1、福建省福州第八中学2020-2021学年高一数学下学期周测试题（四）（含解析）一、选择题（共10小题）.1已知线段上A，B，C三点满足2，则这三点在线段上的位置关系是（）ABCD2已知向量（1，2），（2，3），（4，5），若（+），则（）ABC2D23在ABC中，若A105，B45，b2，则边长c（）A1B2CD4在平面上有A，B，C三点，设，若，的长度恰好相等，则有（）AA，B，C三点必在一条直线上BABC必为等腰三角形且B为顶角CABC必为直角三角形且B为直角DABC必为等腰直角三角形5在直角梯形ACBD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则（）A1B2C3D
2、46设ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2，c2，cos，则b（）A1BC2D47下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）Aa8，b16，A30，有两解Bb18，c20，B60，有一解Ca15，b2，A90，有一解Da40，b30，A120，有一解8下列说法中，正确的是（）A（+）（）B若0，则与的夹角是钝角C向量（2，3），（，）能作为平面内所有向量的一个基底D若，则在上的投影向量为9下列命题中正确的是（）A向量与不共线，则与都是非零向量B已知A，B，C是平面内任意三点，则C若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC为等腰三角形D若向量与同向，且|，则10在ABC中，着A
3、B4，AC5，BCD为等边三角形（A，D两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是（）ABACBBACCS+20DS二、填空题11平面向量，满足|1，|2，且（+）（2）7，则向量，的夹角为 12在ABC中若b5，tanA2，则sinA ；a 13如图，PA为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得搭顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2，再由D向塔前进10米后到E，测得塔顶的仰角为4，则 ，塔高为 米三、主观题14已知非零向量，满足|1，且（）（+）（1）求|；（2）当，求向量与的夹角的值15已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，
4、且a2，cosB（）若b4，求sinA的值；（）若ABC的面积S4，求b、c的值16如图，平行四边形ABCD中，H、M是AD、DC的中点，BFBC（1）用，来表示，；（2）若|3，|4，与的夹角为，求17在3c216S+3（b2a2）；5bcosC+4c5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，已知_（1）求tanB的值；（2）若S42，a10，求b的值18如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），
5、要求PMPNMN2（单位：千米）记AMN（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？19ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c已知asinbsinA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围参考答案一、选择题1已知线段上A，B，C三点满足2，则这三点在线段上的位置关系是（）ABCD解：；与的方向相同，且；A正确故选：A2已知向量（1，2），（2，3），（4，5），若（+），则（）ABC2D2解：；又；解得2故选：C3在ABC中，若A105，B45，b2，则边长
6、c（）A1B2CD解：在ABC中，若A105，B45，C30再由b2，利用正弦定理可得，解得 c2，故选：B4在平面上有A，B，C三点，设，若，的长度恰好相等，则有（）AA，B，C三点必在一条直线上BABC必为等腰三角形且B为顶角CABC必为直角三角形且B为直角DABC必为等腰直角三角形解：因为，且，的长度恰好相等，所以，两边同时平方可得，所以，所以，即ABC必为直角三角形且B为直角故选：C5在直角梯形ACBD中，ABCD，ADAB，B45，AB2CD2，M为腰BC的中点，则（）A1B2C3D4解：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，建立直角坐标系则：A（0，0），B（2，0），D（0，1），
7、C（1，1），M（因为AB2CD2，B45，所以ADDC1，M为腰BC的中点，则M点到AD的距离（DC+AB），M点到AB的距离DA所以，所以9/41/42故选：B6设ABC的内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若a2，c2，cos，则b（）A1BC2D4解：a2，c2，cos，cosA2cos212（）21，由余弦定理a2b2+c22bccosA，可得：（2）2b2+222b2，可得：b23b40，解得：b4，或1（舍去）故选：D7下列条件判断三角形解的情况，正确的是（）Aa8，b16，A30，有两解Bb18，c20，B60，有一解Ca15，b2，A90，有一解Da40，b30，A120，
8、有一解解：a8，b16，A30，由正弦定理，得，即sinB1，所以B90，有一解，A不正确；b18，c20，B60，由正弦定理，得，所以sinC，因为cb，所以CB，故C有两个值，三角形有两解，B不正确；a15，b2，A90，所以sinB，B为锐角，有一解，C正确；a40，b30，A120，由正弦定理，得，即sinB，则B为锐角，有一解，D正确故选：CD8下列说法中，正确的是（）A（+）（）B若0，则与的夹角是钝角C向量（2，3），（，）能作为平面内所有向量的一个基底D若，则在上的投影向量为解：对于A：（+）（），故A正确；对于B：若0，则与的夹角是钝角或与为方向相反向的量，故B错误；对于C：
9、向量（2，3），（，），则，故本能作为基底，故C错误；对于D：若，则在上的投影向量为0，故D错误；故选：A9下列命题中正确的是（）A向量与不共线，则与都是非零向量B已知A，B，C是平面内任意三点，则C若O为ABC所在平面内任一点，且满足，则ABC为等腰三角形D若向量与同向，且|，则解：对于A：因为零向量与任意向量共线，所以A正确；对于B：由平面向量的加法法则，可知，所以B正确；对于C：设BC的中点为D，因为，所以，所以，即，又BC的中点为D，所以ABC为等腰三角形，即C正确；对于D，因为向量不是实数，所以不能比较大小，向量的模可以比较大小，所以D不正确故选：ABC10在ABC中，着AB4，AC
10、5，BCD为等边三角形（A，D两点在BC两侧），则当四边形ABDC的面积S最大时，下列选项正确的是（）ABACBBACCS+20DS解：由余弦定理可得AB2+AC2BC22ABACcosA，BC242+52245cosABC24140cosA，BCD为等边三角形，10sinA，SABCDSBCD+SABC，当时，即，即，四边形ABDC的面积S最大，故选：BC二、填空题11平面向量，满足|1，|2，且（+）（2）7，则向量，的夹角为解：向量，满足|1，|2，且（+）（2）7，即187，0，即，向量，的夹角为故答案为：12在ABC中若b5，tanA2，则sinA；a2解：由tanA2，得到cos2
11、A，由A（0，），得到sinA，根据正弦定理得：，得到a2故答案为：；213如图，PA为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C，测得搭顶的仰角为，由C向塔前进30米后到点D，测得塔顶的仰角为2，再由D向塔前进10米后到E，测得塔顶的仰角为4，则15，塔高为15米解：由题意可知，CD30，DE，塔高为PA，PCD，PDE2，CPD，即CDP为等腰三角形，PD30，PDE2，PEA4，DPE2，PED为等腰三角形，PE，在DPE中，由余弦定理，可得DE2+PE2DP22DEEPcosDEP，cosPED，PED120，4180PED60，15，在PED中，即PA15，故答案为：15，塔高15米三、主
12、观题14已知非零向量，满足|1，且（）（+）（1）求|；（2）当，求向量与的夹角的值解：（1）非零向量，满足|1，且（）（+），可得：，|；（2）当，所以：，可得cos，向量与的夹角的值为：15已知ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a2，cosB（）若b4，求sinA的值；（）若ABC的面积S4，求b、c的值解：（I）由正弦定理得（II），c5由余弦定理得b2a2+c22accosB，16如图，平行四边形ABCD中，H、M是AD、DC的中点，BFBC（1）用，来表示，；（2）若|3，|4，与的夹角为，求解：（1）+；+；（2）若|3，|4，与的夹角为，则34cos6，则有（+）
13、（）+916617在3c216S+3（b2a2）；5bcosC+4c5a，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，设ABC的面积为S，已知_（1）求tanB的值；（2）若S42，a10，求b的值解：选3c216S+3（b2a2），（1）3c216S+3（b2a2），3（c2+a2b2）16s即32accosB16，所以3cosB4sinB即tanB；（2）由（1）可得sinB，cosB，SsinB3c42，即c14，由余弦定理可得，整理可得，b6选5bcosC+4c5a，（1）5b+4c5a，5a2+5b25c2+8ac1
14、0a2，5a2+5c25b28ac，cosB，B（0，），sinB，故tanB（2）由（1）可得sinB，cosB，SsinB3c42，即c14，由余弦定理可得，整理可得，b618如图，经过村庄A有两条夹角为60的公路AB，AC，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P，分别在两条公路边上建两个仓库M，N（异于村庄A），要求PMPNMN2（单位：千米）记AMN（1）将AN，AM用含的关系式表示出来；（2）如何设计（即AN，AM为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离AP最大）？解：（1）AMN，在AMN中，由正弦定理得：所以AN，AM（2）AP2AM2+MP22AM
15、MPcosAMPsin2（+60）+4sin（+60）cos（+60）1cos（2+120）sin（2+120）+4sin（2+120）+cos（2+120）+sin（2+150），（0，120）（其中利用诱导公式可知sin（120）sin（+60）当且仅当2+150270，即60时，工厂产生的噪声对居民的影响最小，此时ANAM2故答案为：（1）AN，AM（2）ANAM2时，工厂产生的噪声对居民的影响最小19ABC的内角A、B、C的对边分别为a，b，c已知asinbsinA（1）求B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，求ABC面积的取值范围解：（1）asinbsinA，即为asinacosbsinA，可得sinAcossinBsinA2sincossinA，sinA0，cos2sincos，若cos0，可得B（2k+1），kZ不成立，sin，由0B，可得B；（2）若ABC为锐角三角形，且c1，由余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2a+11且1+a2a+1a2，且1+a2a2a+1，解得a2，可得ABC面积Sasina（，）
