1、规范练(六)函数与导数1已知函数f(x)ax2xxln x.(1)若a0，求函数f(x)的单调区间；(2)若f(1)2，且在定义域内f(x)bx22x恒成立，求实数b的取值范围解(1)当a0时，f(x)xxln x，函数定义域为(0，)f(x)ln x，由ln x0，得x1.当x(0,1)时，f(x)0，f(x)在(0,1)上是增函数；当x(1，)时，f(x)0，f(x)在(1，)上是减函数(2)由f(1)2，得a12，a1，f(x)x2xxln x，由f(x)bx22x，得(1b)x1ln x.又x0，b1恒成立令g(x)1，可得g(x)，由g(x)0，得x1.g(x)在(0,1上单调递减，
2、在1，)上单调递增，g(x)ming(1)0，b的取值范围是(，02设f(x)ex(ax2x1)(1)若a0，讨论f(x)的单调性；(2)x1时，f(x)有极值，证明：当时，|f(cos )f(sin )|2.(1)解f(x)ex(ax2x1)ex(2ax1)aex(x)(x2)，当a时，由f(x)ex(x2)20，所以f(x)在R上单增递增；当0a时，由f(x)0，得x2或x；由f(x)0，得x2，f(x)在和(2，)上单调递增，在上单调递减当a时，由f(x)0，得x或x2，由f(x)0，得2x，f(x)在(，2)和)上单调递增，在上单调递减(2)证明x1时，f(x)有极值，f(1)3e(a
3、1)0，a1，f(x)ex(x2x1)，f(x)ex(x1)(x2)由f(x)0，得2x1，f(x)在2,1上单增，sin ，cos 0,1，|f(cos )f(sin )|f(1)f(0)e12.3已知函数f(x)x3ax2bxc在(，0)上是减函数，在(0,1)上是增函数，函数f(x)在R上有三个零点，且1是其中一个零点(1)求b的值；(2)求f(2)的取值范围；(3)设g(x)x1，且f(x)g(x)的解集为(，1)，求实数a的取值范围解(1)f(x)3x22axb当x0时，f(x)取到极小值，即f(0)0，b0.(2)由(1)知，f(x)x3ax2c，1是函数f(x)的一个零点，即f(
4、1)0，c1a.f(x)3x22ax0的两个根分别为x10，x2.又f(x)在(0,1)上是增函数，且函数f(x)在R上有三个零点，x21，即a.f(2)84a(1a)3a7.故f(2)的取值范围为(，)(3)法一由(2)知f(x)x3ax21a，且a.1是函数f(x)的一个零点，f(1)0，g(x)x1，g(1)0，点(1,0)是函数f(x)和函数g(x)的图象的一个交点结合函数f(x)和函数g(x)的图象及其增减特征可知，当且仅当函数f(x)和函数g(x)的图象只有一个交点(1,0)时， f(x)g(x)的解集为(，1)即方程组只有一解：.由x3ax21ax1，得(x31)a(x21)(x
5、1)0，即(x1)x2(1a)x(2a)0，x1或x2(1a)x(2a)0，由方程x2(1a)x(2a)0，得(1a)24(2a)a22a7，当0，即a22a70，又因为a，解得a21.此时方程无实数解，方程组只有一个解所以a21时，f(x)g(x)的解集为(，1)法二由(2)知f(x)x3ax21a，且a.1是函数f(x)的一个零点，f(x)(x1)x2(1a)x1a又f(x)g(x)的解集为(，1)，f(x)g(x)(x1)x2(1a)x2a0的解集为(，1)x2(1a)x2a0恒成立(1a)241(2a)0.a22a70，(a1)28.又a，a21，a的取值范围为.4已知函数f(x)ax
6、ln x，其中a为常数(1)当a1时，求f(x)的最大值；(2)若f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求a的值；(3)当a1时，试推断方程|f(x)|是否有实数解解(1)当a1时，f(x)xln x(x0)，f(x)1，当0x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0.f(x)在(0,1)上是增函数，在(1，)上是减函数，f(x)maxf(1)1，(2)f(x)a，x(0，e，.若a，则f(x)0，f(x)在(0，e上是增函数，f(x)maxf(e)ae10不合题意若a，则由f(x)0a0，即0x.由f(x)0得a0，即xe.从而f(x)在上是增函数，在上是减函数，f(x)maxf1ln令1ln3，则ln2，e2，即ae2.e2，ae2为所求(3)由(1)知当a1时，f(x)maxf(1)1，|f(x)|1又令g(x)，g(x).令g(x)0，得xe.当0xe时，g(x)0，g(x)在(0，e)上单调递增，当xe时，g(x)0，g(x)在(e，)上单调递减，g(x)maxg(e)1，g(x)1，|f(x)|g(x)，即|f(x)|，方程|f(x)|没有实数解
