1、湖南省怀化市第三中学2013届高三上学期数学（理）期中考试题本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分. 时量：120分钟.第卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代号填在答题卡上.1设集合，则为 2已知异面直线所成的角为，且值为或3下列函数中既是偶函数，又是区间上的减函数的是 4.有一个几何体的三视图及其尺寸如右（单位：），其侧视图和主视图是全等的三角形，则该几何体的表面积为 5已知函数，则函数的零点有个 个 个 个6甲、乙两名运动员在某项测试中的次成绩如茎叶图所示，分别表示甲
2、乙两名运动员这项测试成绩的平均数，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的标准差，分别表示甲乙两名运动员这项测试成绩的中位数，则有 7.已知是坐标原点，点，若点为平面区域上的一个动点 ，则的最小值是 8.在中，角、所对的边为若、成等差数列，则角的最值及取最值时三角形面积有 角有最小值，此时 .角有最大值，此时角有最小值，此时 .角有最大值，此时第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，满分35分.9.在空间直角坐标系中,若点点,则_.10.函数对于任意实数满足条件，若，则_.11.已知数列为等比数列，且，则的值为_.12当为任意实数时，直线恒过定点，则以为圆心且与轴相切的
3、圆的方程是_13阅读右侧程序框图，输出的结果的值为_. 14.某地区因环境变化，月均降水量与年份统计数据如下表：从散点图可以看出与线性相关，且可得回归方程为，据此模型可预测 年起该地区的月均降水量将开始低于.15设集合 (),对的任意非空子集，定义为中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则有 ； .三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16. （本小题满分12分）已知函数.（）求函数定义域及单调递增区间.（）在中，若，求角的取值范围.17.(本小题满分12分)某市为了了解今年高中毕业生的身体素质状况，从本市某校高中毕业班中抽取一个班进行实心
4、球测试，成绩在米及以上的为合格.把所得数据进行整理后，分成组画出频率分布直方图的一部分(如图），已知第一小组为，从左到右前个小组的频率分别为.第 小组的频数是.（）求这次实心球测试成绩合格的人数；（）经过多次测试后，甲成绩在米之间，乙成绩在米之间，现甲、乙各投一次，求乙投得没有甲远的概率.18（本题满分12分）如图，四棱锥的底面是正方形，侧棱底面，、分别是棱、的中点. （）求证:； （）求直线与平面所成的角的正弦值19.（本小题满分13分）有一家公司准备裁减人员已知这家公司现有职员()人，每人每年可创纯利5万元据评估，在经营条件不变的前提下，每裁员人，则留岗职员每人每年多创纯利万元，但公司需付
5、下岗职员生活费等每人每年4万元，并且该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的.（）若该公司裁减人，可获得的经济效益为万元，求关于的函数关系式；（）该公司为获得最大的经济效益,应栽员多少人？20.（本小题满分13分）已知各项均不相等的等差数列的前项和为，且成等比数列.（）求数列的通项公式；（）设为数列的前项和，若，对恒成立，求实数的最小值.21.（本小题满分13分）已知圆一动直线过与圆相交于两点，是 的中点，与直线相交于.（）当时，求直线的方程；（）探索是否与直线的倾斜角有关，若无关，请求出其值；若有关，请说明理由数 学（理科）参考答案一、选择题： CADC BBAD 二、填空题： 9. ； 1
6、0. ； 11.； 12 13 1 ； 14. 2013； 1517， k16解：（）由题意，Z），k其定义域为 Z.2分6分 ，可得3kk函数单调递增区间为 Z；8分（）由可得：， 则10分即且 或12分17解：（I）第6小组的频率为此次测试总人数为(人)2分 第4、5、6组成绩均合格，人数为(人)4分 （）设甲、乙各投掷一次的成绩分别为米，则基本事件满足的区域为6分设事件为“乙投得没有甲远”满足的区域为如图所示11分乙投得没有甲远的概率为12分18（I）证明：因为底面，所以因为底面是正方形，所以，故，所以，3分又因为，点是棱的中点，所以，故OH，所以. 6分 （）过点作，连接由是棱的中点，
7、底面是正方形可得，又由底面得到，所以为直线与平面所成的角8分设，得到，在中， ，12分（方法二）解：以为原点，分别以的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，设则2分点、分别是棱、的中点， ,., ,所以6分（）由面得,，,取的法向量=(-1,1,0)8分设直线与平面所成的角，12分19解：（I）设裁员人，可获得的经济效益为万元，则.整理得5分又由该公司正常运转所需人数不得少于现有职员的，所以，即7分（）因函数的对称轴方程为.由二次函数的图象可知：当时，函数是递增的；当时，函数是递减的.且当，即时，时，函数取得最大值10分当，即时，时，函数取得最大值12分综上所述：当时，应裁员人；当时，应裁员人，公司才能获得最大的经济效益（13分）20解：（I）设公差为，则 解得或（舍去），所以，故.6分（II）.8分若恒成立，则需恒成立，即恒成立.10分取“=”当且仅当，即，而，不可取。由函数（）的单调性可知，当时，有最大值.12分，即的最小值为.13分21解：（）当直线与x轴垂直时, 易知符合题意. 2分当直线与x轴不垂直时, 设直线的方程为，即.因为，所以.则由，得.直线：. 从而所求直线的方程为或. 6分（）因为CMMN, .当与x轴垂直时，易得，则.又, 8分当的斜率存在时，设直线的方程为，则由，得（）.则. =.综上，与直线的斜率无关，且. 13分
