1、31.2椭圆的几何性质第一课时椭圆的简单几何性质新课程标准解读核心素养1.掌握椭圆的简单几何性质直观想象2.通过椭圆与方程的学习，了解椭圆的简单应用，进一步体会数形结合的思想数学运算“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现问题你知道椭圆有什么样的性质吗？知识点椭圆的简单几何性质焦点的位置焦点在x轴上焦点在y轴上图形标准方程1(ab0)1(ab0)范围axa且bybbxb且aya顶点A1(a，0)，A2(a，0),_ B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a),_ B1(b，0)，B2(b，0)轴长长轴长，短轴长焦点F1(c，0)，F2(c，0)F1(0，c
2、)，F2(0，c)焦距|F1F2|对称性对称轴x轴和y轴，对称中心(0，0)离心率e(0eb0)的离心率为，则()A. B.C. D.解析：选De，8a29b2，.故选D.3已知椭圆1的长轴在y轴上，且焦距为4，则m_解析：由椭圆1的长轴在y轴上，焦距为4，可得2，解得m9.答案：9由标准方程研究几何性质例1(链接教科书第83页例1)求椭圆x29y281的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标解把已知方程化成标准方程为1，于是a9，b3，c6，所以椭圆的长轴长2a18，短轴长2b6，离心率e.两个焦点的坐标分别为F1(6，0)，F2(6，0)，四个顶点的坐标分别为A1(9，0)，A2(9，0)
3、，B1(0，3)，B2(0，3)由椭圆方程研究几何性质的步骤(1)将椭圆方程化为标准形式；(2)确定焦点位置；(3)求出a，b，c；(4)写出椭圆的几何性质注意长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍 跟踪训练已知椭圆C1：1，设椭圆C2与椭圆C1的长轴长、短轴长分别相等，且椭圆C2的焦点在y轴上(1)求椭圆C1的长半轴长、短半轴长、焦点坐标及离心率；(2)写出椭圆C2的方程，并研究其性质解：(1)由椭圆C1：1可得其长半轴长为10，短半轴长为8，焦点坐标(6，0)，(6，0)，离心率e.(2)椭圆C2：1，性质：范围：8x8，10y10；对称性：关于x轴、y轴、原点对称；顶
4、点：长轴端点(0，10)，(0，10)，短轴端点(8，0)，(8，0)；焦点：(0，6)，(0，6)；离心率：e.利用几何性质求标准方程例2求适合下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴长是10，离心率是；(2)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6.解(1)设椭圆的方程为1(ab0)或1(ab0)由已知得2a10，a5.又e，c4.b2a2c225169.椭圆的标准方程为1或1.(2)依题意可设椭圆方程为1(ab0)如图所示，A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|c，|A1A2|2b，则cb3，a2b2c218，故所求椭圆的标准方程为1.利用椭
5、圆的几何性质求标准方程的思路利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程时，通常采用待定系数法，其步骤是：(1)确定焦点位置；(2)设出相应椭圆的标准方程(对于焦点位置不确定的椭圆可能有两种标准方程)；(3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数列方程(组)时常用的关系式有b2a2c2，e等 跟踪训练已知椭圆的长轴长是短轴长的3倍，且过点A(3，0)，并且以坐标轴为对称轴，求椭圆的标准方程解：若椭圆的焦点在x轴上，则设椭圆方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为y21.若椭圆的焦点在y轴上，则设椭圆方程为1(ab0)由题意得解得所以椭圆的标准方程为1.综上所述，椭圆的标准方程为
6、y21或1.求椭圆的离心率例3(1)椭圆1(ab0)的一个焦点为F，该椭圆上有一点A，满足OAF是等边三角形(O为坐标原点)，则椭圆的离心率是_；(2)椭圆1(ab0)的两焦点为F1，F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，则椭圆的离心率为_解析(1)如图，设点F(c，0)，由OAF是等边三角形，得A，点A在椭圆上，有1，在椭圆中有a2b2c2，联立，得c2(42)a2，即c(1)a，则其离心率e1.(2)如图，连接F1N，DF1F2为正三角形，N为DF2的中点，F1NF2N，|NF2|OF2|c，|NF1|c，由椭圆的定义可知|NF1|NF2|2a，cc2a，a，e
7、1.答案(1)1(2)1求椭圆离心率及范围的两种方法(1)直接法：若已知a，c可直接利用e求解若已知a，b或b，c可借助于a2b2c2求出c或a，再代入公式e求解；(2)方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2b2c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值或范围 跟踪训练1若椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，线段F1F2被点分成53的两段，则此椭圆的离心率为()A.B.C. D.解析：选D依题意得，c2b，ab，e.故选D.2若一个椭圆长轴的长度与焦距的和等于短轴长的2
8、倍，则该椭圆的离心率是()A. B.C. D.解析：选B由题意可得4b2a2c，两边平方化简得4b2(ac)2，4(a2c2)a22acc2，3a22ac5c20，5e22e30，解得e(负值舍去)1椭圆1的长轴长为()A2 B4C3 D6解析：选D由椭圆方程知焦点在y轴上，故长轴长为2a6.故选D.2.如图，直线l：x2y20过椭圆1(ab0)的左焦点F1和一个顶点B，该椭圆的离心率为()A. B.C. D.解析：选Dx2y20，yx1，从而，即 ，e.3已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1，0)，离心率等于，则C的方程是()A.1 B.1C.1 D.y21解析：选C依题意知，所求椭圆的焦点位于x轴上，且c1，e，即a2，b2a2c23，因此椭圆的方程是1.4若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长的和为18，焦距为6.(1)求这个椭圆的离心率；(2)求这个椭圆的标准方程解：由题意知2a2b18，且2c6.又a2b2c2，所以a5，b4，c3.(1)离心率e.(2)椭圆的标准方程为1或1.
