1、第三篇重点热点、突破篇第一讲三角函数的图象与性质高考导航1三角函数的图象，主要涉及图象变换问题以及由图象确定函数解析式问题2三角函数的性质，通常是给出函数解析式，先进行三角变换，将其转化为yAsin(x)的形式再研究其性质(如单调性、值域、对称性)，或知道某三角函数的图象或性质求其解析式，再研究其他性质考点一同角三角关系式及诱导公式1三角函数：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，则siny，cosx，tan(x0)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦2同角基本关系式：sin2cos21，tan.3诱导公式：在，kZ的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”1(
2、2019广东惠州二调)已知sinxcosx，x0，则tanx的值为()A BC D或解析sinxcosx，(sinxcosx)2，即12sinxcosx.2sinxcosx0，cosx0.(sinxcosx)212sinxcosx，sinxcosx.又知sinxcosx，sinx，cosx，则tanx，故选B.答案B2(2019福州质检)已知P(sin40，cos140)为锐角终边上的点，则()A40 B50 C70 D80解析P(sin40，cos140)为角终边上的点，因而tantan50，又为锐角，则50，故选B.答案B3(2019唐山五校联考)已知sin，则cos()A B. C. D
3、解析coscossinsinsinsin.答案A4(2019河北六校第三次联考)若sin是方程5x27x60的根，则()A. B. C. D.解析方程5x27x60的两根分别为x12和x2，sin.则，故选B.答案B5(2019云南师大附中月考)已知tan2，则sin2的值为()A. B. C. D.解析解法一：sin2，将tan2代入，得原式，故选C.解法二：tan2，在平面直角坐标系xOy中，不妨设为锐角，角的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上取点P(1,2)，则|OP|，由三角函数的定义，得sin，cos，所以sin22，故选C.答案C6(2019湘东六校联考)在平面直
4、角坐标系xOy中，点P(x0，y0)在单位圆O上，设xOP，且.若cos，则x0的值为_解析点P(x0，y0)在单位圆O上，且xOP，cosx0，又，cos，sin，x0coscoscoscossinsin.答案(1)涉及与圆及角有关的函数建模问题，常常借助三角函数的定义求解应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关(2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等考点二三角函数的图象及变换1“五点法”作函数yAsin(x)的图象设zx，令z0，2，求出x的值与相应的y的值，描点、
5、连线可得2两种图象变换【例1】(1)(2019南昌调研)函数f(x)cos的图象可由函数g(x)sin的图象()A向左平移个单位长度得到B向右平移个单位长度得到C向左平移个单位长度得到D向右平移个单位长度得到(2)(2019济南模拟)已知函数f(x)2sin(x)的部分图象如图所示，则_.解题指导(1)(2)解析(1)f(x)cossinsin，只需将函数g(x)sin的图象向左平移个单位长度即可得到f(x)的图象故选C.(2)由，得T，又知T，2，f(x)2sin(2x)又知f2，2sin2，即sin1.2k(kZ)2k(kZ)，又0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、
6、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定；确定常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换，变换只是相对于其中的自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向1(2019广东揭阳一模)将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标先伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度得到ysinx的图象，则函数f(x)的单调递增区间为()A.，kZB.，kZC.，kZD.，kZ解析解法一：将函数f(x)sin(x)图象上每一点的横坐标伸长为原来的2倍
7、(纵坐标不变)，则函数变为ysin，再向左平移个单位长度得到的函数为ysinsinsinx，又0，所以又，所以2，所以f(x)sin，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ.故选C.解法二：将ysinx的图象向右平移个单位长度得到的函数为ysin，将函数ysin的图象上每一点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变)，则函数变为ysinf(x)，由2k2x2k，kZ，可得kxk，kZ，故选C.答案C2(2019太原3月联考)函数f(x)Asin(x)的部分图象如图所示，若x1，x2，x1x2且f(x1)f(x2)，则f(x1x2)()A1 B.C. D.解析由题图知A1，函数f(x)的最小正周期T2，
8、所以，即2，所以f(x)sin(2x)，又因为点在图象的上升段上，所以2k(kZ)，所以2k(kZ)，又|0，0，|)是奇函数，将yf(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)若g(x)的最小正周期为2，且g，则f()A2 B C. D2解题指导解析f(x)Asin(x)为奇函数，k，kZ，又|0)，且函数yf(x)的图象的一个对称中心到最近的对称轴的距离为.(1)求的值和函数f(x)的单调递增区间；(2)求函数f(x)在区间上的值域解题指导(1)(2)解(1)f(x)2cosxsinxsin2xcos2xsin2xcos2x2sin.由f(x)图
9、象的一个对称中心，到最近的对称轴的距离为，知，即1.所以f(x)2sin，令2k2x2k，kZ.解得kxk，kZ.所以f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)因为0x，所以2x，所以sin1，所以1f(x)2.即函数f(x)的值域为1,2三角函数性质问题的解题策略(1)讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式，将函数化成一个角的一种三角函数(2)求函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间，是将x作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)，求出的区间即为yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当A0，0，0)在某一区间的最值时，将x视为整体，借助正弦函数
10、的图象和性质求解1(2019太原一模)已知函数f(x)sin(x)的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则函数f(x)的图象()A关于直线x对称B关于直线x对称C关于点对称D关于点对称解析f(x)的最小正周期为，2，f(x)的图象向右平移个单位后得到g(x)sinsin的图象，又g(x)的图象关于原点对称，k，kZ，k，kZ，又|，k1，f(x)sin，当x时，2x，A、C错误，当x时，2x，B正确，D错误答案B2(2019豫南九校4月联考)已知函数f(x)sin2sincos.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；(2)若x，且F(x)4f(x)cos的
11、最小值是，求实数的值解(1)f(x)sin2sincoscos2xsin2x(sinxcosx)(sinxcosx)cos2xsin2xsin2xcos2xcos2xsin2xcos2xsin，函数f(x)的最小正周期T.由2k2x2k(kZ)得kxk(kZ)，函数f(x)的单调递增区间为(kZ)(2)F(x)4f(x)cos4sin2sin24sin122122.x，02x，0sin1.当1时，当且仅当sin1时，F(x)取得最小值，最小值为14，由已知得14，解得，这与1矛盾综上所述，.1(2019全国卷)下列函数中，以为周期且在区间单调递增的是()Af(x)|cos2x| Bf(x)|s
12、in2x|Cf(x)cos|x| Df(x)sin|x|解析对于选项A，作出y|cos2x|的部分图象，如图1所示，则f(x)在上单调递增，且最小正周期T，故A正确对于选项B，作出f(x)|sin2x|的部分图象，如图2所示，则f(x)在上单调递减，且最小正周期T，故B不正确对于选项C，f(x)cos|x|cosx，最小正周期T2，故C不正确对于选项D，作出f(x)sin|x|的部分图象，如图3所示显然f(x)不是周期函数，故D不正确故选A.答案A2(2018全国卷)若f(x)cosxsinx在a，a是减函数，则a的最大值是()A. B. C. D解析f(x)cosxsinxcos，由题意得a
13、0，故a，因为f(x)cos在a，a是减函数，所以解得0f()，则f(x)的单调递增区间是()A.(kZ)B.(kZ)C.(kZ)D.(kZ)解析因为f(x)对xR恒成立，即1，所以k(kZ)因为ff()，所以sin()sin(2)，即sin0,0)的部分图象如图所示，则，的值分别是()A1， B2，C， D2，解析由题图知最小正周期T22，所以，所以f(x)2sin(x)，把代入，得sin0，即k(kZ)，所以k(kZ)因为0，所以，故选C.答案C6(2019福州质量检测)若将函数y3cos的图象向右平移个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是()A. B. C. D.解析将函数y3cos的
14、图象向右平移个单位长度，得y3cos3cos的图象，由2xk(kZ)，得x(kZ)，当k0时，x，所以平移后图象的一个对称中心是，故选A.答案A二、填空题7(2019河北沧州模拟)已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线2xy0上，则_.解析设点P(a,2a)(a0)为角终边上任意一点，根据三角函数的定义有tan2，再根据诱导公式，得2.答案28(2019安徽六安一中3月月考)若函数f(x)sin(01)在区间(，2)内有最值，则的取值范围为_解析函数f(x)sin(01)取最值时，xk，kZ，即x(kZ)，因为f(x)在区间(，2)内有最值，所以(，2)时，k有解，所以12
15、，即k.由.当k0时，当k1时，结合01，得1，所以的取值范围为.答案9(2019江西南昌重点中学段考测试)已知函数f(x)sin(x)，若ff0，则f()_.解析解法一：因为ff0，所以得(k1，k2Z)，两式相减得，k2k1(k1，k2Z)因为03，且k2k1是整数，所以2.将点看作“五点”中的第一点，则0，所以，满足|0)，所以(k1N)，所以2k1(k1N)，又03，所以当k11时，2.所以f(x)sin(2x)由f0，得k2(k2Z)，所以k2(k2Z)，又|，所以，则f(x)sin，所以f().答案三、解答题10(2019北京西城二模)已知函数f(x)tan.(1)求函数f(x)的
16、定义域；(2)设(0，)，且f()2cos，求的值解(1)由xk，kZ，得xk，kZ.所以函数f(x)的定义域是.(2)依题意，得tan2cos.所以2sin.整理得sin0，所以sin0或cos.因为(0，)，所以.由sin0，得，即；由cos，即，即.所以或.11(2019云南曲靖一中模拟)已知函数f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx.(1)求函数f(x)的最小正周期(2)若f(x)m0在恰有一实数根，求m的取值范围解(1)函数f(x)2cosxsinsin2xsinxcosx2cosxsin2xsinxcosx2cosxsin2xsinxcosx2sinxcosxcos2x
17、sin2xsin2xcos2x2sin.故函数f(x)的最小正周期为.(2)在x时，f(x)2sin的图象如下f(0)2sin，f2sin0，当方程f(x)m0在恰有一实数根时，m的取值范围为，0)212(2019山东济南一模)已知函数f(x)sin(2x)sincos2x.(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；(2)当x时，求f(x)的最小值和最大值解(1)由题意，得f(x)(sinx)(cosx)cos2xsinxcosxcos2xsin2x(cos2x1)sin2xcos2xsin，所以f(x)的最小正周期T；令2xk(kZ)，则x(kZ)，故所求图象的对称轴方程为x(kZ)(2)当0x时，2x.由函数图象(图略)可知，sin1，即0sin.故f(x)的最小值为0，最大值为.
