9. 已知是边长为2的等边三角形，且，则（ ）A. B. C. D. B分析：由平面向量的线性运算可得，再由平面向量数量积的运算即可得解.解答：由题意画出图形，如图，因为，所以，所以.故选：B.点拨：本题考查了平面向量线性运算及数量积运算的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.10. 已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，当时，则以下各项中最小的是（ ）A. B. C. D. D分析：利用已知条件可知、，进而得到，即周期为
6、8，应用周期性结合已知区间解析式，即可知、中最小值.解答：是奇函数，即关于对称，的图象关于点对称，即又为偶函数，即关于对称，的图象关于直线对称，即，即，函数的周期为8，故最小故选：D点拨：本题考查了函数的性质，根据已知奇偶性推导函数的周期，应用函数周期求函数值，进而比较大小，属于基础题.二、多项选择题（共4小题）11. 已知函数，则（ ）A. 图象的一条对称轴方程为B. 图象的一个对称中心为C. 将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再向下平移2个单位长度，可得到的图象D. 将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线关于轴对称CD分析：先将函数化为，利用整体换元去考察它的对称轴与对称中心
7、，利用三角函数的图象变换规律去判断CD即可.解答：，令，则，故A错误；令，则，所以图象的对称中心为，故B错误；将曲线上各点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到曲线的图象，再向下平移2个单位长度得到曲线的图象，故C正确；将的图象向右平移个单位长度，得到的曲线方程为，其为偶函数，故D正确.故选：CD12. 2020年新型冠状病毒肺炎疫情对消费饮食行业造成了很大影响，为了解A，B两家大型餐饮店受影响的程度，现统计了2020年2月到7月A，B两店每月营业额，得到如图所示的折线图，根据营业额折线图可知，下列说法正确的是（ ）A. A店营业额的平均值超过B店营业额的平均值B. A店营业额在6月份达到最
8、大值C. A店营业额的极差比B店营业额的极差小D. A店5月份的营业额比B店5月份的营业额小ABC分析：根据营业额折线图可得解解答：A店的2-7月的营业额故A正确,根据营业额折线图可知B正确；A店营业额的极差，B店营业额的极差故C正确，A店5月份的营业额45比B店5月份的营业额35大，故D错误，故选：ABC点拨：本题考查根据折线图进行数据分析，属于基础题.13. 等差数列中，为其前项和，则以下正确的是A. B. C. 的最大值为D. 使得的最大整数BCD分析：先由题设求出等差数列的公差，再逐项判断其正误即可解答：解：，数列的公差，故A错误；，故B正确；，当时，取得最大值；，故D正确；故选：BC
9、D点拨：根据等差数列中的基本量的计算及性质进行计算是求解此类问题的常见方法.利用二次函数的性质求等差数列前项和的最大值是常见的方法.14. 下列说法不正确的是（ ）A. 不等式的解集为B. 已知：，：，则是充分不必要条件C. 若，则函数的最小值为2D. 当时，不等式恒成立，则的取值范围是ACD分析：求出不等式的解集判断A；根据充分条件，必要条件的概念判断B，基本不等式判断C，反例判断D.解答：对于A，不等式的解集为，所以A不正确；对于B，：，即，：，：，则是的充分不必要条件，所以B正确；对于C，若，则函数，当且仅当时取等号，显然不正确，所以C不正确；对于D，当时，时，不等式恒成立，所以命题D中
10、的取值范围是，不正确，所以D不正确；故选：ACD三、填空题（共4小题）15. 已知随机变量，若，则_.0.8分析：先根据正态分布对称性求，再求解答：因为随机变量， ，所以因此故答案为：0.8点拨：本题考查利用正态分布对称性求概率，考查基本分析求解能力，属基础题.16. 已知，则_45.分析：根据实数指数幂和对数的运算性质，即可化简、求值，得到答案.解答：根据对数的运算性质，可得，则，所以.点拨：本题主要考查了实数指数幂和对数的运算性质的化简求值问题，其中解答中熟记实数指数幂和对数的运算性质，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.17. 已知7件产品中有5件合格品，2件次品
11、.为找出这2件次品，每次任取一件检验，检验后不放回，则“恰好第一次检验出正品且第五次检验出最后一件次品”的概率为_.分析：根据两件次品的位置，得到共有种情形，再根据题意，得到另一件次品的可能数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.解答：由题意，7件产品中有5件合格品，则两件次品的位置，共有种取法，因为恰好第五次取出最后一件次品，可得另一件次品只能排2，3，4位，共有种取法，所以概率为.故答案为：.点拨：本题主要考查了古典概型及其概率的计算，以及组合数公式的应用，其中解答中正确理解题意，结合组合数的计算和古典概型的概率公式求解是解答的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力.18. 定义方程的实
12、数根叫做函数的“新驻点”（1）设，则在上的“新驻点”为_（2）如果函数与的“新驻点”分别为、，那么和的大小关系是_ (1). (2). 分析：（1）求得方程在上的根即可得解；（2）利用零点存在定理可求得所在区间，并求出的值，进而可得出与的大小关系.详解】（1），令，即，得，解得，所以，函数在上的“新驻点”为；（2），则，令，则对任意的恒成立，所以，函数在定义域上为增函数，由零点存在可得，令，可得，即，所以，.故答案为：（1）；（2）.点拨：本题考查函数的新定义问题，考查了零点存在定理的应用，属于中等题.四、解答题（共5小题，共70分）19. 已知的内角，的对边分别为，且.（1）证明：；（2）记
13、线段上靠近点的三等分点为，若，求.（1）证明见解析；（2）6.分析：（1）由正弦定理得，整理得，可得证.（2）设，则，由余弦定理和，可得，可求得c.解答：（1）因为，所以由正弦定理得，整理得.因为，所以，即.（2）设，则，由余弦定理可得，.因为，所以，解得，所以.点拨：本题考查运用正弦定理，余弦定理求解三角形，属于中档题.20. 已知正项等比数列满足，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前n项和.（1）（2）分析：（1）根据等比数列的通项公式即可求解.（2）根据对数的运算性质以及裂项求和法即可求解.解答：解：（1）设正项等比数列的公比为.，.，联立解得：，.（2）数列的前n项和.点拨：
14、本题考查了等比数列的通项公式、裂项求和法以及对数的运算性质，属于基础题.21. 如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值.（1）证明见解析；（2）.分析：（1）由线面垂直得线线垂直.，再由线面垂直的判定定理得证线面垂直；（2）以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，用空间向量法求二面角解答：解：（1）由已知得，平面，平面，故.又，所以平面.（2）由（1）知.由题设知，所以，故，.以为坐标原点，的方向为轴正方向，为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则即所以可取得.设平面的法向量为，则即所以可取
15、，得.于是.所以，二面角的正弦值为.点拨：本题考查证明线面垂直，考查用空间向量法求二面角，解题关键是建立空间直角坐标系，求出二面角的两个面的法向量，由法向量夹角求得二面角22. 某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数，并将完成生产任务所需时间超过和不超过的工人数填
16、入下面的列联表：超过不超过第一种生产方式第二种生产方式（3）根据（2）中的列联表，能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异？附：， （1）第二种生产方式的效率更高. 理由见解析（2）80（3）能分析：解答：分析：（1）计算两种生产方式的平均时间即可（2）计算出中位数，再由茎叶图数据完成列联表（3）由公式计算出，再与6.635比较可得结果详解：（1）第二种生产方式的效率更高.理由如下：（i）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至少80分钟，用第二种生产方式的工人中，有75%的工人完成生产任务所需时间至多79分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（ii）由
17、茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为85.5分钟，用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间的中位数为73.5分钟.因此第二种生产方式的效率更高.（iii）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间高于80分钟；用第二种生产方式的工人完成生产任务平均所需时间低于80分钟，因此第二种生产方式的效率更高.（iv）由茎叶图可知：用第一种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎8上的最多，关于茎8大致呈对称分布；用第二种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布在茎7上的最多，关于茎7大致呈对称分布，又用两种生产方式的工人完成生产任务所需时间分布的区间相同，
18、故可以认为用第二种生产方式完成生产任务所需的时间比用第一种生产方式完成生产任务所需的时间更少，因此第二种生产方式的效率更高.以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.（2）由茎叶图知.列联表如下：超过不超过第一种生产方式155第二种生产方式515（3）由于，所以有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.点睛：本题主要考查了茎叶图和独立性检验，考察学生的计算能力和分析问题的能力，贴近生活23. 设函数，为的导函数.（1）求的单调区间；（2）当时，证明.（1）的单调递增区间为，的单调递减区间为；（2）证明见解析.分析：（1）求出原函数的导函数，可得当，时，单调递减；当，时，单调递增；（2）记，依题意及（），得到，由，得在区间，上单调递减，有，从而得到当，时，；解答：（1）由题意得，因此当时，有，得，则单调递减；当时，有，得，则单调递增.所以的单调递增区间为，的单调递减区间为.（2）记，由题意及（1）可知有，从而，当时，故，因此区间上单调递减，进而.所以当时，.点拨：本题主要考查导数的运算，不等式的证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想和化归与转化思想，考查抽象概括能力、综合分析问题与解决问题的能力，属难题
