1、章末综合测评(二)平面向量及其应用(满分：150分时间：120分钟)一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1下列命题正确的是()A若R，ab，则a，b不共线B若|a|b|，则abC若a和b都是单位向量，则abD若m3a2b，nab，则mnD由m2n，得mn.2已知|a|8，e为单位向量，当它们的夹角为时，a在e方向上的投影数量为()A B C4 D4Da在e方向上的投影为|a|cos 84.3若向量(1，2)，(4，2)，则|()A2 B. 5 C. 20 D. 25B因为(3，4)，所以|5.4已知向量a，b满足|a|1，|ab|，
2、a(ab)，则|b2a|()A. 2 B2 C4 D4A|b2a|2ab|(ab)a|2.5若向量(3，4)，d(1，1)，且d5，那么d()A0 B4C4 D4或4Cdd()dd514.6已知平面上不共线的四点O，A，B，C，若3 20，则等于()A B C1 D2D由已知，得()2()0，即20.2，2.7已知ABC的面积为，外接圆面积为，则这个三角形的三边之积为()A1 B2 C D4A由已知得，外接圆的半径为R1，由三角形的面积公式，得ab sin C，又sin C，abc1.8.如图，在平面四边形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若点E为边CD上的动点，则的最
3、小值为()A BC D3A如图，以D为坐标原点，DA，DC所在直线分别为x轴，y轴，建立平面直角坐标系连接AC，由题意知CADCAB60，ACDACB30，则D(0，0)，A(1，0)，B，C(0，).设E(0，y)(0y)，则(1，y)，y2y(0y)，当y时，有最小值.故选A.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分9已知向量ab(2，8)，ab(8，16)，则下列结论正确的是()A5B13Ca在b方向上的投影数量为Da在b方向上的投影数量为ABD由已知得a(3，4)，b(5，12)，所以5，13
4、，ab63.所以a在b方向上的投影为.10黑板上有一道解答正确的解三角形的习题，一位同学不小心把其中一部分擦去了，现在只能看到：在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a2，解得b.根据以上信息，你认为下面哪个选项不可以作为这个习题的其余已知条件()AA30，B45Bc1，cos CCB60，c3 DC75，A45ABC，A错；cos C，B错；cos 60，C错；对于D，由正弦定理得，b，故D正确11已知|a|1，ab，|ab|1，则下列结论正确的是()A|b|1Bb在a方向上的投影数量为C|ab|Da与b的夹角等于ABCD因为|ab|2|a|2|b|22ab1，即1|b|211
5、，故|b|1.又|ab|2|a|2|b|22ab3，所以|ab|，设a与b的夹角为，因为ab|a|b|cos ，且|a|1，所以|b|cos .由得cos .又0，所以.12设点M是ABC所在平面内一点，则下列说法中正确的是()A若，则点M是边BC的中点B若2，则点M在边BC的延长线上C若，则点M是ABC的重心D若xy，且xy，则MBC的面积是ABC面积的ACDA项，即，则点M是边BC的中点，所以A正确；B项，2，即，则点M在边CB的延长线上，所以B错误C项如图，设BC的中点为D，则2，由重心性质可知C正确D项，xy，且xy22x2y，2x2y1，设2，所以2x2y，2x2y1，可知B，C，D
6、三点共线，所以MBC的面积是ABC面积的，所以D正确三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上13向量(k，12)，(4，5)，(10，k)，若A，B，C三点共线，则k的值为_2或11(k，12)(4，5)(k4，7)，(k，12)(10，k)(k10，12k).因为A，B，C三点共线，所以，所以(k4)(12k)7(k10)0，整理得k29k220，解得k2或11.14如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_B，P，N三点共线存在，使.().(1).又m，m1.15在边长为1的正三角形ABC中，设2，3，则_，与夹角的余弦值为_. 选，为基，则，(
7、)2211cos 60.又，则与夹角的余弦值为. 16平面直角坐标系中，e是单位向量，向量a满足ae2，且|a|25|ate|对任意实数t成立，则|a|的取值范围是_，2不妨设e(1，0)，由于ae2，可设a(2，s)，则对任意实数t，有4s2|a|25|ate|5，这等价于4s25|s|，解得|s|1，4，即s21，16，于是|a|，2.四、解答题：本大题共6小题，共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17(本小题满分10分)已知向量a(1，x)，b(2x3，x)(xR).(1)若ab，求x的值；(2)若ab，求|ab|.解(1)若ab，则ab(1，x)(2x3，x)2x3x20.即
8、x22x30，解得x1或x3.(2)若ab，则有1(x)x(2x3)0，即x(2x4)0，解得x0或x2.当x0时，a(1，0)，b(3，0)，|ab|(1，0)(3，0)|(2，0)|2.当x2时，a(1，2)，b(1，2)，|ab|(1，2)(1，2)|(2，4)|2.18(本小题满分12分)如图所示，甲船以每小时30海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2处，此时两船相距10海里，问乙船每小时航行多少海里？ 解如图所示，连接A1
9、B2.由已知A2B210，A1A23010，A1A2A2B2.又A1A2B218012060，A1A2B2是等边三角形，A1B2A1A210.由已知A1B120，B1A1B21056045.在A1B2B1中，由余弦定理得B1BA1BA1B2A1B1A1B2cos 45202(10)222010200，B1B210.因此，乙船的速度的大小为6030(海里/小时).答：乙船每小时航行30海里19.(本小题满分12分)如图，已知RtOAB中，AOB90，OA3，OB2，M在OB上，且OM1，N在OA上，且ON1，P为AM与BN的交点，求MPN.解设a，b且，的夹角为，则b，a.又ba，ab，5，|，
10、|，cos .又0，.又MPN即为向量，的夹角，MPN.20(本小题满分12分)已知ABC的外接圆圆心为O，AB2，AC3，BC，求.解()，在上的投影数量为|，|2.同理，|.2.21(本小题满分12分)在ABC中，内角A、B、C对边的边长分别是a、b、c，已知2cos C(a cos Bb cos A)c.(1)求C；(2)若c，求ABC的面积的最大值解(1)由2cos C(a cos Bb cos A)c，得2cos Cc，所以2c cos Cc，所以cos C，又C(0，)，所以C.(2)由余弦定理得a2b22ab cos 7，整理得a2b2ab7，又a2b22ab，所以ab7，当且仅当ab时，取等号，所以ABC的面积为ab sin C7，所以ABC的面积的最大值为.22(本小题满分12分)已知ABC内接于以O为圆心，1为半径的圆，且3450.(1)求；(2)求ABC的面积解 (1)3450，345，即(34)2(5)2.可得9224162252.又|OA|OB|OC|1，2221，0.同理，.()()01.(2)|，|，又cos A，则sin A，SABC|sin A.
