1、专题7 解析几何第28练 双曲线的渐近线和离心率问题双曲线作为三种圆锥曲线之一，也是高考热点，其性质是考查的重点，尤其是离心率与渐近线.考查形式除常考的解答题外，也会在填空题中考查，一般为中等难度.熟练掌握两种性质的求法、用法是此类问题的解题之本.题型分析 高考展望 体验高考 高考必会题型 高考题型精练 栏目索引 体验高考 解析答案 123451.(2015四川改编)过双曲线 x2y231 的右焦点且与 x 轴垂直的直线，交该双曲线的两条渐近线于 A，B 两点，则 AB_.解析 由题意知，双曲线 x2y231 的渐近线方程为 y 3x，将 xc2 代入得 y2 3，即 A，B 两点的坐标分别为
2、(2，2 3)，(2，2 3)，所以 AB4 3.4 3123452.(2016天津改编)已知双曲线x24y2b21(b0)，以原点为圆心，双曲线的半实轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于 A，B，C，D 四点，四边形 ABCD 的面积为 2b，则双曲线的方程为_.解析 答案 x24y212112345解析答案 所以c5，a4，b2c2a29，3.(2015广东改编)已知双曲线 C：x2a2y2b21 的离心率 e54，且其右焦点为 F2(5,0)，则双曲线 C 的方程为_.解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 eca54，所以所求双曲线 C 的方程为x216y291
3、.x216y291123454.(2015上海)已知点 P 和 Q 横坐标相同，P 的纵坐标是 Q 的纵坐标的 2倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线 C1 和 C2，若 C1 的渐近线为 y 3x，则 C2 的渐近线方程为_.解析 答案 y 32 x12345返回 5.(2015重庆改编)设双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点为 F，右顶点为 A，过 F 作 AF 的垂线与双曲线交于 B，C 两点，过 B，C 分别作 AC，AB 的垂线，两垂线交于点 D，若 D 到直线 BC 的距离小于 aa2b2，则该双曲线的渐近线斜率的取值范围是_.解析 答案(1,0)(0,1)高考必会题型 题
4、型一 双曲线的渐近线问题 例 1 已知直线 y1x 与双曲线 ax2by21(a0，bb0，椭圆 C1 的方程为x2a2y2b21，双曲线 C2 的方程为x2a2y2b21，C1 与 C2 的离心率之积为 154，则 C2 的渐近线方程为_.解析 由已知，得 e11ba2，e21ba2，所以 e1e21ba4 154，解得ba12，所以 C2 的渐近线方程为 ybax12x，即 x2y0.x2y0 题型二 双曲线的离心率问题 例 2(1)点 A 是抛物线 C1：y22px(p0)与双曲线 C2：x2a2y2b21(a0，b0)的一条渐近线的交点，若点 A 到抛物线 C1 的准线的距离为 p，则
5、双曲线 C2 的离心率为_.解析答案 解析 双曲线的渐近线方程为：ybax，由题意可取点 A(p2，p)代入渐近线得bapp22，(ba)24，c2a2a24，e25，e 5.5点评(2)(2016课标全国甲改编)已知 F1，F2 是双曲线 E：x2a2y2b21 的左，右焦点，点 M 在 E 上，MF1 与 x 轴垂直，sin F213，则 E 的离心率为_.解析答案 解析 离心率 eF1F2MF2MF1，由正弦定理得 eF1F2MF2MF1sin Msin F1sin F22 23113 2.2解析答案 变式训练 2(2016上海)双曲线 x2y2b21(b0)的左、右焦点分别为 F1、F
6、2，直线 l 过 F2 且与双曲线交于 A、B 两点.(1)若 l 的倾斜角为2，F1AB 是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；解析答案(2)设 b 3，若 l 的斜率存在，且(F1A F1B)AB0，求 l 的斜率.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题 点评 例 3 已知双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右顶点为 A，O 为坐标原点，以 A 为圆心的圆与双曲线 C 的某渐近线交于两点 P，Q，若PAQ60，且OQ 3OP，则双曲线 C 的离心率为_.解析 答案 72返回 变式训练 3 已知双曲线x2a2y2b21(a0，b0)以及双曲线y2a2x2b21(a0，b0)的渐近线将
7、第一象限三等分，则双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的离心率为_.解析答案 解析 由题意可知，双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线的倾斜角为30或 60，则 kba 3或 33，则 ecac2a2a2b2a21b2a22 或2 33.2 或2 33 高考题型精练 12345678910 11 12解析答案 1.(2015课标全国改编)已知 M(x0，y0)是双曲线 C：x22y21 上的一点，F1，F2 是 C 的两个焦点.若MF1 MF2 0，则 y0 的取值范围是_.解析 由题意知 a 2，b1，c 3，F1(3，0)，F2(3，0)，MF1(3x0，y0)，MF2(3x0，
8、y0).MF1 MF2 0，(3x0)(3x0)y200，即 x203y200.点 M(x0，y0)在双曲线上，x202y201，即 x2022y20，22y203y200，33 y00，b0)的两顶点为 A1，A2，虚轴两端点为 B1，B2，两焦点为 F1，F2，若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2，则双曲线的离心率是_.因为圆与直线相切，所以点 O 到直线 F1B1的距离等于半径，即bcb2c2a，又b2c2a2，得c43a2c2a40，e43e210，e23 52，e1 52.512即 2ma，所以e2e1cmcaam2.12345678910 11 12解析答案 5.
9、如图，中心均为原点O的双曲线与椭圆有公共焦点，M，N是双曲线的两顶点，若M，O，N将椭圆的长轴四等分，则双曲线与椭圆的离心率的比值是_.解析 设椭圆与双曲线的标准方程分别为：x2a2y2b21(ab0)，x2m2y2n21(m0，n0).因为它们共焦点，所以它们的半焦距均为c，所以椭圆与双曲线的离心率分别为 e1ca，e2cm，由点M，O，N将椭圆长轴四等分可知mam，2即 r|221|14 3 55.12345678910 11 12解析答案 6.已知双曲线 x2y2b21(b0)的离心率为 5.则 b_，若以(2,1)为圆心，r 为半径的圆与该双曲线的两条渐近线组成的图形只有一个公共点，则
10、半径 r_.解析 双曲线 x2y2b21(b0)，则 a1，c1b2，由题意可得 eca1b21 5，解得 b2.由双曲线 x2y241 可得渐近线方程为 y2x，由以(2,1)为圆心，r为半径的圆与渐近线y2x相切，设圆心到渐近线y2x的距离为d，可得dr，23 5512345678910 11 127.已知 F 是双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)的右焦点，O 是双曲线 C 的中心，直线 y mx 是双曲线 C 的一条渐近线，以线段 OF 为边作正三角形AOF，若点 A 在双曲线 C 上，则 m_.解析 答案 32 312345678910 11 128.设 P 为直线 y b3
11、ax 与双曲线 C：x2a2y2b21(a0，b0)左支的交点，F1是左焦点，PF1 垂直于 x 轴，则双曲线的离心率 e_.解析 答案 3 2412345678910 11 12解析答案 9.(2016山东)已知双曲线 E：x2a2y2b21(a0，b0)，若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上，AB，CD 的中点为 E 的两个焦点，且 2AB3BC，则 E 的离心率是_.解析 由已知得 AB2b2a，BC2c，22b2a 32c，又b2c2a2，整理得：2c23ac2a20，两边同除以 a2 得 2ca23ca20，即 2e23e20，解得 e2 或 e12(舍去).2 123456789
12、10 11 1210.已知 A(1,2)，B(1,2)，动点 P 满足APBP，若双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是_.解析 答案(1,2)12345678910 11 1211.已知 F1，F2 分别是双曲线x2a2y2b21(a0，b0)的左，右焦点，点 F1关于渐近线的对称点恰好在以 F2 为圆心，OF2(O 为坐标原点)为半径的圆上，则该双曲线的离心率为_.解析 答案 2 12345678910 11 12解析答案 12.已知双曲线 C1：x2y241.(1)求与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4，3)的双曲线
13、C2 的标准方程；解 双曲线 C1：x2y241，焦点坐标为(5，0)，(5，0)，设双曲线 C2 的标准方程为x2a2y2b21(a0，b0)，双曲线 C2 与双曲线 C1 有相同焦点，且过点 P(4，3)，a2b25，16a2 3b21，解得a2，b1.双曲线 C2 的标准方程为x24y21.解析答案 返回 12345678910 11 12解 双曲线C1的两条渐近线为y2x，y2x，(2)直线 l：yxm 分别交双曲线 C1 的两条渐近线于 A、B 两点，当OA OB3 时，求实数 m 的值.由y2x，yxm 可得 xm，y2m，A(m,2m)，由y2x，yxm可得 x13m，y23m，B(13m，23m)，OA OB 13m243m2m2，OA OB 3，m23，m 3.