1、第 4 讲 直线与圆、圆与圆的位置关系最新考纲1能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系2能用直线和圆的方程解决一些简单的问题3初步了解用代数方法处理几何问题的思想.知 识 梳 理1直线与圆的位置关系设直线 l：AxByC0(A2B20)，圆：(xa)2(yb)2r2(r0)，d 为圆心(a，b)到直线 l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为.方法位置关系 几何法代数法相交dr0相切dr0相离dr02.圆与圆的位置关系设圆 O1：(xa1)2(yb1)2r21(r10)，圆 O2：(xa2)2(yb2)2r22(r20
2、).方法位置关系 几何法：圆心距 d 与 r1，r2 的关系代数法：两圆方程联立组成方程组的解的情况相离dr1r2无解外切dr1r2一组实数解相交|r1r2|dr1r2两组不同的实数解内切d|r1r2|(r1r2)一组实数解内含0d|r1r2|(r1r2)无解辨 析 感 悟1对直线与圆位置关系的理解(1)直线 ykx1 与圆 x2y21 恒有公共点()(2)“k1”是“直线 xyk0 与圆 x2y21 相交”的必要不充分条件()(3)(教材习题改编)直线 y2x3 被圆 x2y26x8y0 所截得 的 弦 长 等 于2 5.()2对圆与圆位置关系的理解(4)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组
3、实数解，则两圆外切()(5)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交()3关于圆的切线与公共弦(6)过圆 O：x2y2r2 上一点 P(x0，y0)的圆的切线方程是 x0 xy0yr2.()(7)两个相交圆的方程相减消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程()(8)圆 C1：x2y22x2y20 与圆 C2：x2y24x2y10 的公切线有且仅有 2 条()感悟提升1两个防范 一是应用圆的性质求圆的弦长，注意弦长的一半、弦心距和圆的半径构成一个直角三角形，有的同学往往漏掉了 2 倍，如(3)；二是在判断两圆位置关系时，考虑要全面，防止漏解，如(4)、(5)，(4)应为两
4、圆外切与内切，(5)应为两圆相交、内切、内含2两个重要结论一是两圆的位置关系与公切线的条数：内含时：0 条；内切：1 条；相交：2 条；外切：3 条；外离：4 条二是当两圆相交时，把两圆方程(x2，y2 项系数相同)相减便可得两圆公共弦所在直线的方程.考点一 直线与圆的位置关系【例 1】(1)已知点 M(a，b)在圆 O：x2y21 外，则直线 axby1 与圆 O 的位置关系是()A相切B相交C相离D不确定(2)(2013山东卷)过点(3,1)作圆(x1)2y21 的两条切线，切点分别为 A，B，则直线 AB 的方程为()A2xy30 B2xy30C4xy30 D4xy30解析(1)因为 M
5、(a，b)在圆 O：x2y21 外，所以 a2b21，而圆心 O 到直线axby1 的距离 d|a0b01|a2b21a2b21.故直线与圆 O 相交(2)如图，圆心坐标为 C(1,0)，易知 A(1,1)，又 kABkPC1，且 kPC103112，kAB2.故直线 AB 的方程为 y12(x1)，即 2xy30.答案(1)B(2)A规律方法 判断直线与圆的位置关系时，若两方程已知或圆心到直线的距离易表达，则用几何法；若方程中含有参数，或圆心到直线的距离的表达较繁琐，则用代数法【训练 1】(1)“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的()A充分不必要条件B必要不充分条件
6、C充要条件D既不充分也不必要条件(2)(2014郑州模拟)直线y 33 xm与圆x2y21在第一象限内有两个不同的交点，则 m 取值范围是()A(3，2)B(3，3)C.33，2 33D.1，2 33解析(1)若直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切，则有|a34|22 2，即|a1|4，所以 a3 或5.但当 a3 时，直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 一定相切，故“a3”是“直线 yx4 与圆(xa)2(y3)28 相切”的充分不必要条件(2)当直线经过点(0,1)时，直线与圆有两个不同的交点，此时 m1；当直线与圆相切时有圆心到直线的距离 d|m|13321，解得 m2
7、33，所以要使直线与圆在第一象限内有两个不同的交点，则 1m2 33.答案(1)A(2)D考点二 圆与圆的位置关系【例 2】已知两圆 x2y22x6y10 和 x2y210 x12ym0.(1)m 取何值时两圆外切？(2)m 取何值时两圆内切？(3)求 m45 时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长解 两圆的标准方程为：(x1)2(y3)211，(x5)2(y6)261m，圆心分别为 M(1,3)，N(5,6)，半径分别为 11和 61m.(1)当两圆外切时，512632 11 61m，解得 m2510 11.(2)当两圆内切时，因定圆的半径 11小于两圆圆心间距离 5，故只有 61m115
8、，解得 m2510 11.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x2y22x6y1)(x2y210 x12y45)0，即 4x3y230，公共弦长为 2 112|413323|423222 7.规律方法(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法(2)当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长【训练 2】(1)圆 O1：x2y22x0 和圆 O2：x2y24y0 的位置关系是()A相离B相交C外切D内切(2)设两圆 C1、C2 都和两坐
9、标轴相切，且都过点(4,1)，则两圆心的距离|C1C2|()A4 B4 2C8 D8 2解析(1)圆 O1 的圆心坐标为(1,0)，半径为 r11，圆 O2 的圆心坐标为(0,2)，半径 r22，故两圆的圆心距|O1O2|5，而 r2r11，r1r23，则有 r2r1|O1O2|r1r2，故两圆相交(2)依题意，可设圆心坐标为(a，a)、半径为 r，其中 ra0，因此圆的方程是(xa)2(ya)2a2，由圆过点(4,1)得(4a)2(1a)2a2，即 a210a170，则该方程的两根分别是圆心 C1，C2 的横坐标，|C1C2|2 1024178.故选 C.答案(1)B(2)C考点三 有关圆的
10、综合问题【例 3】(2013江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A(0,3)，直线 l：y2x4.设圆 C 的半径为 1，圆心在 l 上(1)若圆心 C 也在直线 yx1 上，过点 A 作圆 C 的切线，求切线的方程；(2)若圆 C 上存在点 M，使|MA|2|MO|，求圆心 C 的横坐标 a 的取值范围审题路线(1)由两条直线解得圆心 C 的坐标设过点 A 与圆 C 相切的切线方程由点到直线的距离求斜率写出切线方程；(2)设圆 C 的方程设点 M(x，y)由|MA|2|MO|得 M 的轨迹方程由两圆有公共点，列出关于 a 的不等式解不等式可得解(1)由题设，圆心 C 是直线 y2
11、x4 和 yx1 的交点，解得点 C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过 A(0,3)的圆 C 的切线方程为 ykx3，由题意，得|3k1|k211，解得 k0 或34，故所求切线方程为 y3 或 3x4y120.(2)因为圆心在直线 y2x4 上，所以圆 C 的方程为(xa)2y2(a2)21.设点 M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以 x2y322 x2y2，化简得 x2y22y30，即 x2(y1)24，所以点 M 在以 D(0，1)为圆心，2 为半径的圆上由题意，点 M(x，y)在圆 C 上，所以圆 C 与圆 D 有公共点，则|21|CD|21，即 1 a22a323.整理得85
12、a212a0.由 5a212a80，得 aR；由 5a212a0，得 0a125.所以点 C 的横坐标 a 的取值范围是0，125.规律方法(1)圆与直线 l 相切的情形圆心到 l 的距离等于半径，圆心与切点的连线垂直于 l.(2)圆与直线 l 相交的情形圆心到 l 的距离小于半径，过圆心而垂直于 l 的直线平分 l 被圆截得的弦；连接圆心与弦的中点的直线垂直于弦；过圆内一点的所有弦中，最短的是垂直于过这点的直径的那条弦，最长的是过这点的直径在解有关圆的解析几何题时，主动地、充分地利用这些性质可以得到新奇的思路，避免冗长的计算【训练 3】(2013江西卷)过点(2，0)引直线 l 与曲线 y
13、1x2相交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积取最大值时，直线 l 的斜率等于()A.33B 33C 33D 3解析 由 y 1x2得 x2y21(y0)，即该曲线表示圆心在原点，半径为 1 的半圆，如图所示故 SAOB12|OA|OB|sinAOB12sinAOB.所以当 sinAOB1，即 OAOB时，SAOB 取得最大值，此时点 O 到直线 l 的距离 d|OA|sin 45 22.设此时直线 l 的斜率为 k，则方程为 yk(x 2)，即 kxy 2k0，则有 22|00 2k|k21，解得 k 33，由图象可知直线 l 的倾斜角为钝角，故取 k 33.答案 B1直线与圆
14、的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的2求过一点的圆的切线方程时，首先要判断此点是否在圆上，然后设出切线方程注意：斜率不存在的情形3圆的弦长的常用求法(1)几何法：求圆的半径为 r，弦心距为 d，弦长为 l，则l22r2d2；(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：|AB|1k2|x1x2|1k2x1x224x1x2.答题模板 10与圆有关的探索问题【典例】(12 分)已知圆 C：x2y22x4y40.问在圆 C 上是否存在两点 A、B 关于直线 ykx1 对称，且以 AB 为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB 的方程；若不存
15、在，说明理由规范解答 圆 C 的方程可化为(x1)2(y2)29，圆心为 C(1，2)假设在圆 C 上存在两点 A，B 满足条件，则圆心 C(1，2)在直线 ykx1 上，即 k1.(2 分)于是可知，kAB1.设 lAB：yxb，代入圆 C 的方程，整理得 2x22(b1)xb24b40，则 4(b1)28(b24b4)0，即 b26b90.解得33 2b33 2.(6 分)设点 A，B 的坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2b1，x1x212b22b2.也就是 x1x2(x1b)(x2b)0.由题意知 OAOB，则有 x1x2y1y20，(8 分)2x1x2b(x1
16、x2)b20.b24b4b2bb20，化简得 b23b40.(10 分)解得 b4 或 b1，均满足 0，(11 分)即直线 AB 的方程为 xy40，或 xy10.(12 分)反思感悟 本题是与圆有关的探索类问题，要注意充分利用圆的几何性质解题，解题的关键有两点：(1)假设存在两点 A、B 关于直线对称，则直线过圆心(2)若以 AB 为直径的圆过原点，则 OAOB.转化为OAOB0.答题模板 第一步：假设符合要求的结论存在第二步：从条件出发(即假设)利用直线与圆的关系求解第三步：确定符合要求的结论存在或不存在第四步：给出明确结果第五步：反思回顾，查看关键点，易错点及答题规范【自主体验】在平面
17、直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方程为 x2y28x150，若直线 ykx2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是_解析 圆 C 的标准方程为(x4)2y21，如图，直线 ykx2 上至少存在一点，使得以该点为圆心，1 为半径的圆与圆 C 有公共点，只需保证圆心 C 到 ykx2 的距离不大于 2 即可圆心 C(4,0)到直线ykx2 的距离 d|4k2|12k2|4k2|1k2，由题意知|4k2|1k22，整理得 3k24k0，解得 0k43.故 kmax43.答案 43基础巩固题组(建议用时：40 分钟)一、选择题1(2014广州二测)直线
18、 ykx1 与圆 x2y22y0 的位置关系是()A相交B相切C相离D取决于 k 的值解析 由 ykx1 知直线过定点(0,1)，由 x2y22y0 得 x2(y1)21.直线经过圆的圆心，直线与圆相交答案 A2圆(x2)2y24 与圆(x2)2(y1)29 的位置关系为()A内切B相交C外切D相离解析 两圆圆心分别为(2,0)和(2,1)，半径分别为 2 和 3，圆心距 d 42117.32d32，两圆相交答案 B3若直线 xy10 与圆(xa)2y22 有公共点，则实数 a 的取值范围是()A3，1 B1,3C3,1 D(，31，)解析 由题意可得，圆的圆心为(a,0)，半径为 2，|a0
19、1|1212 2，即|a1|2，解得3a1.答案 C4(2014宝鸡二检)若圆 x2y22x4ym0(m3)的一条弦 AB 的中点为P(0,1)，则垂直于 AB 的直径所在直线的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析 由圆的方程得该圆圆心为 C(1,2)，则 CPAB，直线 CP 的斜率为1，故垂直于 AB 的直径所在直线的方程为 y1x，即 xy10.答案 B5(2014威海期末考试)若直线 ykx 与圆(x2)2y21 的两个交点关于直线 2xyb0 对称，则 k，b 的值分别为()Ak12，b4 Bk12，b4Ck12，b4 Dk12，b4解析 因为直线 ykx 与圆
20、(x2)2y21 的两个交点关于直线 2xyb0 对称，则 ykx 与直线 2xyb0 垂直，且 2xyb0 过圆心，所以解得 k12，b4.答案 A二、填空题6过点 A(2,4)向圆 x2y24 所引切线的方程为_解析 显然 x2 为所求切线之一；另设直线方程为 y4k(x2)，即 kxy42k0，那么|42k|k212，解得 k34，即 3x4y100.答案 x2 或 3x4y1007过点 M12，1 的直线 l 与圆 C：(x1)2y24 交于 A，B 两点，C 为圆心，当ACB 最小时，直线 l 的方程为_解析 由题意得，当 CMAB 时，ACB 最小，从而直线方程 y111201x1
21、2，即 2x4y30.答案 2x4y308(2014三门峡二模)两圆相交于两点(1,3)和(m，1)，两圆圆心都在直线 xyc0 上，且 m，c 均为实数，则 mc_.解析 根据两圆相交的性质可知，两点(1,3)和(m，1)的中点1m2，1 在直线 xyc0 上，并且过两点的直线与 xyc0 垂直，故有1m21c0，311m 11，m5，c2，mc3.答案 3三、解答题9求过两圆 x2y24xy1，x2y22x2y10 的交点的圆中面积最小的圆的方程解 由x2y24xy1，x2y22x2y10，得 2xy0 代入得 x15或1，两圆两个交点为15，25，(1，2)过两交点圆中，以15，25，(
22、1，2)为端点的线段为直径的圆时，面积最小该圆圆心为35，65，半径为151 2252 222 55，圆方程为x352y65245.10已知：圆 C：x2y28y120，直线 l：axy2a0.(1)当 a 为何值时，直线 l 与圆 C 相切；(2)当直线 l 与圆 C 相交于 A，B 两点，且|AB|2 2时，求直线 l 的方程解 将圆 C 的方程 x2y28y120 化成标准方程为 x2(y4)24，则此圆的圆心为(0,4)，半径为 2.(1)若直线 l 与圆 C 相切，则有|42a|a212，解得 a34.(2)过圆心 C 作 CDAB，则根据题意和圆的性质，得|CD|42a|a21，|
23、CD|2|DA|2|AC|222，|DA|12|AB|2.解得 a7 或1.故所求直线方程为 7xy140 或 xy20.能力提升题组(建议用时：25 分钟)一、选择题1(2014安徽宣城六校联考)已知点 P(x0，y0)，圆 O：x2y2r2(r0)，直线 l：x0 xy0yr2，有以下几个结论：若点 P 在圆 O 上，则直线 l 与圆 O 相切；若点 P 在圆 O 外，则直线 l 与圆 O 相离；若点 P 在圆 O 内，则直线 l 与圆 O相交；无论点 P 在何处，直线 l 与圆 O 恒相切，其中正确的个数是()A1 B2 C3D4解析 根据点到直线的距离公式有 dr2x20y20，若点
24、P 在圆 O 上，则 x20y20r2，dr，相切；若点 P 在圆 O 外，则 x20y20r2，dr，相交；若点 P 在圆 O内，则 x20y20r2，dr，相离，故只有正确答案 A2(2013重庆卷)已知圆 C1：(x2)2(y3)21，圆 C2：(x3)2(y4)29，M，N 分别是圆 C1，C2 上的动点，P 为 x 轴上的动点，则|PM|PN|的最小值为()A5 24 B.171 C62 2D.17解析 圆 C1，C2 的图象如图所示设 P 是 x 轴上任意一点，则|PM|的最小值为|PC1|1，同理|PN|的最小值为|PC2|3，则|PM|PN|的最小值为|PC1|PC2|4.作
25、C1 关于 x 轴的对称点 C1(2，3)，连接 C1C2，与 x 轴交于点 P，连接 PC1，根据三角形两边之和大于第三边可知|PC1|PC2|的最小值为|C1C2|，则|PM|PN|的最小值为 5 24.选 A.答案 A二、填空题3(2014福建质检)已知直线 l：y 3(x1)与圆 O：x2y21 在第一象限内交于点 M，且 l 与 y 轴交于点 A，则MOA 的面积等于_解析 依题意，直线 l：y 3(x1)与 y 轴的交点 A 的坐标为(0，3)由x2y21，y 3x1，得点 M 的横坐标 xM12，所以MOA 的面积为 S12|OA|xM12 312 34.答案 34三、解答题4已
26、知圆 M：x2(y2)21，Q 是 x 轴上的动点，QA，QB 分别切圆 M 于 A，B 两点(1)若 Q(1,0)，求切线 QA，QB 的方程；(2)求四边形 QAMB 面积的最小值；(3)若|AB|4 23，求直线 MQ 的方程解(1)设过点 Q 的圆 M 的切线方程为 xmy1，则圆心 M 到切线的距离为 1，|2m1|m211，m43或 0，QA，QB 的方程分别为 3x4y30 和 x1.(2)MAAQ，S四 边 形 MAQB|MA|QA|QA|MQ|2|MA|2|MQ|21|MO|21 3.四边形 QAMB 面积的最小值为 3.(3)设 AB 与 MQ 交于 P，则 MPAB，MBBQ，|MP|12 23213.在 RtMBQ 中，|MB|2|MP|MQ|，即 113|MQ|，|MQ|3，x2(y2)29.设 Q(x,0)，则 x2229，x 5，Q(5，0)，MQ 的方程为 2x 5y2 50 或 2x 5y2 50.
