1、第二课时正弦函数、余弦函数的性质过山车是一项富有刺激性的娱乐项目那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转(儿童过山车没有倒转)这几个循环路径问题(1)函数ysin x与ycos x图象也像过山车一样“爬升”“滑落”，这是ysin x，ycos x的什么性质？(2)过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，再爬升，对应函数ysin x，ycos x的什么性质？函数ysin x，ycos x的图象在什么位置
2、取得最大(小)值？知识点正弦函数、余弦函数的性质函数图象与性质ysin xycos x图象定义域值域1，11，1周期性最小正周期为最小正周期为奇偶性函数函数单调性在(kZ)上递增；在(kZ)上递减在2k，2k(kZ)上递增；在2k，2k(kZ)上递减对称轴xk(kZ)xk(kZ)对称中心(k，0)(kZ)(kZ)最值x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin1x2k，kZ时，ymax1；x2k，kZ时，ymin11正、余弦函数的单调性正弦函数、余弦函数有单调区间，但都不是定义域上的单调函数，即正弦函数、余弦函数在整个定义域内不单调2三角函数的最值与单调性之间的联系如图，由三角函数yA
3、sin(x)(A0)的图象可知：图象相邻两个最大值之间的距离为一个周期，两个最大值之间有一个最小值，从左至右第一个最大值点x0与最小值点x0之间构成的区间为减区间，最小值点x0与第二个最大值点x0T所构成的区间为增区间，从而三角函数yAsin(x)(A0)的单调递减区间为(kZ)，单调递增区间为(kZ)3三角函数的最值与周期性之间的联系由三角函数图象可知，相邻两个最大值之间的区间长度为周期T，相邻最大值与最小值之间的区间长度为，相邻的最值点与对称中心之间的区间长度为.1从图象的变化趋势来看，正弦、余弦函数的最大值、最小值点分别处在什么位置？提示：正弦、余弦函数的最大值、最小值点均处于图形拐弯的
4、地方2正弦函数在上函数值的变化有什么特点？推广到整个定义域呢？提示：观察图象可知：当x时，曲线逐渐上升，是增函数，sin x的值由1增大到1；当x时，曲线逐渐下降，是减函数，sin x的值由1减小到1.推广到整个定义域可得当x(kZ)时，正弦函数ysin x是增函数，函数值由1增大到1；当x(kZ)时，正弦函数ysin x是减函数，函数值由1减小到1.3正弦函数和余弦函数的图象都既是中心对称图形又是轴对称图形，它们的对称中心和对称轴有什么关系？提示：正弦函数图象的对称中心、对称轴分别与余弦函数图象的对称轴，对称中心对应1判断正误(正确的画“”，错误的画“”)(1)函数y3sin 2x是奇函数(
5、)(2)函数ycos x是偶函数()(3)正弦函数ysin x在R上是增函数()(4)余弦函数ycos x的一个减区间是0，()(5)x0，2满足sin x2.()(6)当余弦函数ycos x取最大值时，x2k，kZ.()答案：(1)(2)(3)(4)(5)(6)2函数f(x)sin xcos x是_(填“奇”或“偶”)函数答案：奇3函数y32cos x的最小值为_答案：14函数y2sin x取最大值时x的值为_答案：x2k(kZ)5函数ycos x，x0，2的单调递减区间是_；单调递增区间是_答案：，20，三角函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)|sin x|cos x；(2
6、)f(x)cos(2x)x3sin x.解(1)函数的定义域为R，又f(x)|sin(x)|cos(x)|sin x|cos xf(x)，所以f(x)是偶函数(2)函数的定义域为R，关于原点对称，因为f(x)cos xx3sin x，所以f(x)cos(x)(x)3sin(x)cos xx3sin xf(x)，所以f(x)为偶函数判断函数奇偶性的方法跟踪训练判断下列函数的奇偶性：(1)(x)x2cos；(2)(x)sin(cos x)解：(1)函数(x)的定义域为R，f(x)x2cosx2sin x，f(x)(x)2sin(x)x2sin xf(x)，(x)为奇函数(2)函数(x)的定义域为R
7、，(x)sinsin(cos x)(x)，(x)为偶函数.正、余弦函数的单调性例2(链接教科书第190页练习7题)求下列函数的单调区间：(1)ycos；(2)y3sin.解(1)当2k2k，kZ时，函数单调递增，故函数的单调递增区间是(kZ)当2k2k，kZ时，函数单调递减，故函数的单调递减区间是(kZ)(2)y3sin3sin，要求y3sin的增区间即求ysin的减区间，即2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ.所以函数y3sin的递增区间为(kZ)要求y3sin的减区间即求ysin的增区间，即2k2x2k，kZ，所以kxk，kZ.所以函数y3sin的递减区间为(kZ)求解与正弦、余弦函数有关
8、的单调区间的两个技巧(1)数形结合：结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间；(2)整体代换：确定函数yAsin(x)(A0，0)的单调区间的方法，采用“换元法”整体代换，将x看作一个整体，可令“zx”，即通过求yAsin z的单调区间而求出函数的单调区间若0，则可利用诱导公式将x的系数转化为正数跟踪训练1函数y|cos x|的一个单调减区间是()A.B.C. D解析：选C函数y|cos x|图象如图所示：单调减区间有，故选C.2求函数y2sin的单调区间解：y2sin2sin，函数y2sin的单调增区间、单调减区间分别由下面的不等式确定2kx2k(kZ)，2kx2k(kZ)解得2kx2k
9、(kZ)，解得2kx2k(kZ)故函数y2sin的单调增区间、单调减区间分别为(kZ)，(kZ).三角函数值的大小比较例3(链接教科书第189页例5)不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin 250与sin 260；(2)cos与cos.解(1)函数ysin x在上单调递减，且90250260sin 260.(2)coscoscos，coscoscos.函数ycos x在0，上单调递减，且0cos，coscos.比较三角函数值大小的方法(1)比较两个同名三角函数值的大小，先利用诱导公式把两个角化为同一单调区间内的角，再利用函数的单调性比较；(2)比较两个不同名的三角函数值的大小，一般应先
10、化为同名的三角函数，后面步骤同上跟踪训练不通过求值，比较下列各组数的大小：(1)sin与sin；(2)sin 194与cos 160.解：(1)sinsinsin，sinsinsin ，ysin x在上是增函数，sinsin ，即sinsin .(2)sin 194sin(18014)sin 14，cos 160cos(18020)cos 20sin 70.0147090，sin 14sin 70，即sin 194cos 160.正、余弦函数的最值(值域)例4(链接教科书第188页例4)(1)求函数y2cos，x的值域；(2)求函数ycos2x4sin x的最值及取到最大值和最小值时x的取值集合解(1)x，02x，cos”或“”)解析：sinsinsin，sinsinsin.因为ysin x在上单调递增，又0，所以sinsin，所以sinsin .答案：5函数y12sin的单调递增区间是_解析：y12sin12sin.令ux，根据复合函数的单调性知，所给函数的单调递增区间就是ysin u的单调递减区间由2kx2k(kZ)，得2kx2k(kZ)，故函数y12sin的单调递增区间是(kZ)答案：(kZ)
