1、高中同步测试卷(八)单元检测直接证明与间接证明、数学归纳法(时间：120分钟，满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根 B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根 D方程x3axb0恰好有两个实根2在不等边三角形中，a为最长边，要想得到A为钝角的结论，三边a，b，c应满足条件()Aa2b2c2 Da2b2c23用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程ax2bxc0有有理根，那么a，
2、b，c中存在偶数”时，否定结论应为()Aa，b，c都是偶数 Ba，b，c都不是偶数Ca，b，c中至多有一个是偶数 Da，b，c中至多有两个偶数4如果命题P(n)对nk成立，则它对nk2也成立，若P(n)对n2成立，则下列结论正确的是()AP(n)对所有正整数n都成立 BP(n)对所有正偶数n都成立CP(n)对所有正奇数n都成立 DP(n)对所有自然数n都成立5分析法又叫执果索因法，若使用分析法证明：设abc，且abc0，求证：0 Bac0 C(ab)(ac)0 D(ab)(ac)06已知f(n)，则()Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)1Cf(n
3、)中共有n2n2项，当n2时，f(2)1Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2)17观察式子：1，1，1，则可归纳出第n1个式子为()A1 B1C1 D10，则的值()A一定是正数 B一定是负数C可能是0 D正、负不能确定题号123456789101112答案二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在题中横线上)13用反证法证明命题“已知a，b为整数，若ab不是偶数，则a，b都不是偶数”时，应假设为_14若x1，2，x2a0恒成立，则a的取值范围是_15在等比数列an和等差数列bn中，a1b10，a3b30，a1a3，则a5与b5的大小关系为_16设nN，则_(填、0，1
4、，求证： .18(本小题满分12分)如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点M是A1D1的中点，点N是CD的中点，用反证法证明直线BM与直线A1N是两条异面直线19.(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，对一切nN*，点都在函数f(x)x的图象上求a1，a2，a3的值，猜想an的表达式，并用数学归纳法证明20(本小题满分12分)已知函数f(x)ax(a1)(1)求证：函数f(x)在(1，)上为增函数；(2)用反证法证明方程f(x)0没有负数根21.(本小题满分12分)设数列an的前n项和为Sn，且方程x2anxan0有一根为Sn1(n1，2，3，)(1)求a1，a2；(2)求Sn
5、的通项公式，并用数学归纳法证明22(本小题满分12分)已知数列xn，x1，xnx，其中n2，nN*，求证：对nN*都有以下不等式成立(1)0xn；(2)xnxn1.参考答案与解析1导学号14240056解析：选A.至少有一个实根的否定是没有实根，故要做的假设是“方程x3axb0没有实根”，故选A.2解析：选C.由cos A0知，b2c2a2b2c2.3解析：选B.“a，b，c中存在偶数”，即“a，b，c中至少有一个偶数”，故其否定为“a，b，c都不是偶数”4导学号14240057解析：选B.由题意nk时成立，则nk2时也成立，又n2时成立，可得到P(n)对所有正偶数都成立故选B.5解析：选C.
6、要证a，只需证b2ac3a2，只需证b2a(ba)0，只需证(2ab)(ab)0，只需证(ac)(ab)0，故索的因应为C.6解析：选C.由条件可知，f(n)共有项数为n2(n1)1n2n2项，且n2时，f(2).故选C.7导学号14240058解析：选C.观察可得第n1个不等式的左边为的前n项的和，右边为分式，故选C.8解析：选D.f(n1)f(n).9解析：选A.若“ab1”，则4ab4a(1a)411；若“4ab1”，取a4，b1，ab3，即“ab1”不成立，则“ab1”是“4ab1”的充分不必要条件故选A.10导学号14240059解析：选D.因为三角形内角的正弦值是正值，所以A1B1
7、C1的三个内角的余弦值均大于0.因此A1B1C1是锐角三角形假设A2B2C2也是锐角三角形，并设cos A1sin A2，则cos A1cos (90A2)，所以A190A2.同理设cos B1sin B2，cos C1sin C2，则有B190B2，C190C2.又A1B1C1180，所以(90A2)(90B2)(90C2)180，即A2B2C290.这与三角形内角和等于180矛盾，所以原假设不成立故选D.11解析：选D.由已知中命题P(k)，这里k2n(nN)，当n1，2，1 000时，P(k)成立，并且当n1 0001时它也成立，可得P(k)对于12 002内的偶数均成立，而对于其他数不
8、一定成立，据此判断四个答案的真假即可12解析：选B.(abc)2a2b2c22(abbcca)0，且a2b2c20(由abc0知a，b，c均不为零)，所以abbcca0，所以0，所以a5b5.答案：a5b516导学号14240061解析：要比较与的大小即判断()()()()的符号，因为()2()222()0.所以.答案：1及a0，可知0b，只需证1，只需证1abab1，只需证abab0，即1，即1，这是已知条件，所以原不等式得证18证明：假设直线BM与A1N共面，则A1D1平面A1BND1，且平面A1BND1平面ABCDBN，由正方体的特征知A1D1平面ABCD，故A1D1BN，又A1D1BC
9、，所以BNBC.这与BNBCB矛盾，故假设不成立所以直线BM与直线A1N是两条异面直线19导学号14240062解：因为点在函数f(x)x的图象上，所以n，所以Snn2an.令n1，得a11a1，所以a12；令n2，得a1a24a2，所以a24；令n3，得a1a2a39a3，所以a36.由此猜想：an2n.用数学归纳法证明如下：当n1时，由上面的求解知，猜想成立假设当nk(k1，kN*)时猜想成立，即ak2k成立，则当nk1时，注意到Snn2an(nN*)，故Sk1(k1)2ak1，Skk2ak.两式相减得ak12k1ak1ak，所以ak14k2ak.由归纳假设ak2k，得ak14k2ak4k
10、22k2(k1)这说明nk1时，猜想也成立由知，对一切nN*都有an2n成立20证明：(1)任取x1，x2(1，)，不妨设x11，故yax为增函数，所以ax10.又因为x110，x210，所以0，于是f(x2)f(x1)ax2a x10，即f(x2)f(x1)，故函数f(x)在(1，)上为增函数(2)假设存在x01，当x00时，0ax01.所以01，即x02，与假设x00相矛盾，故方程f(x)0没有负数根21解：(1)当n1时，x2a1xa10，有一根S11a11，于是(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，x2a2xa20，有一根S21a2，于是a2a20，解得a2.(2)由题
11、设(Sn1)2an(Sn1)an0，即S2Sn1anSn0.当n2时，anSnSn1，代入上式得Sn1Sn2Sn10.(*)由(1)知S1a1，S2a1a2.由(*)可得S3.由此猜想Sn，n1，2，3，.下面用数学归纳法证明这个结论n1时已知结论成立假设nk(k1，kN*)时结论成立，即Sk，当nk1时，由(*)得Sk1，即Sk1.故nk1时结论也成立由可知Sn对所有正整数n都成立22导学号14240063证明：(1)当n1时，因为x1，所以0x1，即当n1时不等式成立；假设当nk(k1，kN*)时不等式成立，即0xk，则当nk1时，xk1x0，所以0xk1.由知，对nN*都有0xnx1，所以当n1时不等式成立；假设当nk(k1，kN*)时不等式成立，即xkxk0，所以xx，所以xk2xxxk1，不等式也成立由知对nN*都有xnxn1成立
