1、第二讲三角恒等变换与解三角形高考导航1利用各种三角函数进行求值与化简，其中降幂公式、辅助角公式是考查的重点2利用正、余弦定理进行边和角、面积的计算，三角形形状的判定以及有关范围的计算，常与三角恒等变换综合考查考点一三角恒等变换与求值1两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin()sincoscossin.(2)cos()coscossinsin.(3)tan().2二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin22sincos.(2)cos2cos2sin22cos2112sin2.(3)tan2.3辅助角公式asinxbcosxsin(x).1(2019贵阳监测)sin415cos415()A.
2、 B C. D解析sin415cos415(sin215cos215)(sin215cos215)sin215cos215cos30.故选D.答案D2(2019山西省名校联考)若cos，则coscos()A B C1 D1解析由coscoscossincoscos1，故选C.答案C3(2019河南郑州3月联考)若2018，则tan2()A2017 B2018 C2019 D1004解析tan22018，故选B.答案B4(2019河南濮阳一模)设090，若sin(752)，则sin(15)sin(75)()A. B. C D解析因为090，所以75752255.又因为sin(752)0，所以18
3、0752255，角752为第三象限角，所以cos(752).所以sin(15)sin(75)sin(15)cos(15)sin(302)sin(752)45sin(752)cos45cos(752)sin45，故选B.答案B5(2019豫北名校联考)计算： _.(用数字作答)解析.答案6(2019长春三校联考)已知cos，cos()，若0，则_.解析由cos，0，得sin，由0，得0.又cos()，sin() .由()得coscos()coscos()sinsin().，.答案(1)三角恒等变换的三原则一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理拆分，从而正确使用公式，
4、如2题二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等(2)解决条件求值应关注的三点分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小，如6题考点二解三角形1正弦定理2R(2R为ABC外接圆的直径)变形：a2RsinA，b2RsinB，c2RsinC.sinA，sinB，sinC.abcsinAsinBsin
5、C.2余弦定理a2b2c22bccosA，b2a2c22accosB，c2a2b22abcosC.推论：cosA，cosB，cosC.变形：b2c2a22bccosA，a2c2b22accosB，a2b2c22abcosC.3面积公式SABCbcsinAacsinBabsinC.角度1：利用正弦、余弦定理判断三角形的形状【例1】(2019豫北名校4月联考)在ABC中，a，b，c分别表示三个内角A，B，C的对边，如果(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin(AB)，则ABC的形状为()A等腰三角形 B直角三角形C等腰直角三角形 D等腰三角形或直角三角形解题指导解法一：解法二：解析解法一：已知
6、等式可化为a2sin(AB)sin(AB)b2sin(AB)sin(AB)，2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正弦定理，上式可化为sin2AcosAsinBsin2BcosBsinA，sinAsinB(sinAcosAsinBcosB)0，A，B均为ABC的内角，sinA0，sinB0，sin2Asin2B0，即sin2Asin2B.由A，B(0，)得02A2，02B2，得2A2B或2A2B，即AB或AB.ABC为等腰三角形或直角三角形，故选D.解法二：(同解法一)可得2a2cosAsinB2b2cosBsinA.由正、余弦定理，可得a2bb2a.a2(b2c2a2)b2(a2c
7、2b2)，即(a2b2)(a2b2c2)0.ab或a2b2c2，ABC为等腰三角形或直角三角形故选D.答案D角度2：利用正弦、余弦定理进行边角计算【例2】(2019武汉二模)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC(tanAtanC1)1.(1)求B的大小；(2)若ac，b，求ABC的面积 解(1)由2cosAcosC(tanAtanC1)1，得2(sinAsinCcosAcosC)1，即cos(AC)，cosBcos(AC)，又0B1，所以x10，因此y(x1)22，当且仅当x1时取等号，即x1时，y取得最小值2，因此AC最短为(2)米答案D3(2019广东省五校
8、协作体高三一诊)如图所示，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角，在山坡的A处测得DAC15，沿山坡前进50 m到达B处，又测得DBC45，根据以上数据可得cos_.解析由DAC15，DBC45可得BDA30，DBA135，BDC90(15)3045，由内角和定理可得DCB180(45)4590，根据正弦定理可得，即DB100sin15100sin(4530)25(1)，又，即，得到cos1.答案14(2019福州综合质量检测)如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分
9、别为30，45，且BAC135.若山高AD100 m，汽车从B点到C点历时14 s，则这辆汽车的速度约为_m/s.(精确到0.1)参考数据：1.414，2.236.解析因为小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30，45，所以BAD60，CAD45.设这辆汽车的速度为v m/s，则BC14v m，在RtADB中，AB200 m.在RtADC中，AC100 m.在ABC中，由余弦定理，得BC2AC2AB22ACABcosBAC，所以(14v)2(100)220022100200cos135，解得v22.6，所以这辆汽车的速度约为22.6 m/s.答案22.6解三角形实际问题的4步骤1(201
10、9全国卷)已知，2sin2cos21，则sin()A. B.C. D.解析由二倍角公式可知4sincos2cos2.，cos0，2sincos，tan，sin.故选B.答案B2(2018全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若ABC的面积为，则C()A. B.C. D.解析根据余弦定理得a2b2c22abcosC，因为SABC，所以SABC，又SABCabsinC，所以tanC1，因为C(0，)，所以C.故选C.答案C3(2019浙江卷)在ABC中，ABC90，AB4，BC3，点D在线段AC上若BDC45，则BD_，cosABD_.解析在BDC中，BC3，sinBCD，BDC4
11、5，由正弦定理得，则BD，在ABD中，sinBAD，cosBAD，ADB135，cosABDcos180(135BAD)cos(45BAD)cos45cosBADsin45sinBAD.答案4(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知asinbsinA.(1)求B；(2)若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解(1)由题设及正弦定理得sinAsinsinBsinA.因为sinA0，所以sinsinB.由ABC180，可得sincos，故cos2sincos.因为cos0，故sin，因此B60.(2)由题设及(1)知ABC的面积SABCa.由正弦定理得a.
12、由于ABC为锐角三角形，故0A90，0C90.由(1)知AC120，所以30C90，故a2，从而SABC.因此，ABC面积的取值范围是.1.高考对此部分的考查一般以“二小”或“一大”的命题形式出现2若无解答题，一般在选择题或填空题各有一题，主要考查三角恒等变换、解三角形，难度一般，一般出现在第49或第1315题位置上3若以解答题命题形式出现，主要考查三角函数与解三角形的综合问题，一般出现在解答题第17题位置上，难度中等热点课题1解三角形中的范围问题(2019河南豫北联考)在ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且acosC(2bc)cosA.(1)求角A的大小；(2)求cos2sin2
13、的取值范围解(1)由正弦定理将原等式化为sinAcosC2sinBcosAsinCcosA，从而可得，sin(AC)2sinBcosA，即sinB2sinBcosA.又B为三角形的内角，所以sinB0，于是cosA.又A为三角形的内角，因此A.(2)cos2sin2sinBcosC1sinBcos1sinBcoscosBsinsinB1sinBcosB1sin1，由A可知，B，所以B，从而sin，因此，sin1，故cos2sin2的取值范围为.专题强化训练(十二)一、选择题1(2019贵阳监测)已知sin，则cos的值是()A. B. C D解析sin，coscos12sin2，coscosc
14、oscos.答案D2(2019湖北武汉模拟)在ABC中，a，b，B，则A等于()A. B. C. D.或解析由正弦定理得，所以sinA，所以A或.又ab，所以AB，所以A.答案B3(2019沧州4月联考)已知是第四象限角，且sin，则tan()A. B C D.解析解法一：sin(sincos)，sincos，2sincos.是第四象限角，sin0，sincos，由得sin，cos，tan，tan.解法二：，sincos，又2k2k，kZ，2k0，所以cosA.又0A，所以A.由b2，SABCbcsinA2，得c4.由余弦定理可得a2b2c22bccosA224222412，所以a2.解法二：
15、由三角形中的射影定理可知ccosBbcosCa，所以ccosBbcosC2acosA0可化为a2acosA0，因为a0，所以cosA.又0A，所以A.由b2，SABCbcsinA2，得c4.由余弦定理可得a2b2c22bccosA224222412，所以a2.答案C6(2019南京调研)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB2ab，若ABC的面积Sc，则ab的最小值为()A28 B36 C48 D56解析在ABC中，2ccosB2ab，由正弦定理，得2sinCcosB2sinAsinB.又A(BC)，所以sinAsin(BC)sin(BC)，所以2sinCcosB2si
16、n(BC)sinB2sinBcosC2cosBsinCsinB，得2sinBcosCsinB0，因为sinB0，所以cosC，又0C，所以C.由ScabsinCab，得c.由余弦定理得，c2a2b22abcosCa2b2ab2abab3ab(当且仅当ab时取等号)，所以23ab，得ab48，所以ab的最小值为48，故选C.答案C二、填空题7(2019全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若b6，a2c，B，则ABC的面积为_解析由b2a2c22accosB及已知得62(2c)2c222cc，c2(c2舍去)a2c4，ABC的面积SacsinB426.答案68(2019成都一诊)
17、计算：4cos50tan40_.解析4cos50tan404sin40.答案9(2019安徽合肥一模)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC，bcosAacosB2，则ABC的外接圆面积为_解析已知bcosAacosB2，由正弦定理可得2RsinBcosA2RsinAcosB2(R为ABC的外接圆半径)利用两角和的正弦公式得2Rsin(AB)2，则2RsinC2，因为cosC，所以sinC，所以R3.故ABC的外接圆面积为9.答案9三、解答题10(2019北京卷)在ABC中，a3，bc2，cosB.(1)求b，c的值；(2)求sin(BC)的值解(1)由余弦定理b2a2c22
18、accosB，得b232c223c.因为bc2，所以(c2)232c223c.解得c5.所以b7.(2)由cosB得sinB.由正弦定理得sinCsinB.在ABC中，B是钝角，所以C为锐角所以cosC.所以sin(BC)sinBcosCcosBsinC.11(2018烟台模拟)如图，在平面四边形ABCD中，已知A，B，AB6.在AB边上取点E，使得BE1，连接EC，ED.若CED，EC.(1)求sinBCE的值；(2)求CD的长解(1)在BEC中，由正弦定理，知.B，BE1，CE，sinBCE.(2)CEDB，DEABCE，cosDEA.A，AED为直角三角形，又AE5，ED2.在CED中，CD2CE2DE22CEDEcosCED7282249.CD7.12(2019常州一模)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2(tanAtanB).(1)证明：ab2c；(2)求cosC的最小值解(1)证明：由题意知2，化简得2(sinAcosBsinBcosA)sinAsinB，即2sin(AB)sinAsinB.因为ABC，所以sin(AB)sin(C)sinC.从而sinAsinB2sinC.由正弦定理得ab2c.(2)由(1)知c，所以cosC，当且仅当ab时，等号成立故cosC的最小值为.
