1、第四章函数应用1函数与方程11利用函数性质判定方程解的存在(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(2)掌握函数零点存在的方法(3)能结合图像求解函数零点问题2过程与方法通过观察二次函数图像，并计算函数在区间端点上的函数值之积的特点，找到连续函数在某个区间上存在零点的判断方法3情感、态度与价值观在函数与方程的联系中体验数学中的转化思想的意义和价值进一步拓展了学生的视野，使他们体会到数学当中不同内容之间的内在联系重点难点重点：连续函数在某区间上存在零点的判定方法难点：发现与理解方程的根与函数零点的关系通过对二次函数的图像的研究判断一元二次方程
2、根的存在性以及根的个数建立一元二次方程的根与相应的二次函数的零点的联系，然后由特殊到一般，将其推广到一般方程与相应的函数的情形它既揭示了初中一元二次方程与相应的二次函数的内在联系，也引出对函数知识的总结拓展之后将函数零点与方程的根的关系在利用二分法解方程中加以应用，通过建立函数模型以及模型的求解更全面地体现函数与方程的关系，逐步建立起函数与方程的联系渗透“方程与函数” 思想(教师用书独具)教学建议 教材选取“探究具体的一元二次方程根与其对应二次函数的图像与x轴的交点的横坐标之间的关系”作为内容的入口，其意图是让学生从熟悉的环境中发现新知识，使新知识与原知识形成联系教学时尽量多给学生提供探究情景
3、，让学生自己发现并归纳结论：一元二次方程ax2bxc0(a0)的根就是相应的二次函数yax2bxc(a0)的图像与x轴交点的横坐标值得注意的问题是：对于教材中给出了函数零点的判定定理，只要求学生理解并会用，而不要求学生证明教学流程通过实例分析：判断方程x2x60解的存在性，引出本节课课题抽象概括出函数的零点的定义，根据定义完成例1及其变式训练函数图像从x轴上方到下方或从x轴下方到上方都会穿过 x 轴，即图像连续且有使函数值为零的点的横坐标，那么对应方程一定有解导出函数零点的存在定理，并由此完成例2及其变式训练根据零点存在定理，解决二次函数根的分布问题，完成例3及其变式训练归纳整理，进行课堂小结
4、，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第63页)课标解读1.了解函数零点的概念，领会方程的根与函数零点之间的关系(易混点)2掌握函数零点存在的判定方法(重点)3能结合图像求解零点问题(难点)函数的零点及判定定理【问题导思】给定的二次函数yx22x3，其图像如下：1方程x22x30的根是什么？【提示】方程的根为3,1.2函数的图像与x轴的交点是什么？【提示】交点为(3,0)，(1,0)3方程的根与交点的横坐标有什么关系？【提示】相等4通过观察图像，在每一个与x轴的交点附近，两侧函数值符号有什么特点？【提示】在每一点两侧函数值符号异号1函数的零点(1)定义
5、：函数yf(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点(2)意义：函数yf(x)的零点就是方程f(x)0的解2函数零点的判定定理若函数yf(x)在闭区间a，b上的图像是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号相反，即f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内，函数yf(x)至少有一个零点，即相应的方程f(x)0在区间(a，b)内至少有一个实数解.(见学生用书第63页)求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出零点：(1)f(x)；(2)f(x)x22x4；(3)f(x)3x9；(4)f(x)1log3x.【思路探究】求函数yf(x)的零点，即求方程f(x)0的根因此令f(x)0转化
6、为相应的方程，根据方程是否有实数解来确定函数是否有零点【自主解答】(1)因为方程0无实数解，所以函数f(x)无零点(2)令x22x40，由于2244120，所以方程x22x40无实数解，所以函数f(x)x22x4不存在零点(3)令3x90，则3x9即3x32，则x2，所以函数f(x)3x9的零点是2.(4)令1log3x0，解得x3，所以函数f(x)1log3x的零点是3.1求函数yf(x)的零点，通常转化为解方程f(x)0，若方程f(x)0有实数解，则函数f(x)存在零点，该方程的实数解就是函数f(x)的零点，否则函数f(x)不存在零点2求函数yf(x)的零点通常有两种办法：其一是令f(x)
7、0，根据解方程f(x)0的根求得函数的零点；其二是画出函数yf(x)的图像，图像与x轴的交点的横坐标即为函数的零点(1)函数f(x)4x16的零点为_(2)函数f(x)x的零点的个数是()A0B1C2D3【解析】(1)令4x160，则4x42，解得x2，所以函数的零点为x2.(2)令f(x)0，即x0，x2，故有两个【答案】(1)x2(2)C判断零点所在区间在下列区间中，函数f(x)ex4x3的零点所在的区间为()A(，0)B(0，)C(，) D(，)【思路探究】依据“函数零点两侧函数值的符号相反”求解【自主解答】f()20，零点在(，)上【答案】C1确定函数零点、方程解所在的区间，通常利用函
8、数零点的存在性定理，转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反2有时，需要考察函数在区间上是否连续，若要判断零点(或根)的个数，还需结合函数的单调性函数f(x)ln x的零点所在的大致区间是()A(1,2)B(2,3)C(3,4) D(e,3)【解析】f(2)ln 210，f(2)f(3)0，a0时，设f(x)ax22x1，方程的根分别在区间(0,1)，(1,2)上，即解得a1.(3)当a0时，设方程的两根为x1，x2，则x1x20，x1，x2一正一负不符合题意综上，a的取值范围为(，1)解决二次方程根的分布问题应注意以下几点：1首先画出符合题意的草图，转化为函数问题2结合草图考虑三个方面
9、：(1)与0的大小；(2)对称轴与所给端点值的关系；(3)端点的函数值与零的关系3写出由题意得到的不等式4由得到的不等式去验证图像是否符合题意，这类问题充分体现了函数与方程的思想，也体现了方程的根就是函数的零点在写不等式时，就以上三个方面，要注意条件的完备性设函数f(x)ax3a1(a0)在2,1上存在一个零点，求实数a的取值范围【解】f(x)ax3a1(a0)在2,1上为单调函数，且存在一个零点，f(2)f(1)0，即(a1)(4a1)0，即或1a.因此，实数a的取值范围是1，.函数与方程的思想在图像交点问题中的应用设函数yx3与y()x2图像的交点为(x0，y0)，则x0所在区间为()A(
10、0,1)B(1,2)C(2,3) D(3,4)【思路点拨】首先构造函数f(x)x3()x2，然后可转化为判断函数的零点所在的区间【规范解答】令f(x)x3()x2，由基本初等函数单调性知f(x)在R上是增函数f(0)4，f(1)1()121，f(2)817，f(1)f(2)0，故函数f(x)的零点在区间(1,2)内，即函数yx3与y()x2图像的交点在区间(1,2)内【答案】B判断两函数h(x)，g(x)图像的交点所在的区间，常通过构造函数将问题转化为求函数f(x)h(x)g(x)的零点所在的区间1判断函数零点个数的方法有以下几种：(1)转化为求方程的根，能直接解出，如一次、二次函数零点问题；
11、(2)画出函数的图像，由与x轴交点的个数判断出有几个零点；(3)利用零点存在性定理，但要注意条件，而结论是至少存在一个零点，个数有可能不确定；(4)利用函数与方程的思想，转化为两个简单函数的图像的交点2函数的零点的作用：(1)解决根的分布问题；(2)已知零点的存在，求字母参数的范围(见学生用书第65页)1函数yx22x3的零点和顶点的坐标为()A3,1；(1，4)B3，1；(1,4)C3,1；(1，4) D3,1；(1，4)【解析】令x22x30，得x3或1，将yx22x3配方可知顶点坐标为(1，4)【答案】D2若x0是函数f(x)ln x2x6的零点，则x0属于区间()A(1,2) B(2,
12、3)C(3,4) D(4,5)【解析】由于f(2)ln 220.且函数f(x)在2,3上连续，所以f(x)的零点x0所属区间是(2,3)【答案】B3函数y2x24x3的零点个数是()A0 B1C2 D不能确定【解析】由于方程2x24x30的1624400，所以函数有两个零点【答案】C4若函数yax2x1只有一个零点，求实数a的值【解】(1)当a0时，函数为yx1，显然该函数的图像与x轴只有一个交点，即函数只有一个零点(2)当a0时，函数yax2x1是二次函数因为yax2x1只有一个零点，所以关于x的方程ax2x10有两个相等的实数根，所以0，即14a0，解得a.综上所述，a的值为0或.(见学生
13、用书第121页)一、选择题1yx1的图像与x轴的交点坐标及其零点分别是()A1，(1,0)B(1,0)，0C(1,0)，1 D1,1【解析】由yx10，得x1，故交点坐标为(1,0)，零点是1.【答案】C2若函数f(x)x22xa没有零点，则实数a的取值范围是()Aa1Ca1 Da1【解析】由题意知，44a1.【答案】B3(2013延安高一检测)函数f(x)ex的零点所在的区间是()A(0，) B(，1)C(1，) D(，2)【解析】f()e20，f()f(1)0，f(x)ex的零点所在的区间是(，1)【答案】B4设f(x)在区间a，b上是连续的单调函数，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0
14、在闭区间a，b内()A至少有一实根 B至多有一实根C没有实根 D必有唯一实根【解析】由题意知，函数f(x)在a，b内与x轴只有一个交点，即方程f(x)0在a，b内只有一个实根【答案】D5已知函数yf(x)的图像是连续的，有如下的对应值表：x123456y123.5621.457.8211.4553.76128.88则函数yf(x)在区间1,6上的零点至少有()A2个B3个 C4个D5个【解析】f(2)f(3)0，f(3)f(4)0，f(4)f(5)0，f(x)在区间(2,3)，(3,4)，(4,5)内至少各有一个零点，故f(x)在区间1,6上的零点至少有3个【答案】B二、填空题6(原创题)函数
15、f(x)kx2x在(0,1)上有零点，则实数k的取值范围是_【解析】f(0)1，f(1)k2，由于f(0)f(1)0，则(k2)2.【答案】(2，)7若函数f(x)axb只有一个零点2，那么函数g(x)bx2ax的零点是_【解析】由题意知2ab0，b2a，g(x)2ax2axax(2x1)，令g(x)0得x0或x.【答案】0，8方程log2x2x2的实数解的个数为_【解析】方程log2x2x2可变形为log2xx22，构造函数f(x)log2x，g(x)x22，画这两个函数的图像，由交点个数可知方程解的个数为2.【答案】2三、解答题9求函数yax2(2a1)x2(aR)的零点【解】令y0并化为
16、：(ax1)(x2)0.当a0时，函数为yx2，则其零点为x2.当a时，则由(x1)(x2)0，解得x1,22，则其零点为x2.当a0且a时，则由(ax1)(x2)0，解得x或x2，则其零点为x或x2.10函数f(x)ln xx2a有一个零点在(1,2)内，求a的取值范围 【解】函数f(x)ln xx2a在区间(1,2)上是单调递增的，由题意知f(1)f(2)0，即(ln 11a)(ln 24a)0，解得1a4ln 2.故a的取值范围为(1,4ln 2)11关于x的方程mx22(m3)x2m140有两实根，且一个大于4，一个小于4，求实数m的取值范围【解】令g(x)mx22(m3)x2m14.
17、依题意得或即或解得m0.故实数m的取值范围为(，0).(教师用书独具)若函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，求实数a的取值范围【思路探究】至少有一点零点包含有一个或有两个零点【自主解答】因为函数f(x)x22ax2在区间0,4上至少有一个零点，当函数在该区间内只有一个零点时，由右图知，f(0)f(4)0或4a280，即2(188a)或a；当函数在该区间内有两个不同零点时，必须满足即解得a.综上所述，a的取值范围是a|a1本题易直接利用f(0)f(4).2连续函数f(x)在闭区间a，b上，若满足f(a)f(b)0，则在区间(a，b)内至少有一个零点，反之不一定成立已知二次函数f
18、(x)满足：f(0)3；f(x1)f(x)2x.(1)求函数f(x)的解析式；(2)令g(x)f(|x|)m(mR)，若函数g(x)有4个零点，求实数m的范围【解】(1)设f(x)ax2bxc(a0)，f(0)3，c3，f(x)ax2bx3.f(x1)a(x1)2b(x1)3ax2(2ab)x(ab3)，f(x)2xax2(b2)x3，f(x1)f(x)2x，解得a1，b1，f(x)x2x3.(2)由(1)，得g(x)x2|x|3m，在平面直角坐标系中，画出函数g(x)的图像，如图所示，由于函数g(x)有4个零点，则函数g(x)的图像与x轴有4个交点由图像得解得3m，即实数m的范围是(3，)人
19、物介绍阿贝尔阿贝尔1802年8月5日出生在挪威芬德的一个小村庄里阿贝尔的父亲是村子里的穷牧师，是一个有文化的人阿贝尔的小学教育基本上是由父亲来完成的，因为他们没有钱，请不起家庭教师霍姆伯厄是一个称职但决不是很有才气的数学家阿贝尔很喜欢这个教师，他发现数学并不像以前那样枯燥无味在短期内他学了大部分的初级数学，过了不久他自己读法国数学家泊松的作品，念德国数学家高斯的书，特别是拉格朗日的书他已经开始研究几门数学分支，包括高斯的(算术研究)在中学的最后一年，阿贝尔开始了他第一个抱负不凡的冒险试图解决一般的五次方程我们知道一元一次方程axb0(a0)的根是x，一元二次方程的两个根可以用公式表示，一元三次
20、方程的根也可以用公式表示求一元四次方程的根的公式是十六世纪的热门话题，后来被意大利的数学家Ferro.Tartaglia.Cardeno和Ferrari解决了在以后的几百年里，数学家们摸索找寻一元五次或者更高次方程的根的一般方式阿贝尔考虑后不久，他觉得得到了答案，可是教师霍姆伯厄看不懂，便去大学找他的汉斯丁教授看，在挪威没有人能了解他的东西于是汉斯丁教授把他的手稿寄给丹麦最著名的数学家达根达根教授也看不出阿贝尔的论证有什么错误的地方，他要求阿贝尔用一些实际的例子来说明他的方法对阿贝尔来说，幸运的是这位数学家要求进一步的详细说明，而没有就解答是否正确提出自己的意见阿贝尔这时发现了他的推理中的缺陷
21、这个想象的解答当然根本不是正确的解答这次失败给了他一个非常有益的打击，把他推上了正确的途径，使他怀疑一个代数解是否是可能的后来他证明了一元五次方程不可解那时他大约十九岁12利用二分法求方程的近似解(教师用书独具)三维目标1知识与技能(1)理解二分法求方程近似解的算法原理，进一步理解函数与方程的关系(2)掌握二分法求方程近似解的一般方法，能借助计算器求方程的近似解(3)培养学生探究问题的能力、合作交流的态度以及辩证思维的能力2过程与方法(1)通过对生产、生活实例的介绍使学生体验逼近的思想和二分法的思想(2)通过具体实例和具体的操作步骤体验算法的程序化思想3情感、态度与价值观(1)通过二分法的生活
22、实例使学生体会到数学的应用价值，激发学生学习数学的兴趣(2)体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一重点难点重点：用“二分法”求方程的近似解难点：对二分法概念的理解，对精确度的理解求方程近似解一般步骤的概括和理解本课教学重点和难点都是结合函数的图像特征、借助计算器用二分法求方程的近似实数解，这是由本课教学的首要任务决定的突破难点的关键：明确要求，分散难点具体做法是：对计算器的使用要求仔细、认真；对用框图表示二分法处理问题的过程要强调清晰、可执行，准确把握终止条件. (教师用书独具)教学建议 教材以求具体方程的近似解为例介绍二分法并总结其实施步骤等，体现了从具体到一般的认知过程教学时，要注意让
23、学生通过具体的实例来探究、归纳、概括所发现的结论和规律，并用准确的数学语言表述出来值得注意的是在利用二分法求方程近似解的过程中，由于数值计算较为复杂，因此对获得给定精确度的近似解增加了困难，要解决这一困难，需要恰当地使用信息技术工具教学流程以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维利用计算机演示用二分法思想解决实际问题，通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法通过实例归纳出二分法的概念并完成例1及其变式训练师生互动，归纳总结用二分法求函数的零点近似值的步骤用二分法求方程的近似解，完成例2及其变式训练利用二分法解决实际问题中的应用，完成例3及其变式训练归纳整理，进行课堂小结
24、，整体认识本节课所学知识完成当堂双基达标，巩固所学知识并进行反馈矫正(见学生用书第65页)课标解读1.根据具体函数的图像，借助计算器用二分法求相应方程的近似解(重点)2学习利用二分法求方程近似解的过程和方法(难点)二分法【问题导思】在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障这是一条10 km长的线路，如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多每查一点要爬一次电线杆子，10 km长，大约有200多根电线杆子(如图)：1维修线路的工人师傅怎样工作最合理？【提示】首先从AB的中点C查，随带话机向两端测试，若发现AC正常，断定故障在BC段，再取BC中点D，再测CD和BD.2在有限次
25、重复相同的步骤下，能否最快地查出故障【提示】能1二分法对于图像在区间a，b上连续不断且满足f(a)f(b)0的函数yf(x)，每次取区间的中点，将区间一分为二，再经比较，按需要留下其中一个小区间的方法称为二分法2用二分法求方程的近似解的过程在图中：“初始区间”是一个两端函数值反号的区间；“M”的含义是：取新区间，一个端点是原区间的中点，另一端是原区间两端点中的一个，新区间两端点的函数值反号；“N”的含义是：方程解满足要求的精度；“P”的含义是：选取区间内的任意一个数作为方程的近似解.(见学生用书第66页)二分法的理解下列函数图像与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()【思路探究】
26、解答本题可结合二分法的概念，判断是否具备使用二分法的条件【自主解答】利用二分法求函数零点必须满足零点两侧函数值异号在B中，不满足f(a)f(b)0，不能用二分法求零点，由于A、C、D中零点两侧函数值异号，故可采用二分法求零点故选B.【答案】B若函数yf(x)同时满足下列三个条件：1函数f(x)在闭区间a，b上的图像是一条连续曲线；2函数f(x)在区间(a，b)上有唯一的零点；3f(a)f(b)0.则用二分法一定能够求出函数yf(x)的零点下列函数中能用二分法求零点的是()【解析】选项A中，函数无零点，选项B、D不符合用二分法求函数的零点的条件，不能用二分法求零点，选项C可用二分法求函数的零点【
27、答案】C用二分法求方程的近似解求方程lg x2x10的一个实数解(精度为0.1)【思路探究】先构造函数f(x)lg x2x1，确定一个恰当的区间作为计算的初始区间，再利用二分法求出方程的一个实数解【自主解答】令f(x)lg x2x1，函数f(x)的定义域为(0，)因为函数f(x)在(0，)上是增函数(证明略)，所以f(x)至多有一个零点又因为f(1)0.50，f(0.1)0.933 032 9910，所以方程在0.1,1内有唯一的一个实数解使用二分法求解，如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次0.10.933 032 99110.50.9第2次0.10.933 032
28、9910.550.057 342 5610.45第3次0.3250.286 415 0250.550.057 342 5610.225第4次0.437 50.097 435 0150.550.057 342 5610.1125第5次0.493 750.016 669 3240.550.057 342 5610.056 25至此，区间0.493 75,0.55的区间长度为0.056 25，它小于0.1，因此，我们可以选取这一区间的任意一个数作为方程lg x2x10的近似解例如选取0.5作为方程lg x2x10的近似解用二分法求函数零点(方程实数解)的近似值，首先要选好计算的初始区间，这个区间既要
29、符合条件，又要使长度尽量小；其次，要依据题目给定的精度，及时检验计算所得到的区间是否满足这一精度，以决定是否停止计算求方程x3x10在区间1,1.5内的一个实数解(精度为0.1)【解】记f(x)x3x1，因为f(1)10，所以方程x3x10在区间1,1.5内有实数解利用二分法得到方程x3x10有解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次111.50.8750.5第2次1.250.296 8751.50.8750.25第3次1.250.296 8751.3750.224 609 3750.125第4次1.312 50.051 513 6711.3750.224 609 3
30、750.062 5至此，我们得到，区间1.312 5,1.375的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程x3x10的一个近似解例如，选取1.33作为方程x3x10的一个近似解二分法的实际应用如图411，有一块边长为15 cm的正方形铁皮，将其四个角各截去一个边长为x cm的小正方形，然后折成一个无盖的盒子图411(1)求出盒子的体积y以x为自变量的函数解析式，并讨论这个函数的定义域；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么截去的小正方形的边长x是多少？(精确度为0.1)【思路探究】先求出体积y关于x的函数，再用二分法求近似解【自
31、主解答】(1)盒子的体积y以x为自变量的函数解析式为y(152x)2x，其定义域为x|0x7.5；(2)如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，那么有方程(152x)2x150.令f(x)(152x)2x150，函数图像如图所示由图像可以看到，函数f(x)分别在区间0,1和4,5内各有一个零点，即方程(152x)2x150分别在区间0,1和4,5内各有一个解下面用二分法求方程在0,1上的近似解如下表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次01501191第2次0.5521190.5第3次0.7513.311190.25第4次0.7513.310.8753.620.125第
32、5次0.812 54.650.8753.620.062 5至此，我们得到区间0.812 5,0.875的区间长度为0.062 5，它小于0.1，因此我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程的一个近似解，例如选取x00.82作为方程的近似解同理可得方程在区间(4,5)内精确度为0.1的近似解为4.72.答：如果要做成一个容积是150 cm3的无盖盒子，截去的小正方形的边长大约是0.82 cm或4.72 cm.二分法在实际生活中经常用到如在平时的线路故障、气管故障等检查中，可以利用二分法较快地得到结果还可用于实验设计、资料查询等方面在用二分法解决实际问题时，应考虑两个方面：一是转化为方程的根或函
33、数的零点；二是逐步缩小范围，逼近问题的解电视台有一档节目是这样的：主持人让选手在限定时间内猜某一物品的售价，如果猜中，就把物品奖给选手某次猜一种品牌的手机，手机价格在5001 000元之间，选手开始报价：1 000元，主持人说：高了紧接着报价900元，高了；700元，低了；880元，高了；850元，低了；851元，恭喜你，猜中了表面上看猜价格具有很大的碰运气的感觉，实际上，游戏报价过程体现了“逐步逼近”的思想，你能设计出可行的猜价方案来帮助选手猜价吗？【解】取价格区间500,1 000的中间值750，如果主持人说低了，就再取750,1 000的中间值875，否则取另一个区间500,750的中间
34、值；若遇到中间值为小数，则取整数部分，按照这种方案，游戏过程猜价如下：750,875,812,843,859,851，大约经过6次可以猜中价格.函数与方程的思想在二分法中的应用(12分)用二分法求的近似值(精确度0.1)【思路点拨】本题要求的近似值，可首先把确定为某方程的解，再用二分法求方程的解的近似值【规范解答】设x，则x25，即x250，令f(x)x25.因为f(2.2)0.160，所以f(2.2)f(2.4)0，说明这个函数在区间(2.2,2.4)内有零点x0.4分取区间(2.2,2.4)的中点x12.3，则f(2.3)0.29.6分因为f(2.2)f(2.3)0，x0(2.2,2.3)
35、8分再取区间(2.2,2.3)的中点x22.25，f(2.25)0.062 5.因为f(2.2)f(2.25)0，所以x0(2.2,2.25).10分由于|2.252.2|0.050.1，所以的近似值可取为2.25.12分1对精确度的理解要正确，精确度满足的关系为|ab|，而不是|ab|或|f(a)f(b)|.2解此类问题时，要看清题目要求的精确度，它决定着二分法步骤的结束1二分就是平均分成两部分，二分法就是通过不断地将所选区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，直至找到零点附近足够小的区间，根据所要求的精度，用此区间的某个数值近似地表示真正的零点2能使用二分法求方程近似解的方法仅对函数的
36、变号零点适用，对函数的不变号零点不适用3求函数零点的近似值时，所要求的精度不同，得到的结果也不相同.(见学生用书第67页)1下列关于函数f(x)，xa，b的命题中，正确的是()A若x0a，b且满足f(x0)0，则x0是f(x)的一个零点B若x0是f(x)在a，b上的零点，则可以用二分法求x0近似值C函数f(x)的零点是方程f(x)0的根，但f(x)0的根不一定是函数f(x)的零点D用二分法求方程的根时，得到的都是近似解【解析】使用“二分法”必须满足“二分法”的使用条件B不正确；函数f(x)的零点f(x)0的根，C不正确；用二分法求方程的根时，得到的也可能是精确解，D不正确，只有A正确【答案】A
37、2函数f(x)的图像是连续不断的曲线，在用二分法求方程f(x)0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)0，f(1.25)0，则方程的解所在区间为()A(1.25,1.5)B(1,1.25)C(1.5,2) D不能确定【解析】由于f(1.25)f(1.5)0，则方程的解所在区间为(1.25,1.5)【答案】A3求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_【解析】令f(x)x32x5，由于f(2)84510，f(3)276516，f(2.5)0，故下一个有根区间是(2,2.5)【答案】(2,2.5)4求方程ln xx30在(2,3)内的近似解(精度为0.
38、1)【解】令f(x)ln xx3，即求函数f(x)在(2,3)内的零点因为f(2)ln 210，即(2,3)作为初始区间，用二分法列表如下：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值第1次20.306 8531.098 61第2次20.306 852.50.416 29第3次20.306 852.250.060 93第4次2.1250.121 232.250.060 93第5次2.187 50.029 742.250.060 93至此，我们得到区间2.1875,2.25的区间长度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程ln xx30的一个近似解，例如，选取
39、2.2作为方程ln xx30的一个近似解(见学生用书第123页)一、选择题1下列函数图像与x轴均有交点，但不宜用二分法求函数的零点的是()【解析】由二分法的定义可知，B项符合题意【答案】B2若函数f(x)x3x22x2的一个正数零点附近的函数值用二分法逐次计算，参考数据如表：f(1)2f(1.5)0.625f(1.25)0.984f(1.375)0.260f(1.438)0.165f(1.406 5)0.052那么方程x3x22x20的一个近似根(精确度0.1)为()A1.21B1.31C1.41D1.51【解析】由表知f(1.438)0，f(1.406 5)0，且区间1.4065,1.438
40、的区间长度为0.031 5，它小于0.1，因此我们可以选取这个区间的任意一个数为方程的近似根【答案】C3在用二分法求函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0的过程中，取区间(a，b)上的中点c，若f(c)0，则函数f(x)在区间(a，b)上的唯一零点x0()A在区间(a，c)内 B在区间(c，b)内C在区间(a，c)或(c，b)内 D等于【解析】因为f(x)在区间(a，b)上的零点唯一，又f(c)0，故零点为c.【答案】D4用二分法可以求得方程x350的近似解(精度为0.1)为()A1.5 B1.8 C1.6 D1.7【解析】令f(x)x35，易知f(2)30，所以可取2，1为初始区间，用
41、二分法逐次计算即得方程的近似解为1.7.【答案】D5函数y()x与函数ylg x的图像的交点的横坐标(精确度0.1)约是()A1.5 B1.6 C1.7 D1.8【解析】设f(x)lg x()x，经计算f(1)0，所以方程lg x()x0在1,2内有解应用二分法逐步缩小方程实数解所在的区间，可知选项D符合要求【答案】D二、填空题6(2013包头高一检测)求方程x32x50在区间(2,3)内的实根，取区间中点x02.5，那么下一个有根区间是_【解析】f(x)x32x5，f(2)0，f(2.5)0，则f(2)f(2.5)0，即下一个有根区间是(2,2.5)【答案】(2,2.5)7已知图像连续不断的
42、函数yf(x)在区间(0,0.1)上有唯一零点，如果用二分法求这个零点(精确度为0.01)的近似值，则应将区间(0,0.1)等分的次数至少为_【解析】设等分的最少次数为n，则由10，n的最小值为4.【答案】48若函数f(x)唯一的零点在区间(1,3)或(1,4)或(1,5)内，则函数f(x)的零点在(1,2)或(2,3)内；函数f(x)在(3,5)内无零点；函数f(x)在(2,5)内有零点；函数f(x)在(2,4)内不一定有零点；函数f(x)的零点必在(1,5)内以上说法错误的是_(将标号填在横线上)【解析】由于三个区间是包含关系，而(1,5)范围最大，零点位置可能在区间(1,5)的任何一个子
43、区间内，错误【答案】三、解答题9求出函数F(x)x5x1的零点所在的大致区间【解】函数F(x)x5x1的零点即方程x5x10的根由方程x5x10，得x5x1，令f(x)x5，g(x)x1.在同一平面直角坐标系中，函数f(x)与g(x)的图像如图所示，显然它们只有1个交点两函数图像交点的横坐标就是方程的解又F(1)10，函数的零点在区间(1,2)内10求方程log3xx5的一个实数解(精度为0.1)【解】构造函数f(x)log3xx5，经计算，f(5)log35551.464 973 5210，f(9)log399520，所以方程log3xx5在区间5,9内有解如此下去，得到方程log3xx5有
44、解区间的表：次数左端点左端点函数值右端点右端点函数值区间长度第1次51.464 973 521924第2次51.464 973 52170.228 756 252第3次60.630 929 75370.228 756 251第4次6.50.203 787 76570.228 756 250.5第5次6.50.203 787 7656.750.011 859 5070.25第6次6.6250.096 126 186.750.011 859 5070.125第7次6.687 50.042 173 096.750.011 859 5070.062 5至此，我们得到区间6.687 5,6.75的区间长
45、度为0.062 5，它小于0.1.因此，我们可以选取这一区间内的任意一个数作为方程log3xx5的一个近似解例如，选取6.7作为方程log3xx5的一个近似解11求函数f(x)2x33x1零点的个数【解】用计算器或计算机作出x，f(x)的对应值表(如下表)和图像(如下图).x1.510.500.511.5f(x)1.2522.2510.2503.25由上表和上图可知，f(1.5)0，即f(1.5)f(1)0，f(1)0.(1)求证：a0；(2)利用二分法证明函数f(x)在0,1内有两个零点【思路探究】(1)利用已知abc0，且f(0)0，f(1)0可得a0；(2)只需在0,1内找到一个点的函数
46、值小于零即可【自主解答】(1)f(1)0，3a2bc0，即3(abc)b2c0.abc0，b2c0，则bcc，即ac.f(0)0，c0，则a0.(2)在0,1内选取二等分点，则f()abca(a)a0，f(1)0，f(x)在区间0，和，1内分别存在一个零点，又二次方程f(x)0最多有两个实根，f(x)在0,1内有两个零点1本题中，若f()0时，求证：方程有一根在0和1之间【解】(1)当a0时，3b6c0，所以b2c，方程为bxc0，x，从而可得x.(2)证明当a0时，b24ac(a2c)24aca2ac4c2(ac)23c20，方程ax2bxc0有两个根令f(x)ax2bxc，当c0时，f(0
47、)c0.f(0)f(1)0时，f()abc，ba2c，f()a(a2c)c，即f()aacca.由a0知，f()0知f(0)c0.f(0)f()0时，方程ax2bxc0有一根在(0,1)内探求新知迭代法求方程的近似解若函数yf(x)在区间a，b内的图像是一条连续的曲线，且在区间端点的函数值满足f(a)f(b)0，所以5x18，则利润y(72040x)x(72040x)520040x2920x3 80040(x)21 490，其中5x500，应付y0.151 200180(元)(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为600 min.【错因分析】此题错解主要
48、是对“超过500 min的部分按0.15元/min计费”中的“超过部分”理解出错，产生了与事实相违的结论，如第(2)小题上了1 200 min的网，要180元，是30元包月用500 min的6倍，而时间上才2倍多，与事实不符；又如第(3)小题，用了90元，几乎是30元的3倍，而上网时间才多了100 min，与事实不符【防范措施】函数应用问题，就是利用函数思想解决生产生活实践中的实际问题此类题考查了同学们多方面的数学能力，要求较高，有一定的难度，出错较多【正解】(1)设上网时间为x min，由已知条件所付费用y关于x的函数关系式为y(2)当x20601 200(min)时，x500，应付y300
49、.15(1 200500)135(元)(3)90元已超过30元，所以上网时间超过500 min，由解析式可得上网时间为900 min.1选择函数模型时，要让函数的性质、图像与所解决的问题基本吻合根据散点图猜想函数模型，通过待定系数法求模拟函数的解析式，再通过数据验证2解函数应用问题的一般步骤：(1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；(2)建模：将文字语言转化为数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；(3)求解数学模型，得到数学结论；(4)将用数学方法得到的结论还原为实际问题3函数拟合问题：对于此类实际应用问题，首先是建立适当的函数关系式，再解决数学问题，最后验证并结合问题的实际意义
50、作出回答，这个过程就是先拟合函数再利用函数解题.(见学生用书第71页)1一辆汽车在某段路程中的行驶路程s关于时间t变化的图像如图422所示，那么图像所对应的函数模型是()图422A分段函数B二次函数C指数函数 D对数函数【解析】根据图像知，在不同的时间段内，行驶路程关于时间变化的图像不同，故对应函数模型应为分段函数【答案】A2据报道，全球变暖使北冰洋冬季冰雪覆盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此速度，设2000年的冬季冰雪覆盖面积为m，从2000年起，经过x年后，北冰洋冬季冰雪覆盖面积y与x的函数关系式是()Ay0.95m By(10.05)mCy0.9550xm Dy(10.0550x)
51、m【解析】根据已知得：ym(15%).【答案】A3某种产品每件80元，每天可售出30件，如果每件定价120元，则每天可售出20件，如果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_【解析】设解析式为ykxb，由解得k，b50，yx50(0x200)【答案】yx50(0x10，不合题意；若2x1060，则x25，满足题意；若1.5x60，则x40100，不合题意故拟录用人数为25人【答案】C二、填空题6经市场调查，某商品的日销售量(单位：件)和价格(单位：元/件)均为时间t(单位：天)的函数日销售量为f(t)2t100，价格为g(t)t4，则该种商品的日销售额S(单位：元)与时间t的函数关系式为
52、S(t)_.【解析】日销售额Sf(t)g(t)(2t100)(t4)【答案】(2t100)(t4)7将长度为1的铁丝分成两段，分别围成一个正方形和一个圆，要使正方形与圆的面积之和最小，正方形的周长应为_【解析】设正方形的周长为x，则圆的周长为1x，则正方形与圆的面积和为S()2()2x2x(0x1)，x时，S有最小值【答案】8国家规定个人稿费纳税办法为：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超出800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全稿酬的11.2%纳税某人出版了一书共纳税420元，这个人的稿费为_元【解析】设稿费为x元，纳税为y元，由题意可知y此人纳税为420元
53、，(x800)14%420，x3 800.【答案】3 800三、解答题图4239某单位用木料制作如图423所示的框架，框架的下部是一组邻边长分别为x，y(单位：m)的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架的总面积为8 m2.(1)写出y与x的函数关系式；(2)写出用料l与x的函数关系式【解】(1)由题意，得x2xy8，所以y(0x4)(2)由题意，得l2x2y2(x)2xx2y()x，所以l()x (0x4)10为应对国际金融危机对企业带来的不利影响，2011年底某企业实行裁员增效，已知现有员工200人，每人每年可创纯利润1万元，据评估，在生产条件不变的情况下，每裁员一人，则留岗员工每人每年可多
54、创收0.01万元，但每年需付给下岗工人(被裁员的员工)0.4万元生活费，并且企业正常运行所需人数不得少于现有员工的.设该企业裁员x人后纯收益为y万元(1)写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围；(2)问该企业裁员多少人，才能获得最大的经济效益？【解】(1)裁员x人后，企业员工数为(200x)人，每人每年创纯利润(10.01x)万元，企业每年需付给下岗工人0.4x万元，则y(200x)(10.01x)0.4x0.01x20.6x200.200x200x50，x的取值范围为0x50且xN.(2)y0.01(x30)2209，01.2，所以该未成年男性偏胖.(教师用书独具)20世纪90年代，政
55、府间气候变化专门委员会(IPCC)发布的一项报告指出：使全球气候逐步变暖的一个重要原因是人类在能源利用与森林砍伐中使二氧化碳浓度增加如图所示是根据南极萨布尔基地冰穴测定的大气中二氧化碳浓度的历史数据，请依此推测2030年地球大气中二氧化碳的浓度图【思路探究】根据本题图中各个点的分布情况，可以考虑用指数函数模型来近似刻画地球大气中二氧化碳的浓度y与年份x的函数关系【自主解答】把图中的散点看成是在一条指数曲线上，设过点(1980,335)的指数曲线方程为y335kx1980，而点(1990,354)适合这个方程，即有354335k19901980，解得k1.006.故当x2030时，y3351.0
56、0620301980452，所以推测2030年地球大气中二氧化碳的浓度为452 ppmv.1建立实际情境函数的模型时，可采用以下步骤：2在解决实际问题的过程中，要合理地分析、处理数据，选用恰当的模型进行拟合求出函数的关系式后，对题目中所给问题进行预测或控制，为决策和管理提供依据为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响，在山上建立了一个观察站，测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料，如下表所示.年序最大积雪深度x(cm)灌溉面积y(公顷)115.228.6210.421.1321.240.5418.636.6526.449.8623.445.0713.529.2816.734
57、.1924.045.81019.136.9(1)描点画出灌溉面积随积雪深度变化的图像；(2)建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型，并画出图像；(3)根据所建立的函数模型，估计若今年最大积雪深度为25 cm，则可以灌溉土地多少公顷？【解】(1)描点、作图如(甲)所示：(2)从图(甲)中可以看到，数据点大致落在一条直线附近，由此，我们假设灌溉面积y与最大积雪深度x满足一次函数模型yabx(a，b为常数且b0)取其中的两组数据(10.4,21.1)，(24.0,45.8)，代入yabx，得用计算器可得a2.2，b1.8.这样，我们得到一个函数模型：y2.21.8x.作出函数图像如图(乙)，可以发
58、现，这个函数模型与已知数据的拟合程度较好，这说明它能较好地反映积雪深度与灌溉面积的关系(3)由y2.21.825，求得y47.2，即当积雪深度为25 cm时，可以灌溉土地47.2公顷数学史话富兰克林的遗嘱富兰克林利用放风筝而感受到电击，从而发明了避雷针这位美国著名的科学家死后留下了一份有趣的遗嘱：“一千英镑赠给波士顿的居民，如果他们接受了这一千英镑，那么这笔钱应该托付给一些挑选出来的公民，他们必须把这些钱按每年5%的利率借给一些年轻的手工业者去生息这些款过了100年增加到131 000英镑，我希望那时候用100 000英镑来建立一所公共建筑物，剩下的31 000英镑拿去继续生息100年在第二个
59、100年末了，这笔款增加到4 061 000英镑，其中1 061 000英镑还是由波士顿的居民来支配，而其余的3 000 000英镑让马萨诸塞州的公众来管理过此之后，我可不敢多作主张了！”你可曾想过：区区的1 000英镑遗产，竟立下几百万英镑财产分配的遗嘱，是“信口开河”，还是“言而有据”呢？事实上，只要借助于复利公式，完全可以通过计算而作出判断ynm(1a)n就是复利公式，其中m为本金，a为年利率，yn为n年后本金与利息的总和在第一个100年末富兰克林的财产应增加到1 000(15%)100131 501英镑，比遗嘱中写的还多出501英镑在第二个100年末，遗产就更多了，为31 501(15
60、%)1004 142 421英镑可见富兰克林的遗嘱是有科学根据的遗嘱故事启示我们：在指数效应下，微薄的财产，低廉的利率，可以变得令人瞠目结舌(见学生用书第71页)函数的零点及应用由于函数的零点、方程的根、函数的图像与x轴的交点之间有着内在的本质的联系，所以，函数问题可转化为方程的问题，方程的问题可转化为函数问题解决，根据函数的性质和方程根的存在条件我们常借助不等式来求解相关的问题，其间，要善于结合函数图像，从中体会数形结合的作用已知函数f(x)x1x22，试利用基本初等函数的图像判断f(x)有几个零点，并利用判断区间内是否有零点的方法确定各零点所在的范围(各区间长度不超过1)【思路点拨】函数f
61、(x)x1x22的图像不易作出，而将方程x1x220变形为x1x22后，函数yx1与yx22的图像较容易作出，它们交点的横坐标就是方程x1x220的实数解，即函数f(x)x1x22的零点【解】由f(x)0，得x1x22.令y1x1，y2x22，在同一直角坐标系中画出它们的图像，如图所示它们有3个交点，因此，函数f(x)x1x22有3个零点由f(x)知x0，f(x)图像在(，0)，(0，)上分别是连续曲线f(3)(3)1(3)220，f(2)(2)1(2)220，f(1)111220，即f(3)f(2)0，f()f(1)0，f(1)f(2)0，函数f(x)x1x22的3个零点分别在区间(3，2)
62、，(，1)，(1,2)内已知f(x)log2x()x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的值()A恒为负B等于零C恒为正 D不小于零【解析】设y1log2x，y2()x，其图像为：由图像知，当0x1log2x1，f(x1)0.【答案】A函数建模1.解函数应用题可归纳为四步：(1)读题；(2)建模；(3)求解；(4)还原其中“建模”是关键的一步，建模就是将实际问题数学化，准确建模的前提是了解常见的函数模型2函数是重要的数学模型，对于函数模型的应用，一方面是利用已知的函数模型解决问题；另一方面是根据实际问题建立恰当的函数模型，并利用所得的函数模型解释有关现象，或对发展趋势进
63、行预测某市用水收费的方法是：水费基本费超额费损耗费若每月用水量不超过最高限量a立方米，只付基本费8元和每户每月的定额损耗费c元；若用水量超过a立方米，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每立方米付b元超额费，已知每户每月的定额损耗费不超过5元该市一家庭2009年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示：月份用水量(立方米)水费(元)一99二1519三2233根据上表中的数据求a，b，c的值【思路点拨】抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一特点，想到用分段函数表示用水量与水费之间的函数关系【解析】设用水量为x立方米，支付费用为y元，则y由0c5，得88c13.因此，第二、三月份的用水量超
64、过最高限量由得b2且2ac19.再分析限量a，若a0，且a1)有两个不同的实根，利用函数图像求实数a的取值范围【思路点拨】先转化成两个函数，再讨论a与1的关系，画出它们的图像，结合图像可知【规范解答】记y1|ax1|，y22a，(1)当a1时，y1的图像如图：由于y22a2，所以y1与y2只有一个公共点，即方程|ax1|2a有一个实数解(2)当0a1时，y1的图像如图：由于0a1，所以02a2，由图像知，若y1与y2有两个不同交点，则02a1，所以0a0，a1)在区间0,2上有最大值为8，求a的值【解】设g(x)x23x3(x)2.当x0,2时，g(x)maxg(0)3，g(x)ming().
65、当0a1时，函数f(x)ag(x)在0,2上是减函数，则f()8，即a8，解得a16，与0a1时，函数f(x)ag(x)在0,2上是增函数，则f(0)8，即a38，解得a2.综上所述，a的值为2.综合检测(四)第四章函数应用(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1函数f(x)2x1的零点为()A(0,0)B0C(1,0) D1【解析】令2x10，得x0.【答案】B2下列函数中，增长速度最快的是()Ay20x Byx20Cylog20x Dy20x【解析】在四种函数模型中，指数函数模型增长最快【答案】D
66、3已知函数f(x)在区间a，b上是单调函数，且f(a)f(b)0，则方程f(x)0在区间a，b内()A至少有一实根 B至多有一实根C没有实根 D必有唯一实根【解析】由于f(a)f(b)0，则f(a)0f(b)或f(b)0f(a)，又函数f(x)在区间a，b上是单调函数，则至多有一个实数x0a，b，使f(x0)0，即方程f(x)0在区间a，b内至多有一实根【答案】B4在一次教学实验中，运用图形计算器采集到如下一组数据：x2.01.001.002.003.00y0.240.5112.023.988.02则x，y的函数关系与下列哪类函数最接近？(其中a，b为待定系数)()Aya ByabxCyalo
67、gbx Dyabx【解析】根据题中数据画出散点图，依据点的趋势可知x，y的函数关系与指数型函数的图像接近，故选D.【答案】D5函数ylg x的零点所在的区间是()A(6,7) B(7,8)C(8,9) D(9,10)【解析】令f(x)lg x，f(9)lg 910，f(10)10.f(9)f(10)0，故f(x)在(9,10)内至少有一个零点【答案】D6已知函数f(x)为奇函数，且该函数有三个零点，则三个零点之和等于()A0 B1C1 D不能确定【解析】奇函数的图像关于原点对称，若有三个零点，则三个零点之和为0.【答案】A7某种生物的繁殖数量y(只)与时间x(年)之间的关系式为yalog2(x
68、1)，设这种生物第一年有100只，则第7年它们发展到()A300只 B400只C500只 D600只【解析】由题意得alog22100，a100，y100log2(x1)，当x7时，y100log28300.【答案】A8若函数f(x)3ax13a在(1,1)上存在零点，则a的取值范围是()Aa|1a Ba|aCa|a1 Da|a1或a【解析】当a0时，f(x)1，无零点；当a0时，f(x)3ax13a为一次函数，在(1,1)上存在零点，即f(1)f(1)0，即(3a13a)(3a13a)0，解得a.【答案】B9某商店将进价为40元的商品按50元一件销售，一个月恰好卖500件，而价格每提高1元，
69、就会少卖10个，商店为使该商品利润最大，应将每件商品定价为()A45元 B55元C65元 D70元【解析】设每件商品定价为x元，利润为y元，则y(x40)50010(x50)10x21 400x40 00010(x70)29 000,50x100，则当每件商品定价为70元时，利润最大【答案】D10函数y|log2x|在区间(k1，k1)内有意义且不单调，则k的取值范围是()A(1，) B(0,1)C1,2) D(0,2)【解析】如图：故1k2.【答案】C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分将答案填在题中横线上)11用二分法求方程x32x50在区间(2,4)上的实数根时，取中点x13
70、，则下一个有根区间是_【解析】设f(x)x32x5，则f(2)0，f(4)0，有f(2)f(3)0，则下一个有根区间是(2,3)【答案】(2,3)12某产品的利润y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式为y2x240x300，则利润y取最大值时，产量x等于_【解析】y2(x10)2500，当x10时，y取最大值【答案】1013某方程有一无理根在区间D(1,3)内，若用二分法求此根的近似值，将D等分_次后，所得近似值的精度为0.1.【解析】由10，n14，即n5.【答案】514函数f(x)3x7ln x的零点位于区间(n，n1)(nN*)内，则n_.【解析】设g(x)ln x，h(x)3x7，则
71、函数g(x)和函数h(x)的图像交点的横坐标是函数f(x)的零点在同一坐标系中画出函数g(x)和函数h(x)的图像，如图所示由图像知函数f(x)的零点属于区间(1，)，又f(1)40，f(2)1ln 2ln 0，所以函数f(x)的零点属于区间(2,3)所以n2.【答案】2三、解答题(本大题共4小题，共50分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)15(本小题满分12分)用二分法求方程2xx80在区间(2,3)内的一个实数解(精确度为0.1)【解】设函数f(x)2xx8，f(2)222820，用二分法逐次计算，列表如下：区间中点的值中点函数近似值(2,3)2.50.156 85(2,2.5)2.
72、250.993 2(2.25,2.5)2.3750.437 6(2.375,2.5)2.437 50.145 5|2.437 52.5|0.062 50.1，方程2xx80的一个实数解近似值为2.437 5.16(本小题满分12分)设函数f(x)ax2(b8)xaab的两个零点分别是3和2.(1)求f(x)；(2)当函数f(x)的定义域是0,1时，求函数f(x)的值域【解】(1)f(x)的两个零点分别是3和2，函数图像过点(3,0)，(2,0)，有9a3(b8)aab0，4a2(b8)aab0，得ba8，代入得4a2aaa(a8)0，即a23a0.a0，a3，ba85.f(x)3x23x18.
73、(2)由(1)得f(x)3x23x183(x)218，图像的对称轴方程是x，且0x1，f(x)minf(1)12，f(x)maxf(0)18，函数f(x)的值域是12,1817(本小题满分12分)是否存在这样的实数a，使函数f(x)x2(3a2)xa1在区间1,3上与x轴恒有一个交点，且只有一个交点？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由【解】(1)若函数f(x)在(1,3)上有一个零点，则只需有f(1)f(3)0，即(13a2a1)(99a6a1)4(1a)(5a1)0，所以a1.(2)若f(1)0，则a1，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，得x0或x1.方程在1,3上
74、有两根，不合题意，故a1.(3)若f(3)0，则a，此时f(x)x2x.令f(x)0，即x2x0，解得x或x3，方程在1,3上有两根，不合题意，故a.综上所述，a的取值范围为(，)(1，)18(本小题满分14分)房屋造价(元/m2)与建筑层数有关，可表示为一般造价(元/m2)乘以层数系数，根据经验数据，绘出其关系如图1所示，其中2层到5层建筑，由于共用地基和层顶等原因，随层数增加沿抛物线下降，而5层到8层及以上则由于防震、防风等因素需增加成本，随层数增加而增加图1(1)请根据所给图与下表建立随层数n增加而改变的函数关系式：f(n)(2n8，nN)，并将表中数据填完整：n123456781.08
75、1.0311.081.171.26(2)某单位为建造楼房筹集资金100万元，用于支付房屋造价和土地使用权购置费若一般造价为800元/m2，土地价为300元/亩(1亩 m2)，试利用(1)中条件求出最多能建房多少m2.(精确到1 m2)【解】(1)由题设知，当2n5时，f(n)的图像为抛物线的一段，设an2bnc，将(2,1.08)，(3,1.03)，(4,1)代入，得解得0.01n20.1n1.24.当5n8时，观察图形三点似乎在一条直线上，过(6,1.08)和(8,1.26)作直线knd，得：解得0.09n0.54，验证(7,1.17)正好在直线上，故所求函数为把n5代入式，有0.99.又由
76、图可得n1时，1.25.将1.25,0.99填入表中即可(2)设所建楼房占地x m2，当n5时，造价最低，0.99，则总建筑面积为5x m2，其总造价为0998005x300，依题意，得1 000 0000.998005xx，解得5x1 262(m2)，即最多可建房1 262 m2.必修1模块高考热点透视模块高考热点透视第一章集合【命题趋势】集合的有关概念、集合间的关系及集合的并、交、补运算是高考中的常考内容，常与函数、不等式相结合，主要以选择题、填空题的形式出现.集合的概念、集合间的关系【求源】(教材第9页练习第2题)设A正方形，B矩形，C平行四边形，D梯形，则下列包含关系中不正确的是()A
77、ABBBCCCD DAC1(2012大纲全国卷)已知集合Ax|x是平行四边形，Bx|x是矩形，Cx|x是正方形，Dx|x是菱形，则()AAB BCBCDC DAD【命题立意】本题主要考查集合间的包含关系【解析】正方形均为矩形，CB.【答案】B2(2012课标全国卷)已知集合A1,2,3,4,5，B(x，y)|xA，yA，xyA，则B中所含元素的个数为()A3 B6C8 D10【命题立意】本题主要考查集合的概念【解析】B(x，y)|xA，yA，xyA，A1,2,3,4,5，x2，y1；x3，y1,2；x4，y1,2,3；x5，y1,2,3,4.B(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(
78、4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，B中所含元素的个数为10.【答案】D1(2011浙江高考)若Px|x1，则()APQ BQPCRPQ DQRP【解析】Px|x1，RPQ.【答案】C2(2012湖北高考)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4【解析】由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4，满足条件的C可为1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4【答案】D集合的运算【求源】(教材第20页复习题C组第1(1)题)已知全集UR，Ax|4x0，BxR|(x1)(x3
79、)0，则AB()A(，1) B(1，)C(，3) D(3，)【命题立意】本题以不等式为载体，考查集合的运算【解析】3x20，x.Ax|x又(x1)(x3)0，x3或x1.Bx|x3ABx|xx|x3x|x3【答案】D1(2012山东高考)已知全集U0,1,2,3,4，集合A1,2,3，B2,4，则(UA)B为()A1,2,4 B2,3,4C0,2,4 D0,2,3,4【解析】UA0,4，B2,4，(UA)B0,2,4【答案】C2(2012江西高考)若全集UxR|x24，则集合AxR|x1|1的补集UA为()AxR|0x2 BxR|0x2CxR|0x2 DxR|0x2【解析】由题意知全集Ux|2
80、x2，Ax|2x0，则UAx|0x2【答案】C第二章函数【命题趋势】函数是高考考查的一个热点，不仅适合单独命题，而且可以与其他内容结合综合命题函数及其基本性质是主要内容，其定义域、单调性、奇偶性几乎是每年必考，这些知识与集合、不等式、函数图像等常常交汇出题，既可以是选择、填空，也可以是解答题.函数的定义域与值域【求源】(教材第34页习题22A组第1题)求下列函数的定义域：(1)y；(2)y；(3)y.1(2012广东高考)函数y的定义域为_【命题立意】本题主要考查函数的定义域【解析】要使函数有意义，需解得原函数的定义域为x|x1且x0【答案】x|x1且x02(2012四川高考)函数f(x)的定
81、义域是_(用区间表示)【命题立意】本题主要考查函数定义域的求法【解析】要使函数有意义，需解得x0在R上恒成立，则实数a的取值范围是_【命题立意】本题主要考查“三个二次”之间的关系【解析】x2ax2a0在R上恒成立，a242a0，0a1且x1.【答案】C2(2012江西高考)若函数f(x)则f(f(10)()Alg 101 B2C1 D0【解析】由题意知f(10)lg 101，f(1)112，故f(f(10)f(1)2.【答案】B指数函数、对数函数的图像【求源】(教材第109页复习题三A组第11(2)题)当a1时，在同一坐标系中，函数yax与ylogax的图像是()1(2012四川高考)函数ya
82、x(a0，且a1)的图像可能是()【命题意图】本题主要考查指数函数的图像【解析】当a1时，yax为增函数，且在y轴上的截距为011，排除A，B.当0a1时，yax为减函数，且在y轴上的截距为10，且a1，则函数yax与yloga(x)的图像只能是()【解析】法一若0a1，则函数yax的图像上升且过点(0,1)，而函数yloga(x)的图像下降且过点(1,0)，只有B中图像符合法二首先指数函数yax的图像只可能在上半平面，函数yloga(x)的图像只可能在左半平面，从而排除A，C；再看单调性，yax与yloga(x)的单调性正好相反，排除D.只有B中图像符合【答案】B指数函数、对数函数的性质【求
83、源】(教材第108页复习题三A组第9题)比较下列各题中两个数的大小：(1)log60.8，log69.1；(2)log0.17，log0.19；(3)log0.15，log2.35；(4)loga4，loga6(a0，a1)1(2012天津高考)已知a21.2，b()0.8，c2log52，则a，b，c的大小关系为()Acba BcabCbac Dbca【命题立意】本题主要考查利用指数、对数函数的性质比较大小【解析】b()0.820.821.2a，c2log52log522log55120.8b，故cba.【答案】A2(2012课标全国卷)当0x时，4xlogax，则a的取值范围是()A(0，
84、)B(，1)C(1，) D(，2)【命题立意】本题主要考查指数函数与对数函数的性质【解析】0x，14x1，0a1，排除答案C，D；取a，x，则有42，log1，显然4x0，a1)在1,2上的最大值为4，最小值为m，且函数g(x)(14m)在0，)上是增函数，则a_.【解析】若a1，有a24，a1m，此时a2，m，此时g(x)为减函数，不合题意若0a1，有a14，a2m，故a，m，检验知符合题意【答案】第四章函数应用【命题趋势】函数与方程关系紧密，是函数应用的重要内容之一，因此在高考中属常考内容，主要考查利用解方程、作函数的图像求函数的零点，判断函数的零点的存在性及零点所在区间问题，一般以选择题
85、、填空题的形式进行考查函数的实际应用几乎每年的高考题都有所涉及，主要体现在结合实际问题得到相关的函数模型，然后利用函数模型性质求解题型多样，难度属中等题.函数与方程【求源】(教材第119页习题41B组第1题)判定下列方程在(0,10)内是否存在实数解，并说明理由：(1)xln x0；(2)x2lg x0.1(2012天津高考)函数f(x)2xx32在区间(0,1)内的零点个数是()A0B1C2D3【命题立意】本题主要考查函数的单调性及函数的零点【解析】函数f(x)2xx32在(0,1)上递增，且f(0)10210，所以有1个零点【答案】B2(2012北京高考)函数f(x)x()x的零点的个数为
86、()A0 B1 C2 D3【命题立意】本题主要考查函数的零点及数形结合思想【解析】在同一平面直角坐标系内作出y1x与y2()x的图像如图所示，易知，两函数图像只有一个交点因此函数f(x)x()x只有1个零点【答案】B1(2013南昌检测)用二分法研究函数f(x)x33x1的零点时，第一次经计算f(0)0，可得其中一个零点x0_，第二次应计算_以上横线上应填的内容为()A(0,0.5)f(0.25) B(0,1)f(0.25)C(0.5,1)f(0.75) D(0,0.5)f(0.125)【解析】函数f(x)x33x1连续，且f(0)f(0.5)0时，令2ln x0，解得xe2，所以函数f(x)
87、有2个零点【答案】C函数的实际应用【求源】(教材第134页复习题四C组第1题)渔场中鱼群的最大养殖量为m，为了保证鱼群的生长空间，实际养殖量x小于m，以便留出适当的空闲量已知鱼群的年增长量y和实际养殖量与空闲率(空闲率是空闲量与最大养殖量的比值)的乘积成正比，比例系数为k(k0)(1)写出y关于x的函数关系式，并指出该函数的定义域；(2)求鱼群年增长量的最大值；(3)当鱼群年增长量达到最大值时，求k的取值范围1(2012江苏高考)如图1，建立平面直角坐标系xOy，x轴在地平面上，y轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点已知炮弹发射后的轨迹在方程ykx(1k2)x2(k0)表示的曲线
88、上，其中k与发射方向有关炮的射程是指炮弹落地点的横坐标图1(1)求炮的最大射程(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标a不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理由【命题立意】本题主要考查函数、方程等知识，考查数学阅读能力和解决实际问题的能力【解】(1)令y0，得kx(1k2)x20，由实际意义和题设条件知x0，k0，故x10，当且仅当k1时取等号，所以炮的最大射程为10千米(2)因为a0，所以炮弹可击中目标存在k0，使3.2ka(1k2)a2成立关于k的方程a2k220aka2640有正根判别式(20a)24a2(a264)0a6.所以当a不超过6千米时
89、，可击中目标(2011湖南高考)如图2，长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向作匀速移动，速度为v(v0)，雨速沿E移动方向的分速度为c(cR)E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量，假设其值与|vc|S成正比，比例系数为；其他面的淋雨量之和，其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量，当移动距离d100，面积S时，图2(1)写出y的表达式；(2)设0v10,0c5，试根据c的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少【解】(1)由题意知，E移动时单位时间内的淋雨量为|vc|，故y(|vc|)(3|vc|10)(2)由(1)知，当0vc时，y(3c
90、3v10)15；当cv10时，y(3v3c10)15.故y当0c时，y是关于v的减函数故当v10时，ymin20.当c5时，在(0，c上，y是关于v的减函数；在(c,10上，y是关于v的增函数故当vc时，ymin.必修1模块学习评价模块学习评价(时间120分钟，满分150分)一、填空题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1设集合A1,2,4，B2,6，则AB等于()A2B1,2,4,6C1,2,4 D2,6【解析】AB1,2,42,61,2,4,6【答案】B2若函数f(x)的定义域为A，g(x)的定义域为B，则R(AB)()A2，) B(
91、2，)C(0,12，) D(0,1)(2，)【解析】由题意知，1x2.A(1,2)x0.B(，0，AB(，0(1,2)，R(AB)(0,12，)【答案】C3设集合Ax|1xa若AB，则a的范围是()Aa2Ba1Ca1Da2【解析】AB，a1.【答案】B4已知函数f(x)7ax1的图像恒过点P，则P点的坐标是()A(1,8) B(1,7) C(0,8) D(8,0)【解析】过定点则与a的取值没有关系，所以令x1，此时f(1)8，所以P点的坐标是(1,8)故选A.【答案】A5设f(x)3xx2，则在下列区间中，使函数f(x)有零点的区间是()A0,1 B1,2C2，1 D1,0【解析】f(0)30
92、01，f(1)1，f(0)f(1)0.【答案】D6甲、乙二人沿同一方向从A地去B地，途中都使用两种不同的速度v1与v2(v11时，0b201,0log1log3log1，clog20.3bc.【答案】abc15设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x0时，f(x)2x3，则f(2)_.【解析】f(2)f(2)(223)1.【答案】116下列说法中，正确的是_(填写序号)任取x0，均有3x2x；当a0，且a1时，有a3a2；y()x是增函数；y2|x|的最小值为1；在同一坐标系中，y2x与y2x的图像关于y轴对称【解析】当0a1时，a32.故m的取值范围为m|m2(2)若BA，则1m2.故此时m的
93、取值范围为m|1m219(本小题满分12分)已知函数f(x)(1)在图中给定的直角坐标系内画出f(x)的图像；(2)写出f(x)的单调递增区间【解】(1)函数f(x)的图像如下图所示：(2)函数f(x)的单调递增区间为1,0和2,520(本小题满分12分)已知函数f(x)，x1，)(1)当a时，求函数f(x)的最小值；(2)若对任意的x1，)，f(x)0恒成立，试求a的取值范围【解】(1)当a时，f(x)x2，f(x)在，)上为增函数，1，)为f(x)的增区间，f(x)在区间1，)上的最小值为f(1).(2)法一在区间1，)上，f(x)0恒成立x22xa0恒成立令yx22xa，x1，)，yx2
94、2xa(x1)2a1在1，)上递增，当x1时，ymin3a，于是，当且仅当ymin3a0时，函数f(x)0恒成立，故a3，即a的取值范围是(3，)法二f(x)x2，x1，)，当a0时，函数f(x)的值恒为正；当a0时，函数f(x)0恒成立综上可得a3.即a的取值范围是(3，)21(本小题满分12分)某专卖店经销某种电器，进价为每台1 500元，当销售价定为1 500元2 200元时，销售量P(台)与销售价q(元)满足P(1)当定价为每台1 800元时，该专卖店的销售利润为多少？(2)若规定销售价q为100的整数倍，当销售价q的定价为多少时，专卖店的利润最高？【解】(1)当q1 800元时利润w
95、(1 8001 500)(500)42 000(元)，即定价为1 800元时，该专卖店的销售利润为42 000元(2)当1 500q48 000(元)综上可得当q2 000时，专卖店的利润最高22(本小题满分12分)已知定义在R上的函数f(x)是奇函数(1)求a，b的值；(2)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求k的取值范围【解】(1)f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)0，b1，f(x)，而f(x)f(x).对比系数得a1.即a1，b1.(2)f(x)1在R上单调递减，又是奇函数f(t22t)k2t2对任意tR恒成立，即k3t22t3(t)2恒成立k.k的取值范围是(，)
