1、第2讲排列与组合最新考纲1理解排列、组合的概念2能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式3能解决简单的实际问题.知 识 梳 理1排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(mn)个不同元素按照一定的顺序排成一列组合合成一组2.排列数与组合数(1)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数(2)从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫从n个不同元素中取出m个元素的组合数3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C(n，mN*，且mn)特别地C1.性质(1)0！1；An！.(2)CC
2、；CCC.辨 析 感 悟1排列与组合的基本概念、性质(1)所有元素完全相同的两个排列为相同排列()(2)两个组合相同的充要条件是其中的元素完全相同()(3)若组合式CC，则xm成立()2排列与组合的应用(4)5个人站成一排，其中甲、乙两人不相邻的排法有AAA72种()(5)(教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有343A168(个)()(6)(2013北京卷改编)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是4A96种()感悟提升1一个区别排列与组合最根本的区别在于“有序”和“无
3、序”取出元素后交换顺序，如果与顺序有关是排列，如果与顺序无关即是组合，如(1)忽视了元素的顺序2求解排列、组合问题的思路：“排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类相加，分步相乘”学生用书第174页考点一排列应用题【例1】 4个男同学，3个女同学站成一排(1)3个女同学必须排在一起，有多少种不同的排法？(2)任何两个女同学彼此不相邻，有多少种不同的排法？(3)甲、乙两人相邻，但都不与丙相邻，有多少种不同的排法？解(1)3个女同学是特殊元素，共有A种排法；由于3个女同学必须排在一起，视排好的女同学为一整体，再与4个男同学排队，应有A种排法由分步乘法计数原理，有AA720种不同排法(2)先将男
4、生排好，共有A种排法，再在这4个男生的中间及两头的5个空档中插入3个女生有A种方法故符合条件的排法共有AA1 440种不同排法(3)先排甲、乙和丙3人以外的其他4人，有A种排法；由于甲、乙要相邻，故先把甲、乙排好，有A种排法；最后把甲、乙排好的这个整体与丙分别插入原先排好的4人的空档及两边有A种排法总共有AAA960种不同排法规律方法 (1)对于有限制条件的排列问题，分析问题时有位置分析法、元素分析法，在实际进行排列时一般采用特殊元素优先原则，即先安排有限制条件的元素或有限制条件的位置，对于分类过多的问题可以采用间接法(2)对相邻问题采用捆绑法、不相邻问题采用插空法、定序问题采用倍缩法是解决有
5、限制条件的排列问题的常用方法【训练1】 (1)(2014济南质检)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为()A33! B3(3！)3C(3！)4 D9!(2)(2013四川卷)从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lg alg b的不同值的个数是()A9 B10 C18 D20解析(1)把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种(2)由于lg alg blg(a0，b0)，lg有多少个不同的值，只需看不同值的个数从1,3,5,7,9中任取两个作为有A种，又与相同，与相同，lg alg b的不同值的个数有A218
6、.答案(1)C(2)C考点二组合应用题【例2】 某课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各指定一名队长现从中选5人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？(1)只有一名女生；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)至多有两名女生当选；(5)既要有队长，又要有女生当选解(1)一名女生，四名男生故共有CC350(种)(2)将两队长作为一类，其他11人作为一类，故共有CC165(种)(3)至少有一名队长含有两类：只有一名队长和两名队长故共有：CCCC825(种)或采用排除法：CC825(种)(4)至多有两名女生含有三类：有两名女生、只有一名女生、没有女生故选法为：CCC
7、CC966(种)(5)分两类：第一类女队长当选：C；第二类女队长不当选：CCCCCCC.故选法共有：CCCCCCCC790(种)规律方法 组合问题常有以下两类题型变化(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：若直接法分类复杂时，逆向思维，间接求解【训练2】 若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种解析满足题设的取法可分为三类：一是取四个奇数，在5个奇数1,3,5,7,9中
8、，任意取4个，有C5(种)；二是两个奇数和两个偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有CC60(种)；三是取4个偶数的取法有1种所以满足条件的取法共有560166(种)答案D学生用书第175页考点三排列、组合的综合应用【例3】 (1)(2013浙江卷)将A，B，C，D，E，F六个字母排成一排，且A，B均在C的同侧，则不同的排法共有_种(用数字作答)(2)某校高二年级共有6个班级，现从外地转入4名学生，要安排到该年级的两个班级且每班安排2名，则不同的安排方案种数为()AAC B.AC CAA D2A审题路线(1)选出3个位置排特殊元素A、B、C，并把元素A、B作为元素
9、集团进行排列；(2)可将4名同学分成两组(每组2人)，再分配到两个班级解析(1)先将A，B视为元素集团，与C先排在6个位置的三个位置上，有CAC种排法；第二步，排其余的3个元素有A种方法由分步乘法计数原理，共有CACA480种排法(2)法一将4人平均分成两组有C种方法，将此两组分配到6个班级中的2个班有A种所以不同的安排方法有CA种法二先从6个班级中选2个班级有C种不同方法，然后安排学生有CC种，故有CCAC种答案(1)480(2)B规律方法 (1)解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即
10、先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)(2)不同元素的分配问题，往往是先分组再分配在分组时，通常有三种类型：不均匀分组；均匀分组；部分均匀分组，注意各种分组类型中，不同分组方法的求法【训练3】 从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18 C12 D6解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选数字0时，再从1,3,5中取出2个数字排在个位与百位排成的三位数的奇数有CA6个当取出数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列排成的三位数的奇数有CAA12个由分类加法计
11、数原理，共有18个三位数的奇数答案B1熟练掌握：(1)排列数公式A；(2)组合数公式C，这是正确计算的关键2解受条件限制的排列、组合题，通常有直接法(合理分类)和间接法(排除法)分类时标准应统一，避免出现重复或遗漏解组合应用题时，应注意“至少”、“至多”、“恰好”等词的含义3排列组合的综合应用问题，一般按先选再排，先分组再分配的处理原则对于分配问题，解题的关键是要搞清楚事件是否与顺序有关，对于平均分组问题更要注意顺序，避免计数的重复或遗漏、易错辨析9实际意义理解不清导致计数错误【典例】 (2012山东卷改编)现有16张不同的卡片，其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张从中任取3张，要求这3张卡片
12、不能是同一种颜色，且红色卡片至多1张，不同取法的种数为()A232 B256 C472 D484错解第一类，含有一张红色卡片，取出红色卡片有C种方法，再从黄、蓝、绿三色中选出两色并各取一张卡片有CCC种方法因此满足条件的取法有CCCC192种第二类，不含有红色卡片，从其余三色卡片中各取一张有CCC64种取法由分类加法计数原理，不同的取法共有19264256种答案B错因错解的原因是没有理解“3张卡片不能是同一种颜色”的含义，误认为“取出的三种颜色不同”正解第一类，含有1张红色卡片，不同的取法CC264(种)第二类，不含有红色卡片，不同的取法C3C22012208(种)由分类加法计数原理知，不同的
13、取法共有264208472(种)答案C防范措施(1)准确理解题意，抓住关键字词的含义，“3张卡片不能是同一种颜色”是指“两种颜色或三种颜色”都满足要求(2)选择恰当分类标准，避免重复遗漏，出现“至少、至多”型问题，注意间接法的运用【自主体验】1(2013大纲全国卷改编)有5人排成一行参观英模事迹展览，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有_种(用数字作答)解析先把除甲、乙外的3人全排列，有A种，再把甲、乙两人插入这3人形成的四个空位中的两个，共A种不同的方法所有不同的排法共有AA72(种)答案722如果把个位数是1，且恰有3个数字相同的四位数叫做“好数”，那么在由1,2,3,4四个数字组成的有重复
14、数字的四位数中，“好数”共有_个解析第一类：恰有三个相同的数字为1，选2,3,4中的一个数字排在十、百、千位的一个位置上，有CA种方法，四位“好数”有9个第二类：相同的三个数字为2,3,4中的一个，这样的四位“好数”为2221,3331,4441共3个由分类加法计数原理，共有“好数”9312个答案12对应学生用书P359基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1一个平面内的8个点，若只有4个点共圆，其余任何4点不共圆，那么这8个点最多确定的圆的个数为()ACC BCCC2CCC DCC1解析从8个点中任选3个点有选法C种，因为有4点共圆所以减去C种再加1种，即有圆CC1个答案D2若一个三位
15、数的十位数字比个位数字和百位数字都大，称这个数为“伞数”现从1,2,3,4,5,6这六个数字中取3个数，组成无重复数字的三位数，其中“伞数”有()A120个 B80个 C40个 D20个解析分类讨论：若十位数为6时，有A20个；若十位数为5时，有A12个；若十位数为4时，有A6个；若十位数为3时，有A2个，因此一共有40个答案C3将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班，每个班至少分到一名学生，且甲、乙两名学生不能分到同一个班，则不同分法的种数为()A18 B24 C30 D36解析四名学生中有两名学生恰好分在一个班，共有CA种分法，而甲、乙被分在同一个班的有A种，所以不同的分法种数是CAA3
16、0.答案C4某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有()A16种 B36种 C42种 D60种解析若3个不同的项目投资到4个城市中的3个，每个城市一项，共A种方法；若3个不同的项目投资到4个城市中的2个，一个城市一项、一个城市两项共CA种方法由分类加法计数原理知共ACA60(种)方法答案D5一名老师和两名男生两名女生站成一排照相，要求两名女生必须站在一起且老师不站在两端，则不同站法的种数为()A8 B12 C16 D24解析两名女生站一起有A种站法，她们与两个男生站一起共有AA种站法，老师站在他们的中间则共有AAC24(种)站法
17、，故应选D.答案D二、填空题6(2013大纲全国卷)从进入决赛的6名选手中决出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有_种(用数字作答)解析依题意，所有的决赛结果有CCC6160(种)答案607(2014杭州调研)四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案有_种解析分两步：先将四名优等生分成2,1,1三组，共有C种；而后，对三组学生全排三所学校，即进行全排列，有A种依分步乘法计数原理，共有NCA36(种)答案368在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为偶数的三位数共有_个解析在1,2,3,4,5这五个数字中有3个奇数，2
18、个偶数，要求三位数各位数字之和为偶数，则两个奇数一个偶数，符合条件的三位数共有CCA36(个)答案36三、解答题9四张卡片上分别标有数字“2”“0”“0”“9”，其中“9”可当“6”用，则由这四张卡片可组成不同的四位数有多少个？解先在后三位中选两个位置填写数字“0”有C种方法，再排另两张卡片有A种方法又数字“9”可作“6”用，四张卡片组成不同的四位数有2CA12个10四个不同的小球放入编号为1,2,3,4的四个盒子中(1)若每个盒子放一球，则有多少种不同的放法？(2)恰有一个空盒的放法共有多少种？解(1)每个盒子放一球，共有A24种不同的放法；(2)法一先选后排，分三步完成第一步：四个盒子中选
19、一只为空盒，有4种选法；第二步：选两球为一个元素，有C种选法；第三步：三个元素放入三个盒中，有A种放法故共有4CA144种放法法二先分组后排列，看作分配问题第一步：在四个盒子中选三个，有C种选法；第二步：将四个球分成2,1,1三组，有C(即)种分法；第三步：将三组分到选定的三个盒子中，有A种分法故共有CCA144种分法能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一或最后一步，程序B和C在实施时必须相邻，问实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种 C96种 D144种解析程序A有A2种结果，将程序B和C看作元素集团与除
20、A外的元素排列有AA48种，由分步加法计数原理，实验编排共有24896种方法答案C2(2014济南调研)已知集合A5，B1,2，C1,3,4，从这三个集合中各取一个元素构成空间直角坐标系中点的坐标，则确定的不同点的个数为()A33 B34 C35 D36解析(1)若从集合B中取元素2时，再从C中任取一个元素，则确定的不同点的个数为CA.(2)当从集合B中取元素1，且从C中取元素1，则确定的不同点有C1C.(3)当从B中取元素1，且从C中取出元素3或4，则确定的不同点有CA个由分类加法计数原理，共确定不同的点有CACCA33(个)答案A二、填空题3(2013重庆卷)从3名骨科、4名脑外科和5名内
21、科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是_(用数字作答)解析按选派的骨科医生的人数分类：选1名骨科医生，则有C(CCCCCC)360(种)，选2名骨科医生，则有C(CCCC)210(种)，选3名骨科医生，则有CCC20(种)，骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是36021020590.答案590三、解答题4直线x1，yx，将圆x2y24分成A，B，C，D四个区域，如图用五种不同的颜色给他们涂色，要求共边的两区域颜色互异，每个区域只涂一种颜色，共有多少种不同的涂色方法？解法一第1步，涂A区域有C种方法；第2步，涂B区域有C种方法；第3步，涂C区域和D区域：若C区域涂A区域已填过颜色，则D区域有4种涂法；若C区域涂A、B剩余3种颜色之一，即有C种涂法，则D区域有C种涂法故共有CC(4CC)260种不同的涂色方法法二共可分为三类：第1类，用五色中两种色，共有CA种涂法；第2类，用五色中三种色，共有CCCA种涂法；第3类，用五色中四种色，共有CA种涂法由分类加法计数原理，共有CACCCACA260(种)不同的涂色方法.学生用书第176页
