1、第1练1.【选做题】A.选修42:矩阵与变换(2019江苏,21A,10分)已知矩阵A=3212.(1)求A2;(2)求矩阵A的特征值.B.选修44:坐标系与参数方程(2019南京三模,21B)在极坐标系中,直线l的极坐标方程为cos+3=1,以极点O为坐标原点,极轴Ox所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,曲线C的参数方程为x=rcos+2,y=rsin-1(其中为参数,r0),若直线l与曲线C相交于A,B两点,且AB=3,求r的值.C.选修45:不等式选讲(2019常州期末,21C)已知a0,b0,求证:a+b+1ab+a+b.2.(2019扬州中学检测,22)在长方体ABCD-A1B1C1
2、D1中,AB=4,AD=2,AA1=2,F是棱BC的中点,点E在棱C1D1上,且D1E=13EC1.求直线EF与平面D1AC所成角的正弦值.3.(2019苏州期初,23)设f(n)=(a+b)n(n2,nN*),若在f(n)的展开式中,存在连续的三项的二项式系数依次成等差数列,则称f(n)具有性质P.(1)求证: f(7)具有性质P;(2)若存在n2 018,使得f(n)具有性质P,求n的最大值.答案精解精析1.A.解析本题主要考查矩阵的运算、特征值等基础知识,考查运算求解能力.(1)因为A=3212,所以A2=32123212=33+1223+2231+1221+22=111056.(2)矩
3、阵A的特征多项式为f()=-3-2-1-2=2-5+4.令f()=0,解得A的特征值1=1,2=4.B.解析直线l的直角坐标方程为x-3y-2=0.曲线C的普通方程为(x-2)2+(y+1)2=r2.圆心C(2,-1)到直线l的距离d=|2+3-2|1+3=32,所以r=d2+AB22=3.C.证明因为a0,b0,所以a+b2ab,a+12a,b+12b,三式相加,得2(a+b+1)2ab+2a+2b,所以a+b+1ab+a+b.2.解析分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,则由已知得A(2,0,0),C(0,4,0),D1(0,0,2),E
4、(0,1,2),F(1,4,0),所以D1A=(2,0,-2),D1C=(0,4,-2),EF=(1,3,-2).设平面D1AC的法向量为n=(x,y,z),由nD1A=0,nD1C=0,解得x=z,z=2y,取y=1,则n=(2,1,2).因为|EF|=14,|n|=3,EFn=1,所以cos=EFn|EF|n|=1143=1442,因为cos0,所以是锐角,且是直线EF与平面D1AC所成角的余角,所以直线EF与平面D1AC所成角的正弦值为1442.3.解析(1)证明: f(7)=(a+b)7的展开式中第2,3,4项的二项式系数分别为C71=7,C72=21,C73=35,C71,C72,C73成等差数列,f(7)具有性质P.(2)假设f(n)具有性质P,则一定存在kN*,1kn-1,使得Cnk-1,Cnk,Cnk+1成等差数列,2Cnk=Cnk-1+Cnk+1.2n!k!(n-k)!=n!(k-1)!(n-k+1)!+n!(k+1)!(n-k-1)!.化简可得4k2-4nk+n2-n-2=0.(2k-n)2=n+2.k,nN*,n+2是完全平方数.n2 018,4422 020452,n的最大值为442-2=1 934.此时k=989或k=945.
