1、章末复习与总结一、数学抽象数学抽象是指通过对数量关系与空间形式的抽象，得到数学研究对象的素养主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法和思想，认识数学结构与体系在本章中，主要表现在集合概念的理解及应用中.集合的基本概念例1定义集合运算：A*Bz|zxy，xA，yB设A1，2，B0，2，则集合A*B中元素的个数为()A0B2C3 D6解析zxy，xA，yB，z的取值有100，122，200，224，A*B0，2，4，故集合A*B中元素的个数为3.答案C二、数学运算数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养，主要表现为：理解运算对象，掌握运算法则，探究
2、运算思路，求得运算结果在本章中，主要表现在集合的交、并、补运算及一元二次不等式的求解问题.集合的运算例2(1)设全集UxN|x8，集合A1，3，7，B2，3，8，则(UA)(UB)()A1，2，7，8 B4，5，6C0，4，5，6 D0，3，4，5，6(2)已知集合Ax|4x2，集合Bx|x30求：AB；AB；R(AB)(1)解析UxN|x80，1，2，3，4，5，6，7，8，UA0，2，4，5，6，8，UB0，1，4，5，6，7，(UA)(UB)0，4，5，6答案C(2)解由已知得Bx|x3ABx|3x2ABx|x4R(AB)x|x3或x2.解一元二次不等式例3解下列关于x的不等式：(1)1
3、x22x12；(2)m2x22mx30.解(1)原不等式等价于即由得x(x2)0，所以x2或x0.由得(x3)(x1)0，所以3x1.将的解集在数轴上表示出来，如图求其交集得原不等式的解集为x|3x2或0x1(2)当m0时，30恒成立，解集为R.当m0时，二次项系数m20，16m20，不等式化为(mx3)(mx1)0.当m0时，解集为；当m0时，解集为.三、逻辑推理逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养，主要表现为：掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出问题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流本章主要表现在集合的基本关系、充要条件及全称量词命题和存在量词
4、命题、不等式的证明及应用中.充分条件与必要条件的判断例4(1)设集合Mx|x2，Px|x3，那么“xM或xP”是“x(MP)”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件(2)(2021北京市丰台区检测)a是方程ax30有实数根x0且x0x|1x2的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析(1)由xM或xP可得x(MP)，而(MP)(MP)，所以“xM或xP”是“x(MP)”的必要不充分条件故选B.(2)“方程ax30有实数根x0且x0x|1x2”等价于“函数yax3的图象在1x2时与x轴有交点”，则或解得a3或a.所以a是方程a
5、x30有实数根x0且x0x|1x2的充分不必要条件答案(1)B(2)A集合间的关系例5(1)(2021杭州联考)已知集合A0，1，Bx|xA，则下列关于集合A与B的关系正确的是()AAB BABCBA DAB(2)(2021天津河西区检测)已知非空集合A1，A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：若aA1，则aA2，若aA2，则aA1，则称(A1，A2)是集合A的“互斥子集组”，并规定(A1，A2)与(A2，A1)为不同的“互斥子集组”，则集合A1，2，3，4的不同“互斥子集组”的个数是_解析(1)因为xA，所以B，0，1，0，1，则集合A0，1是集合B中的元素，所以AB.(2)当集合A1中只
6、有1个元素(1，2，3，4，共4种)时，集合A2是由集合A中除去这个元素后剩下的3个元素组成的集合的非空子集，这样的“互斥子集组”共有4(231)28(个)当集合A1中有2个元素(1，2，1，3，1，4，2，3，2，4，3，4，共6种)时，A2共有2213(个)，故此时这样的“互斥子集组”有6318(个)当集合A1中有3个元素(1，2，3，1，2，4，1，3，4，2，3，4，共4种)时，A2只有1种情形，这样的“互斥子集组”共有414(个)综上所述，这样的“互斥子集组”共有2818450(个)答案(1)D(2)50全称量词命题与存在量词命题例6(2021潍坊市模拟)下列关于命题“xR，使得x2
7、x10”的否定正确的是()AxR，均有x2x10BxR，均有x2x10CxR，使得x2x10DxR，使得x2x10解析命题“xR，使得x2x10”的否定是“xR，均有x2x10”答案B不等式的性质及应用例7已知ab0，且a0，则()Aa2abb2 Bb2aba2Ca2b2ab Dabb2a2解析法一：令a1，b2，则a21，ab2，b24，从而a2abb2，选A.法二：由ab0，且a0可得b0，且ab，因为a2(ab)a(ab)0，所以0a2ab，又0ab，所以0ab(b)2，所以0a2abb2，选A.答案A不等式的证明例8已知x0，y0，z0，求证：8.证明x0，y0，z0，0，0，0，当且
8、仅当xyz时，以上三个不等式等号同时成立8.当且仅当xyz时等号成立.利用基本不等式求最值例9已知m0，n0，若m2，则mn的最小值为_；(2)已知aR，b0，且(ab)b1，则a的最小值是_解析(1)因为m2，化简可得mnm2n2，故mn8，当且仅当m2n4时，等号成立，即mn的最小值是8.(2)法一：b0，且(ab)b1，ab，abb2bb2 2，当且仅当b，即b1时等号成立，故a的最小值为2.法二：(ab)b1，aa2b(ab)b22，当且仅当a0，b1时等号成立答案(1)8(2)2四、数学建模数学建模是对现实问题进行数学抽象，用数学语言表达问题、用数学方法构建模型解决问题的素养，主要表
9、现在：发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题，在本章主要表现在集合、不等式的实际应用中.集合的应用例10现有100名携带药品出国的旅游者，其中75人带有感冒药，80人带有胃药，那么对既带感冒药又带胃药的人数统计中，下列说法正确的是()A最多人数是55 B最少人数是55C最少人数是75 D最多人数是80解析设100名携带药品出国的旅游者组成全集I，其中带感冒药的人组成集合A，带胃药的人组成集合B.设所携带药品既非感冒药又非胃药的人数为x，则0x20.设以上两种药都带的人数为y.作出Venn图，由图可知，xcard(A)card(B)y100.x7580y100，y55x.
10、0x20，55y75，故最少人数是55.答案B不等式的实际应用例11为了保护环境，某工厂在政府部门的鼓励下进行技术改进：把二氧化碳转化为某种化工产品，经测算，该处理成本y(单位：万元)与处理量x(单位：t)之间满足yx240x1 600，其中30x50.已知每处理1 t的二氧化碳可获得价值20万元的某种化工产品(1)判断该技术改进能否获利如果能获利，求出最大利润；如果不能获利，则政府至少需要补贴多少万元该工厂才不会亏损？(2)当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？解(1)该技术改进不能获利当30x50时，设该工厂获利S万元，则S20x(x240x1 600)(x30)2700，所以当30x50时，S的最大值为700，7000，因此该工厂不会获利，政府至少需要补贴700万元该工厂才不会亏损(2)由题意，知二氧化碳每吨的平均处理成本Px40，因为当30x50时，Px4024040，当且仅当x，即x40时等号成立，所以当处理量为40 t时，每吨的平均处理成本最少
