1、1集合与元素(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号或表示(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N)ZQR2.集合间的基本关系关系自然语言符号语言Venn图子集集合A中所有元素都在集合B中(即若xA，则xB)AB(或BA)真子集集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中AB(或BA)集合相等集合A，B中元素相同或集合A，B互为子集AB3.集合的运算集合的并集集合的交集集合的补集图形符号ABx|xA或xBABx|xA且xBUAx|xU，且xA【知
2、识拓展】1ABABA，ABAAB.2AAA，A.3AAA，AA.4A(UA)，A(UA)U，U(UA)A.5ABABAABBUAUBA(UB).6若集合A中含有n个元素，则它的子集个数为2n，真子集的个数为2n1，非空真子集的个数为2n2.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)x|yx21y|yx21(x，y)|yx21()(2)若x2,10,1，则x0,1.()(3)x|x1t|t1()(4)对于任意两个集合A，B，关系(AB)(AB)恒成立()(5)若ABAC，则BC.()(6)含有n个元素的集合有2n个真子集()1设Ax|x24x50，Bx|x21，则AB等于(
3、)A1,1,5 B1,5C1,5 D1答案A解析A1,5，B1,1，AB1,1,52(2015四川)设集合Ax|1x2，集合Bx|1x3，则AB等于()Ax|1x3 Bx|1x1Cx|1x2 Dx|2x3答案A解析借助数轴知ABx|1x33(2015浙江)已知集合Px|x22x0，Qx|1x2，则(RP)Q等于()A0,1) B(0,2C(1,2) D1,2答案C解析Px|x2或x0，RPx|0x2，(RP)Qx|1x2，故选C.4(2015陕西)设集合Mx|x2x，Nx|lg x0，则MN等于 ()A0,1 B(0,1C0,1) D(，1答案A解析由题意得M0,1，N(0,1，故MN0,1，
4、故选A.5已知集合A(x，y)| x，yR，且x2y21，B(x，y)|x，yR，且yx，则AB的元素个数为_答案2解析集合A表示圆心在原点的单位圆，集合B表示直线yx，易知直线yx和圆x2y21相交，且有2个交点，故AB中有2个元素题型一集合的含义例1(1)设集合A1,2,4，集合Bx|xab，aA，bA，则集合B中的元素个数为()A4 B5 C6 D7(2)已知集合Am2,2m2m，若3A，则m的值为_答案(1)C(2)解析(1)aA，bA，xab，x2,3,4,5,6,8，B中有6个元素，故选C.(2)由题意得m23或2m2m3，则m1或m，当m1时， m23且2m2m3，根据集合中元素
5、的互异性可知不满足题意；当m时，m2，而2m2m3，故m.思维升华(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型集合；(2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意分类讨论的思想方法常用于解决集合问题(1)设集合A1,2,3，B4,5，Mx|xab，aA，bB，则M中的元素个数为()A3 B4 C5 D6(2)设a，bR，集合1，ab，a，则ba_.答案(1)B(2)2解析(1)因为集合M中的元素xab，aA，bB，所以当b4时，a1,2,3，此时x5,6,7.当b5时，a1,2,3，此时x6,7,8.所以根据
6、集合元素的互异性可知，x5,6,7,8.即M5,6,7,8，共有4个元素(2)因为1，ab，a，a0，所以ab0，得1，所以a1，b1，所以ba2.题型二集合间的基本关系例2(1)已知集合Ax|x23x20，xR，Bx|0x5，xN，则满足条件ACB的集合C的个数为()A1 B2 C3 D4(2)已知集合Ax|x22 017x2 0160，Bx|xa，若AB，则实数a的取值范围是_答案(1)D(2)2 016，)解析(1)由x23x20得x1或x2，A1,2由题意知B1,2,3,4满足ACB的集合C可以是1,2，1,2,3，1,2,4，1,2,3,4共4个(2)由x22 017x2 0160，
7、解得1x2 016，故Ax|1x2 016，又Bx|xa，AB如图所示，得a2 016.思维升华(1)空集是任何集合的子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；(2)已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题(1)已知集合Ax|yln(x3)，Bx|x2，则下列结论正确的是()AAB BABCAB DBA(2)已知集合Ax|log2x2，Bx|x3，Bx|x2，结合数轴可得：BA.(2)由log2x2，得0x4，即Ax|0x4，而Bx|x4.题型三集合的基本运算命题点1集合的运
8、算例3(1)设全集为UR，集合Ax|x|2，Bx|0，则(UA)B等于()A2,1 B(2，)C(1,2 D(，2)(2)设集合UR，Ax|2x(x2)1，Bx|yln(1x)，则图中阴影部分表示的集合为()Ax|x1 Bx|1x2Cx|01，则(UA)Bx|x2x|x1x|x2，选B.(2)易知Ax|2x(x2)1x|x(x2)0x|0x0x|x1，则UBx|x1，阴影部分表示的集合为A(UB)x|1x2命题点2利用集合运算求参数例4(1)已知集合A1,3，B1，m，ABA，则m等于()A0或 B0或3C1或 D1或3(2)集合Mx|1x2，Ny|ya，若MN，则实数a的取值范围一定是()A
9、1a1答案(1)B(2)D解析(1)由ABA得BA，有mA，所以有m或m3，即m3或m1或m0，又由集合中元素的互异性知m1，故选B.(2)Mx|1x2，Ny|y1即可思维升华(1)一般来讲，集合中的元素若是离散的，则用Venn图表示；集合中的元素若是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况(2)运算过程中要注意集合间的特殊关系的使用，灵活使用这些关系，会使运算简化(1)(2015天津)已知全集U1,2,3,4,5,6,7,8，集合A2,3,5,6，集合B1,3,4,6,7，则集合A(UB)等于()A2,5 B3,6 C2,5,6 D2,3,5,6,8(2)已知集合Ax|x2或x1，Bx
10、|axb，若ABR，ABx|22或x1，ABR，ABx|2x4，可得Bx|1x4，则a1，b4，故4.题型四集合的新定义问题例5若集合A具有以下性质：()0A,1A；()若xA，yA，则xyA，且x0时，A.则称集合A是“好集”下列命题正确的个数是()(1)集合B1,0,1是“好集”；(2)有理数集Q是“好集”；(3)设集合A是“好集”，若xA，yA，则xyA.A0 B1 C2 D3答案C解析(1)集合B不是“好集”，假设集合B是“好集”，因为1B,1B，所以112B，这与2B矛盾(2)有理数集Q是“好集”，因为0Q,1Q，对任意的xQ，yQ，有xyQ，且x0时，Q，所以有理数集Q是“好集”(
11、3)因为集合A是“好集”，所以0A，若xA，yA，则0yA，即yA，所以x(y)A，即xyA.思维升华解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点：(1)紧扣新定义首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；(2)用好集合的性质解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的运算与性质(2015湖北)已知集合A(x，y)|x2y21，x，yZ，B(x，y)|x|2，|y|2，x，yZ，定义集合AB(x1x2，y1y2)|(x1，y1)A，(x2，y2)B，则AB中元素的个数为()A77 B4
12、9 C45 D30答案C解析如图，集合A表示如图所示的所有圆点“”，集合B表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”，集合AB显然是集合(x，y)|x|3，|y|3，x，yZ中除去四个点(3，3)，(3,3)，(3，3)，(3,3)之外的所有整点(即横坐标与纵坐标都为整数的点)，即集合AB表示如图所示的所有圆点“”所有圆点“”所有圆点“”，共45个故AB中元素的个数为45.故选C.1遗忘空集致误典例设集合A0，4，Bx|x22(a1)xa210，xR若BA，则实数a的取值范围是_易错分析集合B为方程x22(a1)xa210的实数根所构成的集合，由BA，可知集合B中的元素都在集合A中，在解题中容易忽
13、视方程无解，即B的情况，导致漏解解析因为A0，4，所以BA分以下三种情况：当BA时，B0，4，由此知0和4是方程x22(a1)xa210的两个根，由根与系数的关系，得解得a1；当B且BA时，B0或B4，并且4(a1)24(a21)0，解得a1，此时B0满足题意；当B时，4(a1)24(a21)0，解得a1.综上所述，所求实数a的取值范围是a1或a1.答案(，11温馨提醒(1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征(2)已知集合B，若已知AB或AB，则考生很容易忽视A而造成漏解在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论方法与技巧1集合中的
14、元素的三个特征，特别是无序性和互异性在解题时经常用到解题后要进行检验，要重视符号语言与文字语言之间的相互转化2对连续数集间的运算，借助数轴的直观性，进行合理转化；对已知连续数集间的关系，求其中参数的取值范围时，要注意单独考察等号能否取到3对离散的数集间的运算，或抽象集合间的运算，可借助Venn图这是数形结合思想的又一体现失误与防范1解题中要明确集合中元素的特征，关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集)对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算2空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，时刻关注对空集的讨论，防止漏解3解题时注意区分两大关系：一是元素与集合的从属关系；二是集合与集合的包
15、含关系4Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心A组专项基础训练(时间：30分钟)1下列集合中表示同一集合的是()AM(3,2)，N(2,3)BM2,3，N3,2CM(x，y)|xy1，Ny|xy1DM2,3，N(2,3)答案B解析选项A中的集合M表示由点(3,2)所组成的单点集，集合N表示由点(2,3)所组成的单点集，故集合M与N不是同一个集合选项C中的集合M表示由直线xy1上的所有点组成的集合，集合N表示由直线xy1上的所有点的纵坐标组成的集合，即Ny|xy1R，故集合M与N不是同一个集合选项D中的集合M是数集，而集合
16、N是点集，故集合M与N不是同一个集合对选项B，由集合元素的无序性，可知M，N表示同一个集合2(2015浙江)已知集合Px|x22x3，Qx|2x4，则PQ等于()A3,4) B(2,3 C(1,2) D(1,3答案A解析Px|x3或x1，Qx|2x4PQx|3x4故选A.3(2015课标全国)已知集合Ax|x3n2，nN，B6,8,10,12,14，则集合AB中元素的个数为()A5 B4 C3 D2答案D解析A，5,8,11,14,17，B6,8,10,12,14，集合AB中有两个元素4(2015课标全国)已知集合A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0，则AB等于()A1,0 B0,1
17、C1,0,1 D0,1,2答案A解析由A2，1,0,1,2，Bx|(x1)(x2)0x|2x1，得AB1,0，故选A.5设集合My|y2sin x，5x5，Nx|ylog2(x1)，则MN等于()Ax|1x5 Bx|1x0Cx|2x0 Dx|11，MNy|2y2x|x1x|1x2故选D.6设集合A3，x2，Bx，y，若AB2，则y的值为()A1 B2C4 D3答案B解析由AB2得x22，x，故y2.7已知集合M0,1,2,3,4，N1,3,5，PMN，则P的子集共有()A2个 B4个 C6个 D8个答案B解析M0,1,2,3,4，N1,3,5，MN1,3MN的子集共有224个8已知集合Ax|1
18、x0，且1A，则实数a的取值范围是_答案(，1解析1x|x22xa0，1x|x22xa0，即12a0，a1.10已知UR，集合Ax|x2x20，Bx|mx10，B(UA)，则m的可能取值组成的集合为_答案0,1，解析A1,2，B时，m0；B1时，m1；B2时，m.11已知集合A(0,1)，(1,1)，(1,2)，B(x，y)|xy10，x，yZ，则AB_.答案(0,1)，(1,2)解析A、B都表示点集，AB即是由A中在直线xy10上的所有点组成的集合，代入验证即可12已知集合AxR|x2|3，集合BxR|(xm)(x2)0，且AB(1，n)，则m_，n_.答案11解析AxR|x2|3xR|5x
19、1，由AB(1，n)可知m1，则Bx|mx0，Bx|xa0，若UBA，则实数a的取值范围是()A(，1) B(，2C1，) D2，)答案D解析Ax|x23x20(，1)(2，)，Bx|xa，则UB(a，)(a，)(，1)(2，)，a2.故选D.15定义在R上的运算：xy.若关于x的不等式x(x3a)0的解集为A，B3,3，若AB，则a的取值范围是_答案4，)解析x(x3a)00.由AB得，当x3,3时，0或x1a0，由于在3,3上，x50，所以x1a0，即ax1在3，3上恒成立，所以a4.16已知全集U2，1,0,1,2，集合A，则UA_.答案0解析因为A，当n0时，x2；n1时不合题意；n2时，x2；n3时，x1；n4时，xZ；n1时，x1；n2时，xZ.故A2,2,1，1，又U2，1,0,1,2，所以UA017已知集合Ax|1x5，Cx|axa3若CAC，则a的取值范围是_答案(，1解析因为CAC，所以CA.当C时，满足CA，此时aa3，得a；当C时，要使CA，则解得0，b1，若集合AB只有一个真子集，则实数a的取值范围是_答案(1，)解析由于集合B中的元素是指数函数ybx的图象向上平移一个单位长度后得到的函数图象上的所有点，要使集合AB只有一个真子集，那么ybx1(b0，b1)与ya的图象只能有一个交点，所以实数a的取值范围是(1，)
