1、综合检测(一)第1章立体几何初步(时间120分钟，满分160分)一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分；请把答案填在题中横线上)1(2013桂林检测)下列叙述中错误的是_(填序号)若P，P，且l，则Pl.三个点A，B，C确定一个平面已知a，b，c是三条直线，若ab，且bc，则ac.若Al，Bl，且A，B，则l.【解析】由公理2可知正确，由公理1知正确，由公理4可知正确；点A，B，C的位置不确定，故其能否确定一个平面也不确定，故错误【答案】2如图1所示的直观图，其平面图形的面积为_图1【解析】从斜二测图可知原图形是直角边长分别为4和3的三角形，所以S6.【答案】63(2013无锡检测
2、)若长方体三个面的面积分别是，则长方体的体积等于_【解析】设长方体的长、宽、高分别为a，b，c，由题意可知abc.即长方体的体积为.【答案】4(2013南安检测)正方体的一条对角线与正方体的棱可组成n对异面直线，则n等于_【解析】如图所示，BD1与A1B1、B1C1、AD、AA1、CD、CC1是异面直线【答案】65(2013深圳检测)给定下列四个命题，其中是真命题的有_(填序号)若一条直线分别平行于两个平面，那么这两个平面相互平行；若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；垂直于同一直线的两条直线相互平行；若两平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直【
3、解析】不正确如图所示，m，m，但l.不正确，如图所示，nl，pl，但n与p不平行均正确【答案】6(2013怀化检测)若轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4，那么圆柱的体积等于_【解析】设圆柱的底面半径为r，则由题意可知2r2r4，即r1，故圆柱的体积V2.【答案】27(2013揭阳检测)已知直线a、b、c及平面，则使bc成立的条件是_(填序号)ba且cab且cb、c和所成的角相等b且c【解析】不成立ba且ca，则b与c可能平行、相交或异面成立由线面垂直的性质可知，b，c，则bc.不成立b、c与所成的角相等，则bc或b与c相交或b与c异面不成立b且c，则b与c可能相交、平行或异面【答案】8(2013
4、苏州检测)已知正三棱锥的底面边长为2，侧棱长为，则它的体积为_ 【解析】如图所示，PA，ABBCAC2，过P作PO平面ABC，连结AO，易知AOAB.又PA，故在RtPAO中PA，即PO2，PO2.VPABCSABCPO2.【答案】9(2013南通检测)在长方体ABCDA1B1C1D1中，ABBC2，AA11，则AC1与平面A1B1C1D1所成角的正弦值为_【解析】AA1平面A1B1C1D1，连结A1C1，则AC1A1即为AC1与平面A1B1C1D1所成的角在RtAA1C1中，AA11.又ABBC2，A1C12.AC13.sinAC1A1.【答案】10(2013辽宁实验中学检测)侧棱长为a的正
5、三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，且四个顶点都在一个球面上，则球的表面积为_【解析】正三棱锥PABC的侧面都是直角三角形，故可采用补体的思想把其还原成一个正方体，进而该问题转化为正方体外接球问题球的半径R满足：2Ra，即Ra.球的表面积为4R23a2.【答案】3a2图211(2013宿迁检测)如图2，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AB和AA1的中点，则下列命题：E、C、D1、F四点共面；CE、D1F、DA三线共点；EF和BD1所成的角为45；A1B平面CD1E；B1D平面CD1E.其中，正确的有_(填序号)【解析】E、F分别是AB和AA1的中点，分别延长D1F与CE交DA于
6、点P，由公理3的推论2可知正确，同理可说明也正确EFA1B，故EF与BD1所成的角等于A1B与BD1所成的角，易知该角的正弦值为，故错误；由A1BCD1且CD1平面CD1E，A1B平面CD1E可知A1B平面CD1E，故正确；不正确因为B1DAC，但B1D不垂直CE.综上可知正确【答案】12设有直线m、n和平面、，下列四个说法正确的是_若m，n，则mn；若m，n，m，n，则；若，m，则m；若，m，m，则m.【解析】中m、n可能平行、相交或异面；中若mn，则不一定得到；中只是m，若m与、的交线不垂直，则不能得到m.【答案】13已知一个凸多面体共有9个面，所有棱长均为1，其平面展开图如图3所示，则该
7、凸多面体的体积V_.图3【解析】由题意知，凸多面体是由一个棱长为1的正四棱锥和一个棱长为1的正方体拼接而成，正四棱锥的高为 ，该凸多面体的体积V111121.【答案】114(2013福建师大检测)将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角ABDC，有如下四个结论：ACBD；ACD是等边三角形；二面角ABCD的度数为60；AB与CD所成的角是60.其中正确结论的序号是_【解析】如图(1)(2)所示，取BD的中点O，连结AO、OC，易知AOBD且COBD，故BD平面AOC，BDAC，故正确设正方形ABCD的边长为1，易知AOOC，又由题意可知AOC90，故AC1.所以ACADDC，所以ACD是等边三
8、角形，故正确取BC的中点E，连结OE，AE，则AEO即为二面角ABCD的平面角tanAEO.故不正确对于如图所示，取AC的中点F，连结OF、EF、OE，则OECD，EFAB，又在AOC中OF，故EFOEOF，AB与CD所成的角为60.综上可知正确【答案】二、解答题(本大题共6小题，共90分，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)图415(本小题满分14分)(2013南京检测)如图4，正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F为棱AD、AB的中点(1)求证：EF平面CB1D1(2)求证：D1E、B1F、AA1三条直线交于一点【证明】连结BD，(1)E、F为棱AD、AB的中点EFB1D1EF面C
9、B1D1(2)E、F为棱AD、AB的中点EF綊B1D1EFB1D1是梯形D1E、B1F交于一点，记为O，OAA1C1C同理OAA1B1BOAA1D1E、B1F、AA1三条直线交于一点图516(本小题满分14分)(2013苏州检测)如图5，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M、N分别为棱AB、BC的中点(1)试判断截面MNC1A1的形状，并说明理由；(2)证明：平面MNB1平面BDD1B1.【解】(1)截面MNC1A1是等腰梯形，连结AC，因为M、N分别为棱AB、BC的中点，所以MNAC，MNAC，又ACA1C1，MNA1C1，且MNA1C1.MNC1A1是梯形，易证RtAMA1RtCNC1，
10、A1MC1N.MNC1A1是等腰梯形(2)正方体ABCDA1B1C1D1中，ACBD，BB1平面ABCD，MN平面ABCD.BB1MN又MNAC，MNBD，BDBB1B，MN平面BDD1B1，MN平面B1MN，平面MNB1平面BDD1B1.图617(本小题满分14分)(2013潍坊检测)如图6，圆锥的轴截面SAB为等腰直角三角形，Q为底面圆周上一点(1)若QB的中点为C，求证：平面SOC平面SBQ；(2)若AOQ120，QB，求圆锥的表面积【解】(1)SQSB，OQOB，C为QB的中点，QBSC，QBOC，SCOCC，QB平面SOC，又QB平面SBQ，平面SOC平面SBQ.(2)AOQ120，
11、QB，BOQ60，即OBQ为等边三角形，OB，SAB为等腰直角三角形，SB，S侧3，S表S侧S底33(33).图718(本小题满分16分)(2013泰州检测)如图7，四面体ABCD中，O、E分别为BD、BC的中点，且CACBCDBD2，ABAD.(1)求证：AO平面BCD；(2)求异面直线AB与CD所成角的余弦值【解】(1)证明：ABD中ABAD，O是BD中点，BD2，AOBD且AO1.BCD中，连结OC，BCDC2，COBD且CO，AOC中AO1，CO，AC2.AO2CO2AC2故AOCOAO平面BCD(2)取AC中点F，连结OF、OE、EF，ABC中E、F分别为BC、AC中点，EFAB，且
12、EFABBCD中O、E分别为BD、BC中点，OECD且OECD1.异面直线AB与CD所成角等于OEF(或其补角)又OF是RtAOC斜边上的中线OFAC1.等腰OEF中cosOEF.图819(本小题满分16分)(2013龙岩检测)如图8，圆柱OO1内有一个三棱柱ABCA1B1C1，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且AB是圆O直径，AA1ACCB2.(1)证明：平面A1ACC1平面B1BCC1；(2)设E，F分别为AC，BC上的动点，且CEBFx，问当x为何值时，三棱锥CEC1F的体积最大，最大值为多少？【解】(1)因为BB1平面ABC，AC平面ABC，所以BB1AC，因为AB是圆O直径，所以
13、BCAC，又BCBB1B，所以AC平面B1BCC1，而AC平面A1ACC1，所以平面A1ACC1平面B1BCC1.(2)CEBFx，CF2x.VCEC1FVC1ECFSECFCC12x(2x)(2xx2)(x1)21所以x1时，三棱锥C1ECF的体积最大，最大值为.图920(本小题满分16分)如图9所示，在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中，P是侧棱CC1上的一点，CPm.(1)试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3；(2)在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面AD1P上的射影垂直于AP？并证明你的结论【解】(1)如图所示，连结AC，设ACBDO，AP与平面BDD1B1交于点G，连结OG.PC平面BDD1B1，平面BDD1B1平面APCOG，OGPC，OGPC.又AODB，AOBB1，BB1DBB，AO平面BDD1B1，AGO即为AP与平面BDD1B1所成的角在RtAOG中，tanAGO3，即m.故当m时，直线AP与平面BDD1B1所成的角的正切值为3.(2)满足条件的点Q存在依题意知，要在A1C1上找一点Q，使得D1QAP.可推测A1C1的中点O1即为所求的Q点D1O1A1C1，D1O1AA1，A1C1AA1A1，D1O1平面ACC1A1.又AP平面ACC1A1，D1O1AP.从而D1O1在平面AD1P上的射影与AP垂直
