1、第六节抛 物 线【考纲下载】1掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质(范围、对称性、顶点、离心率等)2了解圆锥曲线的简单应用了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用3理解数形结合思想1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，x
2、Ry0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)|PF|x0|PF|x0|PF|y0|PF|y01当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是什么图形？提示：当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过定点F且与直线l垂直的直线2抛物线y22px(p0)上任意一点M(x0，y0)到焦点F的距离与点M的横坐标x0有何关系？若抛物线方程为x22py(p0)，结果如何？提示：由抛物线定义得|MF|x0；若抛物线方程为x22py(p0)，则|MF|y0.1设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是()Ay28x By24xCy28x Dy24x解析：选C由抛物线准线方程为x2知p4，且开
3、口向右，故抛物线方程为y28x.2抛物线y24x的焦点F到准线l的距离为()A1 B2 C3 D4解析：选B因为抛物线y24x，所以2p4，而焦点F到准线l的距离为p2.3抛物线y2x2的焦点坐标为()A. B(1,0)C. D.解析：选C将抛物线y2x2化成标准方程为x2y，所以2p，而抛物线x2y的焦点在y轴的非负半轴上，所以焦点坐标为.4抛物线的焦点为椭圆1的左焦点，顶点为椭圆中心，则抛物线方程为_解析：由c2945，得F(，0)，则抛物线方程为y24x.答案：y24x5设抛物线y22px(p0)的焦点为F，点A(0,2)若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为_解析：F
4、，则B，2p1，解得p.B，因此B到该抛物线的准线的距离为.答案：考点一抛物线的定义及应用 例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1，1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连接AF交曲线于点P，则所求的最小值为|AF|，即为.(2)如图，过点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F
5、|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.【互动探究】若将本例(2)中的B点坐标改为(3,4)，求|PB|PF|的最小值解：由题意可知点(3,4)在抛物线的外部|PB|PF|的最小值即为B，F两点间的距离|PB|PF|BF|2.即|PB|PF|的最小值为2. 【方法规律】抛物线定义中的“转化”法利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地进行抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转化“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径1(2014吉安模拟)已知动圆过定点F，且与直线x相切，其中p0，则动圆圆心的轨迹E的方程为_解析：依
6、题意得，圆心到定点F的距离与到直线x的距离相等，再依抛物线的定义知，动圆圆心的轨迹E为抛物线，其方程为y22px.答案：y22px2过抛物线y24x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，若|AF|3，则|BF|_.解析：因为抛物线y24x的焦点F(1,0)显然，当AB垂直于x轴时，|AF|3，所以AB的斜率k存在，设AB的方程为yk(x1)，与抛物线y24x联立，消去y得k2x22k2x4xk20，即k2x2(2k24)xk20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)由根与系数的关系得x1x22.又|AF|3x1x11，所以x12，代入k2x22k2x4xk20，得k28，所以x1x2，x2，故
7、|BF|x211.答案：考点二抛物线的标准方程及性质 例2(1)(2013四川高考)抛物线y24x的焦点到双曲线x21的渐近线的距离是()A. B. C1 D.(2)(2013江西高考)抛物线x22py(p0)的焦点为F，其准线与双曲线1相交于A，B两点，若ABF为等边三角形，则p_.自主解答(1)由抛物线y24x，有2p4，p2.其焦点坐标为(1,0)，双曲线x21的渐近线方程为yx.不妨取其中一条xy0.由点到直线的距离公式有d.(2)在等边三角形ABF中，AB边上的高为p，p，所以B.又因为点B在双曲线上，故1，解得p6.答案：(1)B(2)6【方法规律】1求抛物线的标准方程的方法及流程
8、(1)方法：求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p，所以只需一个条件确定p值即可(2)流程：因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2确定及应用抛物线性质的关键与技巧(1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程(2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解1已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|()A2 B2 C4 D2解析：选B依题意，设抛物线方程是y22px(p0)，则有23，得p2，故抛物线方程是y24x，点M的坐标是(2
9、，2)，|OM|2.2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为()Ax2y Bx2yCx28y Dx216y解析：选D双曲线的渐近线方程为yx，由于 2，所以，所以双曲线的渐近线方程为yx.抛物线的焦点坐标为，所以2，则p8，所以抛物线方程为x216y.高频考点考点三 直线与抛物线的位置关系1直线与抛物线的位置关系，是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度较大，多为中、高档题2直线与抛物线的位置关系有以下几个命题角度：(1)已知抛物线方程及其他条件，求直线方程；(2)证明直线过定点；(3)求
10、线段长度或线段之积(和)的最值；(4)求定值例3 (2012福建高考)如图，等边三角形OAB的边长为8，且其三个顶点均在抛物线E：x22py(p0)上(1)求抛物线E的方程；(2)设动直线l与抛物线E相切于点P，与直线y1相交于点Q.证明以PQ为直径的圆恒过y轴上某定点自主解答(1)依题意，|OB|8，BOy30.设B(x，y)，则x|OB|sin 304，y|OB|cos 3012.因为点B(4，12)在x22py上，所以(4)22p12，解得p2.故抛物线E的方程为x24y.(2)证明：由(1)知yx2，yx.设P(x0，y0)，则x00，y0x，且l的方程为yy0x0(xx0)，即yx0
11、xx.由得所以Q为.设M(0，y1)，令0对满足y0x(x00)的x0，y0恒成立由于(x0，y0y1)，由0，得y0y0y1y1y0，即(yy12)(1y1)y00.(*)由于(*)式对满足y0x(x00)的y0恒成立，所以解得y11.故以PQ为直径的圆恒过y轴上的定点M(0,1)直线与抛物线的位置关系的常见类型及解题策略(1)求直线方程先寻找确定直线的两个条件，若缺少一个可设出此量，利用题设条件寻找关于该量的方程，解方程即可(2)证明直线过定点可依题设条件寻找该直线的方程，可依据方程中的参数及其他条件确定该直线过那个定点(3)求线段长度和线段之积(和)的最值可依据直线与抛物线相交，依据弦长
12、公式，求出弦长或弦长关于某个量的函数，然后利用基本不等式或利用函数的知识，求函数的最值；也可利用抛物线的定义转化为两点间的距离或点到直线的距离(4)求定值可借助于已知条件，将直线与抛物线联立，寻找待定式子的表达式，化简即可得到(2014汉中模拟)已知过点A(4,0)的动直线l与抛物线G：x22py(p0)相交于B，C两点当直线l的斜率是时，4.(1)求抛物线G的方程；(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b，求b的取值范围解：(1)设B(x1，y1)，C(x2，y2)，当直线l的斜率是时，l的方程为y(x4)，即x2y4，联立消去x，得2y2(8p)y80，y1y2，y1y24，由已知4，y
13、24y1，由韦达定理及p0可得y11，y24，p2，抛物线G的方程为x24y.(2)由题意知直线l的斜率存在，且不为0，设l：yk(x4)，BC中点坐标为(x0，y0)，由得x24kx16k0，由0得k0，x02k，y0k(x04)2k24k，BC中垂线方程为y2k24k(x2k)，b2(k1)2，b2.故b的取值范围为(2，)课堂归纳通法领悟4个结论直线与抛物线相交的四个结论已知抛物线y22px(p0)，过其焦点的直线交抛物线于A，B两点，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有以下结论：(1)|AB|x1x2p或|AB|(为AB所在直线的倾斜角)；(2)x1x2；(3)y1y2p2；(4
14、)过抛物线焦点且与对称轴垂直的弦称为抛物线的通径，抛物线的通径长为2p.3个注意点抛物线问题的三个注意点(1)求抛物线的标准方程时一般要用待定系数法求p的值，但首先要判断抛物线是否为标准方程，若是标准方程，则要由焦点位置(或开口方向)判断是哪一种标准方程(2)注意应用抛物线定义中距离相等的转化来解决问题(3)直线与抛物线有一个交点，并不表明直线与抛物线相切，因为当直线与对称轴平行(或重合)时，直线与抛物线也只有一个交点 前沿热点(十五)与抛物线有关的交汇问题1抛物线是一种重要的圆锥曲线，在高考中，经常以抛物线为载体与直线、圆综合考查，主要考查抛物线的方程及几何性质，直线与抛物线的综合应用，点到
15、直线的距离等2直线与抛物线的综合问题，经常是将直线方程与抛物线方程联立，消去x(或y)，利用方程的根与系数的关系求解，但一定要注意直线与抛物线相交的条件典例(2013湖南高考)过抛物线E：x22py(p0)的焦点F作斜率分别为k1，k2的两条不同直线l1，l2，且k1k22，l1与E相交于点A，B，l2与E相交于点C，D，以AB，CD为直径的圆M，圆N(M，N为圆心)的公共弦所在直线记为l.(1)若k10，k20，证明：0，k20，k1k2，所以0k1k221.故0，所以点M到直线l的距离d.故当k1时，d取最小值.由题设，解得p8.故所求的抛物线E的方程为x216y.名师点评解答本题的关键有
16、以下两点：(1)充分利用k10，k20，k1k2时，k1k20，即d.(2013广东高考)已知抛物线C的顶点为原点，其焦点F(0，c)(c0)到直线l：xy20的距离为，设P为直线l上的点，过点P作抛物线C的两条切线PA，PB，其中A，B为切点(1)求抛物线C的方程；(2)当点P(x0，y0)为直线l上的定点时，求直线AB的方程；(3)当点P在直线l上移动时，求|AF|BF|的最小值解：(1)依题意d，解得c1，抛物线C的方程为x24y.(2)设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x0，y0)，由x24y，即yx2，得yx.抛物线C在点A处的切线PA的方程为yy1(xx1)，即yxy1x
17、.y1x，yxy1.点P(x0，y0)在直线PA上，y0x0y1.同理，y0x0y2.综合得，点A(x1，y1)，B(x2，y2)的坐标都满足方程y0x0y，经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点的直线是唯一的，直线AB的方程为y0x0y，即x0x2y2y00.(3)由抛物线定义可知|AF|y11，|BF|y21，所以|AF|BF|(y11)(y21)y1y2(y1y2)1，联立方程消去x整理得y2(2y0x)yy0，y1y2x2y0，y1y2y，x0y020，|AF|BF|y2y0x1y2y0(y02)212y2y0522，当y0时，|AF|BF|取得最小值为.全盘巩固1抛物线x2(2a
18、1)y的准线方程是y1，则实数a()A. B. C D解析：选D把抛物线方程化为x22y，则pa，故抛物线的准线方程是y，则1，解得a.2直线4kx4yk0与抛物线y2x交于A，B两点，若|AB|4，则弦AB的中点到直线x0的距离等于()A. B2 C. D4解析：选C直线4kx4yk0，即yk，即直线4kx4yk0过抛物线y2x的焦点.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|x1x24，故x1x2，则弦AB的中点的横坐标是，所以弦AB的中点到直线x0的距离是.3(2013江西高考)已知点A(2,0)，抛物线C：x24y的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则|
19、FM|MN|()A2 B12 C1 D13解析：选CFA：yx1，与x24y联立，得xM1，FA：yx1，与y1联立，得N(4，1)，由三角形相似知.4设F为抛物线y24x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若0，则|()A9 B6 C4 D3解析：选B设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)，由0知，(x11)(x21)(x31)0，即x1x2x33，|x1x2x3p6.5已知点M(1,0)，直线l：x1，点B是l上的动点，过点B垂直于y轴的直线与线段BM的垂直平分线交于点P，则点P的轨迹是()A抛物线 B椭圆C双曲线的一支 D直线解析：选A由点P在BM的垂直平
20、分线上，故|PB|PM|.又PBl，因而点P到直线l的距离等于点P到点M的距离，所以点P的轨迹是抛物线6(2013新课标全国卷)O为坐标原点，F为抛物线C：y24x的焦点，P为C上一点，若|PF|4，则POF的面积为()A2 B2 C2 D4解析：选C设P(x0，y0)，根据抛物线定义得|PF|x0，所以x03，代入抛物线方程求得y224，解得|y|2，所以POF的面积等于|OF|y|22.7(2013北京高考)若抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，则p_，准线方程为_解析：抛物线y22px的焦点坐标为(1,0)，1，解得p2，准线方程为x1.答案：2x18(2014厦门模拟)已知动圆圆心
21、在抛物线y24x上，且动圆恒与直线x1相切，则此动圆必过定点_解析：因为动圆的圆心在抛物线y24x上，且x1是抛物线y24x的准线，所以由抛物线的定义知，动圆一定过抛物线的焦点(1,0)答案：(1,0)9抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是_解析：法一：如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线为4x3yb0，切线方程与抛物线方程联立得消去y整理得3x24xb0，则1612b0，解得b，所以切线方程为4x3y0，抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是这两条平行线间的距离d.法二：对yx2，有y2x.如图，设与直线4x3y80平行且与抛物线yx2相切的直线
22、与抛物线的切点是T(m，m2)，则切线斜率ky|m2m，所以m，即切点T，点T到直线4x3y80的距离d，由图知抛物线yx2上的点到直线4x3y80距离的最小值是d.答案：10已知以向量v为方向向量的直线l过点，抛物线C：y22px(p0)的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上(1)求抛物线C的方程；(2)设A，B是抛物线C上两个动点，过A作平行于x轴的直线m，直线OB与直线m交于点N，若p20(O为原点，A，B异于原点)，试求点N的轨迹方程解：(1)由题意可得直线l的方程为yx，过原点垂直于l的直线方程为y2x.解得x.抛物线的顶点关于直线l的对称点在该抛物线的准线上，2，p2.抛物线C
23、的方程为y24x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，N(x0，y0)，由题意知y0y1.由p20，得x1x2y1y240，又y4x1，y4x2，解得y1y28，直线ON：yx，即y0x0.由及y0y1得点N的轨迹方程为x2(y0)11已知定点A(1,0)和直线x1上的两个动点E，F，且，动点P满足， (其中O为坐标原点)(1)求动点P的轨迹C的方程；(2)过点B(0,2)的直线l与(1)中的轨迹C相交于两个不同的点M，N，若0，即k.令M(x1，y1)，N(x2，y2)，则y1y2，y1y2，(x11，y1)(x21，y2)x1x2(x1x2)1y1y21y1y22y1y2110，1
24、2k0)(2)弦长|TS|为定值理由如下：取曲线C上点M(x0，y0)，M到y轴的距离为d|x0|x0，圆的半径r|MA|，则|TS|22，因为点M在曲线C上，所以x0，所以|TS|22，是定值冲击名校已知直线y2上有一个动点Q，过点Q作直线l1垂直于x轴，动点P在l1上，且满足OPOQ(O为坐标原点)，记点P的轨迹为C.(1)求曲线C的方程；(2)若直线l2是曲线C的一条切线，当点(0,2)到直线l2的距离最短时，求直线l2的方程解：(1)设点P的坐标为(x，y)，则点Q的坐标为(x，2)OPOQ，当x0时，P，O，Q三点共线，不符合题意，故x0.当x0时，得kOPkOQ1，即1，化简得x2
25、2y，曲线C的方程为x22y(x0)(2)直线l2与曲线C相切，直线l2的斜率存在设直线l2的方程为ykxb，由得x22kx2b0.直线l2与曲线C相切，4k28b0，即b.点(0,2)到直线l2的距离d2.当且仅当，即k时，等号成立此时b1.直线l2的方程为xy10或xy10.高频滚动已知直线xky30所经过的定点F恰好是椭圆C的一个焦点，且椭圆C上的点到点F的最大距离为8.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知圆O：x2y21，直线l：mxny1，试证：当点P(m，n)在椭圆C上运动时，直线l与圆O恒相交，并求直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围解：(1)直线xky30经过定点F(3,0)，即点F(3,0)是椭圆C的一个焦点设椭圆C的方程为1(ab0)，因为椭圆C上的点到点F的最大距离为8，所以a38，即a5.所以b2523216.所以椭圆C的方程为1.(2)因为点P(m，n)在椭圆C上，所以1，即n216(0m225)所以原点到直线l：mxny1的距离d1.所以直线l：mxny1与圆O：x2y21恒相交L24(r2d2)4.因为0m225，所以L.即直线l被圆O所截得的弦长L的取值范围为.
