1、课时跟踪检测(二十五)指数函数及其性质的应用(习题课)A级基础巩固1已知a0.52.1,b20.5,c0.22.1,则a,b,c的大小关系是()AacacCabab解析:选Ba0.52.1(0,1),b20.51,c0.22.1(0,1),由图象(图略)可知,0.52.10.22.1,所以ac,所以bac.2若关于x的不等式a2xa3x(0a1)的解集为A,则函数y3x1,xA的最大值为()A1 B3C6 D9解析:选D0a0,a1)的值域为1,),则f(4)与f(1)的大小关系是()Af(4)f(1) Bf(4)f(1)Cf(4)0,a1)的值域为1,),所以a1.由函数f(x)a|x1|在
2、(1,)上单调递增,且它的图象关于直线x1对称,可得函数f(x)在(,1)上单调递减再由f(1)f(3),可得f(4)f(1)4已知函数f(x)ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),则函数yf(x)的图象大致是()解析:选B函数f(x)ax(a0且a1)在(0,2)内的值域是(1,a2),可知a1,即f(x)是增函数,再结合指数函数的图象可知选项B正确5(多选)若f(x)3x1,则()Af(x)在1,1上单调递增By3x1与y1的图象关于y轴对称Cf(x)的图象过点(0,1)Df(x)的值域为1,)解析:选ABf(x)3x1在R上单调递增,则A正确;y3x1与y3x1的图象关于
3、y轴对称,则B正确;由f(0)2,得f(x)的图象过点(0,2),则C错误;由3x0,可得f(x)1,则D错误故选A、B.6已知函数f(x)为奇函数,则n的值为_解析:由f(0)0,解得n2,当n2时,f(x),易证其是奇函数答案:27(2021黑龙江大庆实验中学高一月考)已知函数f(x)bax(其中a,b为常数,a0,且a1)的图象经过A(1,6),B(2,18)两点若不等式m0在x(,1上恒成立,则实数m的最大值为_解析:由已知可得解得则不等式m0在x(,1上恒成立,设g(x)m,显然函数g(x)m在(,1上单调递减,g(x)g(1)mm,故m0,即m,实数m的最大值为.答案:8已知函数y
4、x24x1中的x满足2x,则该函数的值域为_解析:由2x,得2x52x,x5x,解得x.又yx24x1(x2)23在上单调递增,yx24x1(x2)233.答案:9若函数ya为奇函数(1)确定a的值;(2)求函数的定义域解:(1)由奇函数的定义,可得f(x)f(x)0,即aa0,2a0.a.(2)y,2x10,即x0,函数y的定义域为x|x010已知函数f(x).(1)若a1,求函数f(x)的单调增区间;(2)如果函数f(x)有最大值3,求实数a的值解:(1)当a1时,f(x),令g(x)x24x3(x2)27,由于g(x)在(2,)上递减,y在R上是减函数,所以f(x)在(2,)上是增函数,
5、即f(x)的单调增区间是(2,)(2)令h(x)ax24x3,f(x),由于f(x)有最大值3,所以h(x)应有最小值1.因此必有解得a1,即当f(x)有最大值3时,实数a的值为1.B级综合运用11若a,b,c,则()Acab BcbaCacb Dba,即bc.幂函数yx在区间(0,)上为增函数,所以,即ac.因此ac0,则“x0”是“2|x|x22|y|y2”的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析:选B由不等式2|x|x22|y|y2,可以构造一个函数f(t)2|t|t2,可以判断该函数为偶函数且t0时,函数单调递增当x0时,xy0,这时y可以为负数、
6、正数、零,因此x,y的大小关系不确定,因此由“x0”不一定能推出“2|x|x22|y|y2”当2|x|x22|y|y2成立时,利用偶函数的性质,可以得到|x|y|x2y2(xy)(xy)0,而xy0,因此有xy0,所以xy,若x0,则有y0,所以xy0矛盾,故x0.故“x0”是“2|x|x22|y|y2”的必要不充分条件故选B.13函数y2在区间(,3)上单调递增,则实数a的取值范围是_若在区间1,1上具有严格的单调性,则实数a的取值范围是_解析:y2在(,3)上递增,即二次函数yx2ax1在(,3)上递增,因此需要对称轴x3,解得a6.若函数在1,1上具有严格的单调性,则1,或1,解得a2,
7、或a2.答案:6,)(,22,)14已知函数f(x)2x.(1)求f(0)222的值;(2)若函数h(x)f(x)g(x),且h(x),g(x)满足下列条件:h(x)为偶函数;h(x)2且xR使得h(x)2;g(x)0且g(x)恒过(0,1)点写出一个符合题意的函数g(x),并说明理由解:(1)由题意知:f(0)222202222121200.(2)满足题意的函数g(x)2x.理由如下:因为h(x)2x2x,所以h(x)2x2(x)2x2xh(x),所以h(x)2x2x为偶函数h(x)2x2x2222,当且仅当2x2x,即x0时等号成立,g(x)2x0,g(x)恒过(0,1)点C级拓展探究15
8、定义:若对定义域内任意的x,都有f(xa)f(x)(a为正常数),则称函数f(x)为“a距”增函数(1)若f(x)2xx,x(0,),试判断f(x)是否为“1距”增函数,并说明理由;(2)若f(x)x3x4,xR是“a距”增函数,求实数a的取值范围解:(1)对任意的x0,f(x1)f(x)2x1(x1)(2xx)2x1,因为x0,所以2x1,所以2x10,即f(x1)f(x)0,即f(x)是“1距”增函数(2)f(xa)f(x)(xa)3(xa)4(x3x4)3ax23a2xa3a.因为f(x)是“a距”增函数,所以3ax23a2xa3a0恒成立,因为a0,所以3x23axa20在xR上恒成立,所以9a2121,因为a0,所以a1.故实数a的取值范围是(1,)