1、直击高考之解三角形考点剖析解三角形是传统的高中数学内容，也是历届高考数学的必考内容，常考题型有以选择题、填空题形式的小题，也有解答题形式的大题，试题特别注重与三角变换、三角函数的图象与性质的融汇和整合，现举例解析如下：例1、（2010年北京卷）在中，若，则 。分析：直接应用余弦定理建立方程即可获解：解：由余弦定理得，则，即，解之得：或（设去），故。点评：本题考查余弦定理等知识点及方程思想的应用。例2、（2010天津卷）在中，内角的对边分别是，若，则、 、 、 、分析：用正弦定理将化为边的关系，再用余弦定理进行求解：解：由正弦定理可将化为，将其代入可得，即，再由余弦定理得：，将代入并化简可得，则
2、，应选答案。点评：本题重点考查和检测正弦定理和余弦定理等知识点及整体代换的数学思想的应用。例3、（2010全国课标卷）在中，为上的一点，。若的面积为，求的值。分析：可先设，用面积公式建立方程求出，再用余弦定理求出，最后求出的值。解：（1）设，则，因，故，由的面积为可得，则，在由中用余弦定理得：，即，在中用余弦定理得：，即，在中，所以，故求的值为。点评：本题重点考查和检测余弦定理的灵活运用、方程思想及运用知识分析和解决问题的能力。例4、（2010浙江卷）在中，内角所对边分别是，设为的面积，满足。（1）求角的大小；（2）求的最大值。分析：先用余弦定理及三角形面积公式求出角的大小，再用三角变换公式求
3、出的最大值：解：（1）因，故由余弦定理得：，所以将其代入得，即，所以，则；（2）因且由（1）知，故，所以故当时，取最大值。点评：本题将三角变换与解三角形有机的结合在一起，重点考查和检测三角形的面积公式、余弦定理、两角和差的正弦公式及三角函数的最值等知识，综合考查学生的思维能力。考情分析三、正、余弦定理及综合应用例4、（2010安徽卷）已知的面积是30，内角所对边长分别是。（1）求的值；（2）若，求的值。分析：（1）明确数量积公式中的目标，可借助三角形的面积公式求之；（2）用余弦定理建立方程进行求解：解：由三角形面积公式得，即，因，故，将其代入得，所以；（2）由余弦定理得：，又，故。点评：本题将
4、向量与解三角形有机地结合在一起，综合考查三角形的面积公式、向量的数量积公式、余弦定理的重要知识点及综合运用知识进行运算求解的能力，将向量与解三角形知识进行融汇与整合是2011年高考的命题热点。例5、（2009年福建卷）如图，某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段，该曲线段为函数的图像，且图像的最高点为；赛道的后一部分为折线段。为保证参赛运动员的安全，限定。（1）求的值和两点间的距离；（2）试问应如何设计，才能使折线段赛道最长？分析：（1）借助图象科求得的值及间的距离；（2）利用正、余弦定理可建立函数求得其最值及最值取得的条件：解：（1）结合图形可得：，故，所以，当时，
5、故点的坐标为，又，所以；（2）在中，设，则，由正弦定理得：，由此可得：，所以因，故当时，折线段赛道最长,即将设计为时，折线段赛道最长。点评：本题将三角函数的图象和性质、解三角形及实际应用问题有机地结合在一起，综合考查和检测了考生综合运用知识取分析解决问题的能力，考查应用问题建立数学模型分析解决实际问题将是2011年高考命题的热点之一。重难点突破平面向量的重点与难点是向量的表示形式与运算，特别是数量积公式的灵活运用；解三角形内容中的重点与难点是正、余弦定理及灵活应用，这些都高考命题的重点和热点，现举例解析如下：例1、（2009年天津卷）若等边的边长为，平面内一点满足，则 。分析：由于已知条件中没
6、有出现向量，因此给本题的解答带来了困难，所以可用向量的几何运算将变形为使其获解：解：因，故因是等比三角形，故，所以。点评：解答这类问题的思路是想方设法创设条件利用已知条件和公式，形成逐步探究之势，进而使难题不难。例2、（2010年浙江卷）已知直线，椭圆分别为椭圆的左、右焦点。（1）当直线过右焦点时，求直线的方程；（2）设直线与椭圆交于两点，的重心分别为。若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围。分析：（1）易将右焦点代入直线的方程得，求得直线的方程为；（2）将两点坐标设为，用重心坐标公式求出的坐标，再用圆的直径式方程求出以为直径的圆的方程，借助题设“原点在以线段为直径的圆内”及向量的数量积
7、公式建立不等式即可获解：解：设，由和消去并整理得：，由判别式得，注意到，所以。由根与系数的关系得，则，而焦点坐标分别为，故的重心的坐标分别为，因原点在以为直径的圆内，故为钝角，则，所以，也即，将代入可得：，解之得，又，所以，故所求实数的取值范围为。点评：本题的第二问灵活、巧妙地运用向量的数量积公式建立及原点在圆内建立了不等式，求出实数的取值范围，从而使本题获解，体现了知识的灵活运用和融合贯通。例3、（2010年江苏卷）在锐角中，若角的对边分别为，且，则 。分析：本题重在考查学生的运算求解能力和分析探究能力，有一定的难度。解答时可依据条件寻求与设计合理、简捷的运算途径进行求解，先将欲求中的提取出
8、来，再将“切化弦”定下努力的目标与方向：解：因，故由正弦定理得，由得并代入即得，用余弦定理将已知化为，将其整体代入即可得。点评：本题将正弦定理、余弦定理有机地整合在一起，求解时充分利用已知条件进行化简与变形，体现整体思想的妙用，解答本题的思维误区是变形不合理，无目标意识，难在找不到合理化简求解的途径，有的同学即使化到仍想不到再次用余弦定理进行化简和整体代换而功亏一篑。课堂一测一、选择题1、（文）若向量，则实数的值为、 、 、2 、6（理）若非零向量满足 ，则与的夹角为、 、 、 、2、已知锐角的面积为，则角的大小为、 、 、 、（理）在中，角所对的边长分别为，若，则、 、 、 、与的大小关系不
9、能确定3、在中，点在边上，若平分内角，若，则、 、 、 、4、若的三个内角满足，则 、一定是锐角三角形 、一定是直角三角形、一定是钝角三角形、可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形5、设的三个内角为，向量，若，则、 、 、 、（理）已知为双曲线的左、右焦点，点在上，则点到轴的距离是、 、 、 、答案：1、理；2、理；3、；4、理二、填空题1、（文）已知向量满足：，则 。（理）已知的面积且，则 。2、在中，若，且，则 。3、设点是线段的中点，点在直线外，若，则 。答案：1、理；2、；3、2。三、解答题1、已知向量与互相垂直，其中。（1）求和值；（2）若，求的值。（理）设向量，（1）若与垂直，求的值
10、；（2）求的最大值；（3）若，求证：。2、设函数。（1）求函数的值域；（2）记的内角所对边分别是，若，求的值。（理）在中，三内角所对的边分别是，且满足。（1）求的面积；（2）若，求的值。3、在中，内角所对边分别是，已知。（1）求；（2）当，求及的长。（理）在中，三内角所对的边分别是，若。（1）求的值；（2）若，求的值。备用题4、（2010福建卷）某港口要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发时，轮船位于港口北偏西且该港口相距20海里的处，并正以30海里/时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小艇沿直线方向以海里/时的航行速度行驶，经过时与轮船相遇。（1）若希望相遇时小艇的航行
11、距离最小，则小艇的航行速度的大小应为多少？（2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/时，试设计航行方案（即确定航行方向和航行速度的大小），使得小艇能以最短的时间与轮船相遇，并说明理由。 答案：1、（1）由得，结合及可得：；（2）因，故，所以，所以，注意到，所以，故。理、（1）由于与垂直，因此，又因为，所以，即；（2）由于，因此，注意到，所以，当时取等号，所以求的最大值为；（3）由得：，所以。 2、解（1）因，故函数的值域为；（2）由（1）知，即，注意到是的内角，由此可得：，在中由余弦定理得：，即，所以或。（理）（2009年浙江卷）在中，三内角所对的边分别是，且满足。（1）求的面积；（2）若，求的值。理（1）由得：，则，又得：，即，所以的面积为；（2）由余弦定理，即。3、解：因是内角，故，又，则故；（2）由正弦定理得：，又因，故将其代入可得：，再由可得，所以由余弦定理得：，解之得：或，故所求及的长分别为或。（理）解：由得，即，也即，所以，结合可得，又由知：，则或（舍去）由此可得：，故的值分别为；（2）由正弦定理可知，即，也即，又由（1）知，所以即，将代入可得，故所求的值分别为。
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