1、选修4-5练习 3.1.2柯西不等式(3) 姓名 1、已知，求证： 2、已知是不全相等的正数，求证： 3、已知. 4、 设 求证： 5、已知实数满足, 求的取值范围. 6、已知 且 求证： 7、已知正数满足 证明 8、解方程组 9、若n是不小于2的正整数，试证：。 参考答案: 一般形式的柯西不等式： 设为大于1的自然数，(1,2,)，则：， 其中等号当且仅当时成立(当时，约定，1,2,). 等号成立当且仅当 柯西不等式不仅在高等数学中是一个十分重要的 不等式，而且它对初等数学也有很可的指导作用，利用它能高远瞩、居高临下，从而方便 地解决一些中学数学中的有关问题。例1 解：由柯西不等式得，有 即
2、 由条件可得， 解得，当且仅当 时等号成立， 代入时， 时 例2解：由柯西不等式，得 又. 即不等式中只有等号成立. 从而由柯西不等式中等号成立的条件，得它与联立，可得 例3证明：由柯西不等式得，记为的面积，则故不等式成立。例4 证明：由柯西不等式，得 当且仅当时，上式取等号， 于是 。 例5 分析：这道题初看似乎无法使用柯西不等式，但改变其结构，我们不妨改为证：证明：为了运用柯西不等式，我们将写成于是 即 故我们进一步观察柯西不等式，可以发现其特点是：不等式左边是两个因式这和，其中每一个因式都是项平方和，右边是左边中对立的两两乘积之和的平方，证题时，只要能将原题凑成此种形式，就可以引用柯西不等式来证明。练习 1证： 2、 3 4、 5 6 7证明：利用柯西不等式 又因为 在此不等式两边同乘以2，再加上得：故8. 解：原方程组可化为 运用柯西不等式得, 两式相乘，得 当且仅当x=y=z=w=3时取等号。故原方程组的解为x=y=z=w=3.9、证明：证明： 所以求证式等价于 由柯西不等式有 于是： 又由柯西不等式有
