1、第三章变化率与导数1变化的快慢与变化率(教师用书独具)三维目标1知识与技能：了解实际问题中平均变化率的意义，理解函数的平均变化率的概念与函数的瞬时变化率的概念2过程与方法：通过大量实例分析理解平均变化率与瞬时变化率3情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会变化率在实际问题中的作用，提高学习兴趣重点难点重点：函数的平均变化率与瞬时变化率难点：平均变化率与瞬时变化率的关系引导学生通过课本上的两个问题，不断地观察分析来理解平均变化率及瞬时变化率，引导学生通过例题与练习的训练进一步理解两者之间的关系，从而化解难点，强化重点(教师用书独具)教学建议 本节内容是由平均变化率到瞬时变化率刻画现实问题，为
2、下一节学习导数作铺垫，在教学时引导学生从大量实际问题着手，来认识平均变化率，进而过渡到瞬时变化率，以“平均变化率与瞬时变化率的关系”为探究内容，让学生开展讨论、总结教学流程课标解读 1. 理解函数平均变化率与瞬时变化率的概念. 2. 会求给定函数在某个区间的平均变化率(重点) 3. 会求函数在某点的瞬时变化率，并能根据瞬时变化率判断函数在某点处变化的快慢(重点、难点)平均变化率【问题导思】某病人吃完退烧药，他的体温变化如下：x(min)0102030405060y()3938.738.53837.637.336.8(1)试比较时间x从0 min到20 min和从20 min到30 min体温变
3、化情况，哪段时间体温变化较快(2)如何刻画体温变化的快慢？【提示】(1)从20 min到30 min变化快(2)用平均变化率函数的平均变化率对一般的函数yf(x)，当自变量x从x1变为x2时，函数值从f(x1)变为f(x2)，它的平均变化率为通常自变量的变化x2x1称作自变量的改变量，记作x，函数值的变化f(x2)f(x1)称作函数值的改变量，记作y这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的改变量之比，即我们用它来刻画函数值在区间x1，x2上变化的快慢瞬时变化率【问题导思】问题：王先生于近日接到了一份交通违规处罚单，原因是上月某周日在一限速70 km/h的路段超速行驶王先生正上
4、初中的儿子说：“一定是交警叔叔搞错了，那段路正好长60 km，我们用了一个小时，您当时还问我这段路我们的平均速度呢！”(1)限速70 km/h是指的平均速度不超过70 km/h吗？(2)瞬时速度与平均速度有区别吗？(3)王先生在该路段平均速度为60 km/h，是否可能超速行驶？【提示】(1)不是，是指瞬时速度(2)瞬时速度刻画的是物体在某一时刻运动的快慢，平均速度刻画的是物体在一段时间内运动的快慢(3)有可能函数的瞬时变化率对于一般的函数yf(x)，在自变量x从x0变到x1的过程中，若设xx1x0，yf(x1)f(x0)，则函数的平均变化率是.当x趋于0时，平均变化率就趋于函数在x0点的瞬时变
5、化率，瞬时变化率刻画的是函数在一点处变化的快慢求平均变化率求函数f(x)x2在x1，2，3附近的平均变化率，取x都为，哪一点附近平均变化率最大？【思路探究】直接代入公式计算平均变化率，比较大小即可【自主解答】在x1附近的平均变化率为k12x；在x2附近的平均变化率为k24x；在x3附近的平均变化率为k36x.若x，则k12，k24，k36.由于k1k20)yf(3x)f(3)5(3x)2532305x当x0时，30.即函数y5x2在x3处的瞬时变化率为30.理解概念不透彻致误物体自由落体的运动方程为s(t)gt2，g9.8 m/s2，若当t趋于0时，趋于9.8 m/s，那么下列说法中正确的是(
6、)A9.8 m/s是物体从0 s到1 s这段时间内的速率B9.8 m/s是1 s到(1t)s这段时间内的速率C9.8 m/s是物体在t1 s这一时刻的速率D9.8 m/s是物体从1 s到(1t)s这段时间内的平均速率【错解】B【错因分析】对平均变化率和瞬时变化率的理解不透彻，导致出现错误【防范措施】理解透彻平均变化率和瞬时变化率的概念可以防止错误的发生【正解】平均变化率是函数值的变化量y与自变量的改变量的比值，而瞬时变化率是当t0时，趋向固定常数值故应选C.【答案】C 1. 平均变化率刻画的是函数值在区间x0，x0x上变化的快慢 2. 瞬时变化率刻画的是函数值在某时刻变化的快慢 3. x趋于0
7、时平均变化率就趋近于函数在某点处的瞬时变化率 1. 函数f(x)2x21在区间1，1x上的平均变化率等于()A4B4xC42x D42x2【解析】y2(1x)21(2121)2(x)24x，2x4.【答案】C 2. 如果质点A按规律s3t2运动，则在t3时的瞬时速度为()A6 B18C54 D81【解析】183t，当t趋于0时，趋于18.【答案】B 3. 已知s(t)gt2，则t3 s到t3.1 s的平均速度为_(g取10 m/s2)【解析】平均速度为30.5(m/s)【答案】30.5(m/s) 4. 求函数yf(x)ax2bxc在x1处的瞬时变化率【解】根据瞬时变化率的定义，得：ax2ab.
8、x趋于0时，ax2ab趋于2ab，函数yf(x)ax2bxc在x1处的瞬时变化率为2ab.一、选择题 1. 已知函数yf(x)sin x，当x从变到时，函数值的改变量y()AB.C.D.【解析】yf()f()sinsin 1.【答案】B 2. 一质点运动的方程为s53t2，则在一段时间1，1t内相应的平均速度为()A3t6 B3t6C3t6 D3t6【解析】s53(1t)2(5312)6t3(t)2，63t.【答案】D 3. 函数f(x)2x23在下列区间上的平均变化率最大的是()A1，1.5 B1，2C1，3 D1，1.05【解析】平均变化率为，把数据代入可知选C.【答案】C 4. 如果函数
9、yf(x)axb在区间1，2上的平均变化率为3，则()Aa3 Ba3Ca2 Da的值不能确定【解析】根据平均变化率的定义可知a3.【答案】B 5. 一质点运动的方程为s53t2，且在一段时间1，1t内的平均速度为3t6，则估计质点在t1处的瞬时速度是()A3 B3C6 D6【解析】取t0.001，3t630.00166.003.因此估计质点在x1处的瞬时速度是6.【答案】D二、填空题 6. 运动方程为st3的物体，在时刻t4的瞬时速度为_【解析】ss(4t)s(4)(4t)34348t12(t)2(t)3，4812t(t)2.当t0时，48，即在时刻t4的瞬时速度为48.【答案】48 7. 某
10、日中午12时整，甲车自A处以40 km/h的速度向正东方向行驶，乙车自A处以80 km/h的速度向正西方向行驶，至当日12时30分，两车之间距离对时间的平均变化率为_【解析】120(km/h)【答案】120 km/h 8. 经过研究，某个婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，那么该婴儿体重的平均变化率哪一年较大？_(填“第一年”或“第二年”)图311【解析】由题图知，第一年该婴儿体重的平均变化率是0.625；第二年该婴儿体重的平均变化率是0.25.因为0.6250.25，所以第一年该婴儿体重的平均变化率较大【答案】第一年三、解答题 9. 某物体运动的路程s与时间t满足函数关系s(t)v0t
11、gt2(v0，g是常数)求在时间1，1t之间的平均速度v.【解】vv0ggt，即在时间1，1t之间的平均速度为v0ggt. 10. 在F1赛车中，赛车位移与比赛时间t存在函数关系s10t5t2(s的单位：m，t的单位：s)，求当t20时的瞬时速度【解】2105t.当t趋于0时其值为210.t20时的瞬时速度为210(m/s) 11. 已知一物体的运动方程是s求此物体在t1和t4时的瞬时速度【解】当t1时，63t，当t趋于0时，趋于6.故当t1时的瞬时速度为6.当t4时，63t，当t趋于0时，趋于6，故t4时的瞬时速度为6.(教师用书独具)甲、乙两人走过的路程s1(t)，s2(t)与时间t的关系
12、如图所示，试比较两人的速度哪个快？【思路探究】比较相同的时间t内，两人走过的路程的平均变化率的大小即可得出结果【规范解答】在t0处，s1(t0)s2(t0)，但s1(t0t)s2(t0t)，故，所以在相同时间内乙的速度比甲的速度快，因此，在如图所示的整个运动过程中乙的速度比甲的速度快甲、乙两工厂经过排污治理，污水的排放流量(W)与时间(t)的关系如图所示，则治污效率较高的是_【解】在t0处，虽然W1(t0)W2(t0)，但是W2(t0t)0)，所以|，所以工厂甲比工厂乙的治污效率高2导数的概念及其几何意义21导数的概念22导数的几何意义(教师用书独具)三维目标1知识与技能：通过对大量实例进行分
13、析，了解导数概念的实际背景，知道函数的瞬时变化率就是导数，理解导数的概念及其几何意义2过程与方法：通过实例，理解导数在曲线的切点上和运动学中的实际含义和应用，能求函数在某一点的导数及简单函数的导数3情感、态度与价值观：通过具体实例，感受和体会导数在实际问题中的作用，提高学习兴趣，感受导数在物理学、解析几何中的应用重点难点重点：导数的概念难点：导数的几何意义的理解引导学生从学习过的瞬时变化率过渡到导数的学习，理解导数的概念，结合初中学习过的圆的切线通过画图来认识导数的几何意义(教师用书独具)教学建议 本节内容是建立在平均变化率、瞬时变化率的基础上来定义导数的，教学时引导学生体会、认识由平均变化率
14、到瞬时变化率，由瞬时变化率到导数的过程在讲授导数几何意义时可以借助信息技术来让学生观察、体会用割线趋近切线，让学生意识到数形结合思想，从而掌握导数的几何意义教学流程课标解读 1. 理解函数在某点处的导数定义及其几何意义(重点、难点) 2. 通过函数的图像直观地理解导数的几何意义(难点)导数的概念【问题导思】女子跳台在高台跳水运动中，如果我们知道运动员相对于水面的高度h(单位：m)与起跳后的时间t(单位：s)存在关系h(t)4.9t26.5t10，那么我们就能计算起跳后任意一段时间内的平均速度v，通过平均速度v来描述运动员的运动状态，但用平均速度一般不能反映运动员在某一时刻的瞬时速度(1)怎么求
15、运动员在t0时刻的瞬时速度？(2)当x趋于0时，函数f(x)在(x0，x0x)上的平均变化率即为函数f(x)在x0处的瞬时变化率，你能说出其中的原因吗？(3)函数f(x)在x0点的瞬时变化叫什么？【提示】(1)先求运动员在(t0，t0t)间平均速度v，当t趋于0时，平均速度就趋于运动员在t0时刻的瞬时速度(2)当x趋于0时，x0x就无限接近于点x0，这样(x0，x0x)上的平均变化率就可以看作点x0处的瞬时变化率(3)函数f(x)在x0点的导数设函数yf(x)，当自变量x从x0变到x1时，函数值从f(x0)变到f(x1)，函数值y关于x的平均变化率为.当x1趋于x0，即x趋于0时，如果平均变化
16、率趋于一个固定的值，那么这个值就是函数yf(x)在x0点的瞬时变化率在数学中，称瞬时变化率为函数yf(x)在x0点的导数，通常用符号f(x0)表示，记作f(x0)Error! No bookmark name given._Error! No bookmark name given._ 导数的几何意义【问题导思】在函数yf(x)的图像上任取两点A(x1，f(x1)，B(x1x，f(x1x)(1)是函数f(x)在(x1，x1x)上的平均变化率，有什么几何意义？(2)x趋于0时，函数yf(x)在(x1，x1x)上的平均变化率即为函数yf(x)在x1点的瞬时变化率，能否看成函数yf(x)在(x1，f
17、(x1)处的切线斜率？(3)函数yf(x)在x0处的导数的几何意义是什么？【提示】(1)函数yf(x)图像上A，B两点连线的斜率(2)能(3)函数yf(x)图像上点(x0，f(x0)处的切线斜率函数yf(x)在x0处的导数，是曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线的斜率，这就是导数的几何意义求函数的导数求函数yf(x)在x1处的导数【思路探究】先计算函数值的改变量，再代入公式计算，注意y需要化简整理【自主解答】yf(1x)f(1)1，f(1)Error! No bookmark name given. (). 1. 本例的关键是将变形为再利用概念求解概念是分析解决问题的重要依据，只有熟练
18、掌握概念的本质属性，把握其内涵与外延，才能灵活地应用概念进行解题 2. 定义法求导数简记为“一差、二比、三极限”，其步骤如下：(1)求函数值的增量，yf(x0x)f(x0)；(2)求平均变化率，；(3)取极限，f(x0)Error! No bookmark name given. .求函数yf(x)x2在x2处的导数【解】因为y(2x)244x(x)2，4x，Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. (4x)4，所以f(2)4.导数几何意义应用已知曲线yx3，求曲线在点P(3，9)处的切线方程【思路探究】求函数在
19、x3处的导数，从而得切线的斜率，进而求得切线方程【自主解答】由yx3得函数y关于x的平均变化率3x23xx(x)2，当x趋于3，即x趋于0时，平均变化率趋于9，即曲线在P(3，9)处的切线的斜率为9.由直线的点斜式方程可得y99(x3)，所求切线的方程为9xy180. 1. 求函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)，可得切线的斜率kf(x0) 2. 根据直线的点斜式方程，可得切线方程yy0f(x0)(xx0)求曲线yf(x)在点(1，1)处的切线方程【解】.当x趋于0时，趋于1，所以f(1)1.所以所求切线方程为y11(x1)，即xy20.导数的实际意义将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同
20、产品，需要对原油进行冷却和加热，如第x h时，原油的温度(单位：)为f(x)x27x15(0x8)求函数yf(x)在x6处的导数f(6)，并解释它的实际意义【思路探究】先利用导数的定义求f(6)，导数就是瞬时变化率，可解释它的实际意义【自主解答】当x从6变为6x时，函数值从f(6)变到f(6x)，函数值y关于x的平均变化率为5x.当x趋近于6时，即x趋近于0，平均变化率趋近于5，f(6)5.导数f(6)5表示当x6 h时原油温度的瞬时变化率，即原油温度的瞬时变化速度也就是说，如果保持6 h时温度的变化速度，每经过1 h，原油温度将升高5 . 1. 本题的关键是利用导数的定义求出f(6) 2.
21、一般地，函数在某点处的导数即为该点处的瞬时变化率，它反映某时刻的变化状态本例中，求函数yf(x)在x3处的导数f(3)，并解释它的实际意义【解】当x从3到3x时，函数值从f(3)变到f(3x)，函数值的平均变化率为x1.当x趋于3，即x趋于0时，平均变化率趋于1，f(3)1.导数f(3)1表示当x3 h时原油温度的瞬时变化率也就是说，如果保持3 h时温度的变化速度，每经过1 h，原油温度将降低1 .对导数定义理解不透致误已知f(1)2，则Error! No bookmark name given. _【错解】f(1)Error! No bookmark name given. 2.【错因分析】
22、错解的原因是对导数的概念理解不透彻，胡乱套用公式错解中，分子中x的增量是2x，即(12x)12x，而分母中x的增量为x，两者不是等量的【防范措施】在导数的概念中，增量x的形式是多种多样的，可以是2x，2x，x等，但无论是哪种形式，其实质是分子中x的增量与分母中的增量必须保持一致【正解】Error! No bookmark name given. 22Error! No bookmark name given. 2f(1)2(2)4.【答案】4 1. 根据导数的概念求函数的导数是求导数的基本方法 2. 求函数yf(x)在x0处的导数的步骤：(1)求函数值的改变量yf(x0x)f(x0)；(2)求
23、平均变化率；(3)取极限，得导数f(x0)Error! No bookmark name given. . 3. 注意导数的实际意义、几何意义 1. 函数f(x)在xx0处的导数可表示为()Af(x0)f(x0x)f(x0)Bf(x0)Error! No bookmark name given.f(x0x)f(x0)Cf(x0)Error! No bookmark name given. Df(x0)【解析】由函数yf(x)在x0点的导数的概念可知C正确【答案】C 2. 曲线y2x21在点(0，1)处的切线的斜率是()A4B0C4 D不存在【解析】y2(x)2，2x，Error! No boo
24、kmark name given. Error! No bookmark name given. (2x)0，由导数的几何意义可知，函数y2x21在点(0，1)处的切线斜率为0.【答案】B 3. 函数yx在x1处的导数是_【解析】y1x1x1.，y|x1Error! No bookmark name given. 0.【答案】0 4. 求曲线yf(x)x21在点P(1，2)处的切线方程【解】因为点P(1，2)在曲线上，所以切线的斜率即为：f(1)Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. 2，即所求切线的斜率为2，
25、因此，所求的切线方程为y22(x1)，即2xy0.一、选择题 1. 已知f(x)，则Error! No bookmark name given. 的值是()AB2C.D2【解析】Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. .【答案】A 2. 一直线运动的物体，从时间t到tt时，该物体的位移为s，那么Error! No bookmark name given. 为()A在t时刻该物体的瞬时速度B当时间为t时该物体的瞬时速度C从时间t到tt时该物体的平均速度
26、D以上说法均错误【解析】根据导数的概念可知，Error! No bookmark name given. 表示瞬时变化率，即在t时刻该物体的瞬时速度【答案】A 3. 图321如图所示的是yf(x)的图象，则f(xA)与f(xB)的大小关系是()Af(xA)f(xB)Bf(xA)kA，f(xB)f(xA)故选B.【答案】B 4. 曲线f(x)x23x在点A(3，18)处的切线斜率k为()A9 B8 C7 D6【解析】x9.令x趋于零，可知f(x)x23x在x3处的切线斜率k为f(3)9.【答案】A 5. 在曲线yx2上切线倾斜角为的点是()A(0，0)B(2，4)C(，) D(，)【解析】切线的
27、斜率为1，设切点的横坐标为x0，f(x0)Error! No bookmark name given. 2x0，2x01，x0，曲线上的点为(，)【答案】D二、填空题 6. 已知函数yf(x)的图像在点M(1，f(1)处的切线方程是y x2，则f(1)f(1)_【解析】f(1)123，f(1)1，f(1)f(1)4.【答案】4 7. 过点P(1，2)，且与曲线y3x24x2在点M(1，1)处的切线平行的直线方程为_【解析】f(1)Error! No bookmark name given. 2.所求直线方程为y22(x1)即2xy40.【答案】2xy40 8. 函数yx2在x_处的导数值等于其
28、函数值【解析】yf(x)x2在xx0处的导数值为f(x0)Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. (x2x0)2x0.由2x0x，解得x00或x02.【答案】0或2三、解答题 9. 一质点的运动路程s(单位：m)是关于时间t(单位：s)的函数：s2t3，求s(1)，并解释它的实际意义【解】2.当t趋于0时，趋于2，则s(1)2 m/s，导数s(1)表示该质点在t1 s时的瞬时速度是2 m/s. 10. 求函数yf(x)2x24x在x3处的导数【解】f(x)2x24x，yf(3x)f(3)2(3x)24(3x)(
29、23243)12x2(x)24x2(x)216x，2x16.当x趋于0时，趋于16.f(3)16. 11. 求曲线yf(x)x2上过哪一点的切线：(1)平行于直线y4x6；(2)垂直于直线2x6y30.【解】设P(x0，y0)是满足条件的点，f(x0)Error! No bookmark name given. 2x0.(1)切线与直线y4x6平行，2x04.解得x02，y04，即P点的坐标为(2，4)(2)切线与直线2x6y30垂直，2x01.解得x0，y0，即P点的坐标为(，)(教师用书独具)已知曲线处yf(x)上一点P(1，2)，用导数的定义求点P处的切线的倾斜角和切线方程【思路探究】在
30、曲线上某点处的切线的斜率就是曲线在这一点处的导数，所以可以根据导数的定义来求切线的斜率【规范解答】因为yf(1x)f(1)，所以.所以tan Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. 1.所以45，即点P处的切线的倾斜角等于45.由点斜式方程，得点P处的切线方程为y2x1，即xy10.求曲线y在点(，2)处的切线方程【解】Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Erro
31、r! No bookmark name given. 4.曲线在点(，2)处的切线方程为y24(x)，即4xy40.3计算导数(教师用书独具)三维目标1知识与技能：能根据导数的定义求常用函数的导数，掌握基本初等函数的求导公式2过程与方法：利用导数的定义推导简单函数的导数公式3情感、态度与价值观：通过定义求导数的过程，培养学生归纳、探求规律的能力，提高学生的学习兴趣重点难点重点：利用导数的定义求导数难点：导函数的理解教学时引导学生在上节课的基础继续计算在某点处的导数，让学生观察、比较、分析某点x0的变化，如在区间上任取值，进而理解导函数的概念(教师用书独具)教学建议 本节课是上节课的继续、延伸，
32、教学时让学生充分理解f(x0)与f(x)的关系本节课宜采用探究式课堂教学模式，以“f(x0)与f(x)的之间的关系”为探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生在“活动”中学习，在“探究”中提高教学流程课标解读 1. 能根据导数的定义求几种常用函数的导数，并能熟练运用(重点) 2. 掌握基本初等函数的求导公式，并能利用这些公式求基本初等函数的导数(重点、难点)导函数【问题导思】对于函数yx22x，如何求f(1)、f(x)？f(x)与f(1)有何关系？【提示】f(1)Error! No bookmark name given. .f(x)Error! No bookma
33、rk name given. .f(1)可以认为把x1代入导数f(x)得到的值 1. 导数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)，f(x)Error! No bookmark name given._，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数 2. 几种常见函数的导数原函数导函数yC(C是常数)y0yx(为实数)yx1yax(a0，a1)yaxln_xyexyexylogax(a0，a1)yyln xyysin xycos_xycos xysin_xytan xyycot xy用定义法求导数已知函数yf(x)3x22x1.
34、(1)利用导数的定义求f(x)；(2)利用f(x)分别求函数yf(x)在点x0和x1处的导数【思路探究】(1)先求函数f(x)在区间x，xx上的平均变化率，再求当x趋于0时平均变化率的极限值，即得f(x)；(2)将x0和x1分别代入f(x)即可求解【自主解答】(1)yf(xx)f(x)3(xx)22(xx)1(3x22x1)(26x)x3(x)2，26x3x，当x趋于0时，可以得到导数f(x)Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. (26x3x)26x.(2)由(1)得f(x)26x，则f(0)2602，f(1
35、)2614. 1. 本题揭示了f(x)与f(x0)的关系，即f(x0)是导数f(x)在xx0时的函数值 2. 求函数yf(x)的导函数的步骤：(1)求yf(xx)f(x)；(2)求；(3)计算Error! No bookmark name given. f(x)这些步骤可以概括为“一差”、“二比”、“三极限”求函数yf(x)3x1的导函数f(x)，并利用f(x)求f(2)，f(4)【解】yf(xx)f(x)3(xx)1(3x1)3x，Error! No bookmark name given. 3.f(x)3.f(2)3，f(4)3.利用导数公式求导数求下列函数的导数：(1)yx12；(2)y
36、x；(3)y；(4)y.【思路探究】把所给函数化成yxn的形式，利用导数公式表直接求解【自主解答】由导数公式表，得(1)y12x12112x11；(2)yxx，yx1；(3)yx4，y4x5；(4)yx，yx. 1. 公式应用要准确 2. 在利用导数公式求导数时，要注意将分式、根式转化为幂形式，然后求导求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2x；(4)ylog2x.【解】(1)y()(x2)2x3；(2)y()(x)x；(3)y(2x)2xln 2；(4)y(log2 x).导数的应用求曲线ysin x在点(，)处的切线方程【思路探究】利用导数先求出切线的斜率，再求出切线方程【自主解答
37、】ycos x，曲线ysin x在点(，)处的切线的斜率为cos ，曲线ysin x在点(，)处的切线方程为y(x)，即yx. 1. 本题的易错点是记错公式 2. 已知切点坐标求曲线的切线方程，则曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)已知曲线C：yf(x)x3，求曲线C上横坐标为1的点处的切线方程【解】由导数公式表，得f(x)3x2.f(1)3，且切点坐标为(1，1)由点斜式，得切线方程为y13(x1)，即3xy20.混淆函数形式求导出错求下列函数的导数：(1)已知函数f(x)ln 2，则f(x)_；(2)已知函数f(x)，则f(x)_【错解】(1)
38、(ln x)，(ln 2).f(x).(2)()，().f(x).【错因分析】错解中被函数形式所迷惑，把常数函数看成其他基本初等函数(如f(x)ln x，f(x)，盲目地套用公式而出错【防范措施】学习了导数公式，为解决导数计算问题提供了方便，但导数公式的应用一定要恰到好处在解题的过程中，首先要看清函数的形式，再考虑应该运用到哪些导数公式【正解】(1)f(x)ln 2(常数)，f(x)0.(2)f(x)(常数)，f(x)0. 1. 利用导数的定义计算函数yf(x)在x0处的导数的步骤：(1)计算yf(x0x)f(x0)；(2)确定；(3)当x0时，得到导数f(x0)Error! No bookm
39、ark name given. . 2. 利用导数公式表计算导数 1. f(x)sin x，则f(0)()A0B.CD1【解析】(sin x)cos x，f(0)cos 01.【答案】D 2. 函数f(x)8的导数是()A0 B负数 C正数 D不确定【解析】因为yC(C是常数)，y0所以f(x)0.【答案】A 3. yx2的斜率为2的切线方程是_【解析】设切点为P(x0，y0)，则f(x0)2x02.x01，点P为(1，1)，则切线方程为y12(x1)，即2xy10.【答案】2xy10 4. 求曲线yex在点(2，e2)处的切线方程【解】对于函数yex，令yf(x)，则f(x)(ex)ex，故
40、曲线yex在点P(2，e2)处的切线的斜率为f(2)e2，由点斜式得切线方程为ye2e2(x2)，即ye2xe2.一、选择题 1. 若f(x)log3x，则f(3)()A.Bln 3C.D.【解析】f(x)，f(3).【答案】C 2. 曲线y在点(3，)处的切线的斜率为()A3 B. C. D【解析】y，在点(3，)处的切线斜率为k.【答案】D 3. 下列结论：(cos x)sin x；cos ；若f(x)，则f(3).其中正确的有()A0个 B1个C2个 D3个【解析】直接利用导数公式因为(cos x)sin x，所以错误；sin，而0，所以错误；(x2)2x3，则f(3)，所以正确故选B.
41、【答案】B 4. 设f0(x)sin x，f1(x)f0(x)，f2(x)f1(x)，fn1(x)fn(x)，nN，则f2 012(x)等于()Asin x Bsin xCcos x Dcos x【解析】f1(x)cos x，f2(x)sin x，f3(x)cos x，f4(x)sin x，f5(x)cos x，f6(x)sin x，f7(x)cos x，f8(x)sin x，故fn(x)以4为周期，f2 012(x)f5034(x)f4(x)sin x.【答案】A 5. 已知f(x)xa，若f(1)5，则a的值等于()A4 B4C5 D5【解析】由f(x)xa可得f(x)axa1，f(1)a
42、(1)a15，a5.【答案】C二、填空题 6. 若f(x)ex，则f(2)_【解析】f(x)ex，f(2)e2.【答案】e2 7. 已知0x，f(x)x2，g(x)，则f(x)与g(x)的大小关系是_【解析】f(x)2x，g(x).0x，0f(x)1.f(x)g(x)【答案】f(x)0)的一条切线，则实数b_【解析】对曲线对应的函数求导得y，令得x2，故切点坐标是(2，ln 2)，代入直线方程，得ln 22b，所以bln 21.【答案】ln 21三、解答题 9. 求下列函数的导数(1)y2；(2)y；(3)y10x；(4)ylogx；(5)y2cos21.【解】(1)c0，y20.(2)(xn
43、)nxn1，y()(x)x1x.(3)(ax)axln a，y(10x)10xln 10.(4)(logax)，y(logx).(5)y2cos21cos x，y(cos x)sin x. 10. 已知函数yf(x)asin xb的图像过点A(0，0)、B(，1)，试求函数在原点处的切线方程【解】由已知得即yf(x)sin x，f(0)1，切线方程为yx. 11. 当常数k为何值时，直线yxk才能与函数yx2的图像相切？并求出切点【解】设切点为A(x0，x)，y2x，当k时，直线yx与函数yx2的图像相切，且切点为.(教师用书独具)已知P(1，1)、Q(2，4)是曲线yx2上的两点，求与直线P
44、Q平行的曲线yx2的切线方程【思路探究】设出切点(x0，y0)，根据f(x0)kPQ求解【规范解答】yx2的导数为y2x，设切点M(x0，y0)，则y|xx02x0.直线PQ的斜率k1，又曲线yx2在点M处的切线平行于PQ，ky|xx02x01，x0，切点为M(，)，所求的切线方程为yx，即4x4y10.求曲线y在点(2，)处的切线方程【解】y()，双曲线y在点(2，)的切线的斜率为y|x2，由直线方程的点斜式，得切线方程为y(x2)，即yx1.4导数的四则运算法则41导数的加法与减法法则42导数的乘法与除法法则(教师用书独具)三维目标1知识与技能：掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则并能运
45、用2过程与方法：通过求导法则的推导，培养学生从具体到抽象，从特殊到一般的概括能力3情感态度与价值观：发展学生善于质疑，善于交流的情感重点难点重点：导数的四则运算难点：导数的四则运算进行相关运算教学时引导学生根据导数的定义来推导导数的四则运算，通过推导、检验来加深四则运算法则，通过例题与练习进一步强化、熟练四则运算的求导，从而突出重点、化解难点(教师用书独具)教学建议 本节内容是前几节课的继续，它将求导数问题由理论化转为公式化，使较复杂的过程简单化，为下节课研究函数的单调性和极值提供了方便，在教学时通过设疑、引导、启发等形式，采用启发式与发现法相结合的教学方法，引导学生学会自主观察、类比、分析、
46、归纳等学习方法教学流程课标解读 1. 了解函数的和、差、积、商的导数公式的推导. 2. 掌握两个函数的和、差、积、商的求导法则，能正确运用求导法则求某些简单函数的导数(重点、难点)导数的加、减法则【问题导思】已知函数f(x)，g(x)x.(1)如何求h(x)f(x)g(x)的导数？(2)f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？【提示】(1)用定义，由h(x)x，得h(xx)h(x)xxxx.则f(x)Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. (1)1.(2)成立两个函数和(差)的导数等于这两个函数导数的和(差)，
47、即f(x)g(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)f(x)g(x)导数的乘、除法则【问题导思】已知函数f(x)x3，g(x)x2.(1)f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)成立吗？(3)成立吗？(4)成立吗？【提示】(1)不成立；(2)成立；(3)不成立；(4)成立若两个函数f(x)和g(x)的导数分别是f(x)和g(x)，则f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)，特别地，当g(x)k时，有kf(x)kf(x)利用导数的加法与减法法则求导求下列函数的导数(1)y2x3x2x1；(2)yx4cos x；(3)yexln x.【
48、思路探究】利用导数公式和加法运算法则求解【自主解答】(1)y(2x3)(x2)(x)16x22x1；(2)y(x4)(cos x)4x3sin x；(3)y(ex)(ln x)ex. 1. 准确应用公式、法则是解答本题的关键 2. 利用导数公式和运算法则可以比较简捷地求出函数的导数求下列函数的导数(1)yx5log2x；(2)yxtan x.【解】(1)y(x5)(log2x)5x4；(2)yx(tan x)1.利用函数的乘法与除法法则求导求下列函数的导数：(1)y(2x23)(3x2)；(2)y2xcos x3xln x；(3)y.【思路探究】利用导数的四则运算法则及导数公式表求解【自主解答
49、】(1)法一y(2x23)(3x2)(2x23)(3x2)4x(3x2)(2x23)318x28x9.法二y(2x23)(3x2)6x34x29x6，y18x28x9.(2)y(2xcos x3xln x)(2x)cos x2x(cos x)3xln xx(ln x)2xln 2cos x2xsin x3(ln xx)2xln 2cos x2xsin x3ln x3.(3)y. 1. 运算过程易出现失误，原因是不能正确理解求导法则，特别是商的求导法则求导过程中符号判断不清，也是导致错误的原因 2. 理解和掌握求导法则和公式的结构规律是灵活进行求导运算的前提条件求下列函数的导数：(1)yxlog
50、5x；(2)y.【解】(1)yxlog5xx(log5x)log5xlog5x.(2)y.导数的综合应用求过点P(1，1)且与曲线f(x)x32x相切的直线方程【思路探究】利用导数四则运算法则求导再根据导数的几何意义即可求切线方程【自主解答】设P(x0，y0)为切点，则切线斜率为：kf(x0)3x2.故切线方程为yy0(3x2)(xx0)(1)(x0，y0)在曲线上，y0x2x0.(2)又(1，1)在切线上，将(2)式和(1，1)代入(1)式得1(x2x0)(3x2)(1x0)，解得x01或x0.故所求的切线方程为：y1x1或y1(x1)即xy20或5x4y10. 1. 本题易出现把P作为切点
51、求出一个答案的错误情况 2. 求过某点的曲线的切线方程时，该点不一定是切点，所以必须先设出切点本例中，把“过”改为“在点P(1，1)处”，求切线方程，并求切线与坐标轴围成的三角形面积【解析】f(x)x32x，f(x)3x22.f(1)31221.所以切线方程为y1x1即xy20.当x0时，y2，当y0时，x2.所以切线与坐标轴围成的三角形面积是S2|2|2.利用导数求参数(12分)已知f(x)是一次函数，x2f(x)(2x1)f(x)1，求f(x)的解析式【思路点拨】根据f(x)是一次函数，设f(x)ax2bxc(a0)，再利用导数公式、运算法则求解即可【规范解答】由f(x)是一次函数，可知f
52、(x)为二次函数，设f(x)ax2bxc(a0).2分则f(x)2axb代入x2f(x)(2x1)f(x)1.4分可得x2(2axb)(2x1)(ax2bxc)1.即(ab)x2(b2c)xc10.8分要使上式对任意x恒成立，则解得a2，b2，c1.11分所以f(x)2x22x1.12分利用导数求解参数问题，是高考的热点问题，它比较全面地考查了导数的工具性作用，本部分常与函数中的“待定系数法”及“数形结合法”结合使用题目中根据题意利用待定系数法巧设f(x)的形式是解题关键 1. 运用导数公式和求导的运算法则时，要认真分析函数式的特点，较复杂的要先化简 2. 求切线方程(1)求过点P的曲线的切线
53、方程时应注意，P点在曲线上还是在曲线外，两种情况的解法是不同的(2)解决此类问题应充分利用切点满足的三个关系：一是切点坐标满足曲线方程；二是切点坐标满足对应切线的方程；三是切线的斜率是函数在此切点处的导数值 1. 若ycos xex则y等于()Asin xexBsin xexCsin x Dsin x【解析】y(cos x)(ex)sin xex.【答案】A 2. 下列运算正确的是()A(ax2bxc)a(x2)b(x)B(sin x2x2)(sin x)2(x2)C(cos xsin x)(sin x )cos x(cos x)cos xD.【解析】根据导数的四则运算法则易知A正确【答案】A
54、 3. 已知yxex则y_【解析】y(xex)xexx(ex)exxex.【答案】exxex 4. 求f(x)x在(1，1)处的切线方程【解】f(x)()x1，f(1)3.切线方程为y13(x1)，即3xy40.一、选择题 1. 函数f(x)x3cos x，则f(x)等于()A3x2xsin xBx2xsin xC3x2xsin xD3x2xsin x【解析】f(x)(x3)()(cos x)3x2xsin x.【答案】D 2. (2012宿州高二检测)曲线y在点M(，0)处的切线的斜率为()AB.C D.【解析】y，把x代入得导数值为，即为所求切线的斜率【答案】B 3. 函数f(x)的导数是
55、()A.(x0) B.C. D.【解析】f(x)x，f(x)x.【答案】C 4. (2012三亚高二检测)设曲线y在点(3，2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2 B.C D2【解析】y1，y.曲线y在点(3，2)处的切线斜率为ky|x3，由题意知axy10斜率为k2，a2.【答案】D 5. 若f(x)x22x4ln x，则f(x)0的解集为()A(0，) B(1，0)(2，)C(2，) D(1，0)【解析】函数的定义域为(0，)，令f(x)2x20，利用数轴标根法可解得x2，故选C.【答案】C二、填空题 6. 若函数f(x)2exsin x，则f(x)_【解析】f(x)2exsin
56、x2excos x2ex(sin xcos x)【答案】2ex(sin xcos x) 7. 设函数f(x)的导数为f(x)，且f(x)x22xf(1)，则f(0)_【解析】f(x)2x2f(1)f(1)22f(1)，f(1)2f(0)2f(1)4.【答案】4 8. (2013江西高考)若曲线yx1(R)在点(1，2)处的切线经过坐标原点，则_【解析】因为yx1，所以在点(1，2)处的切线斜率k，则切线方程为y2(x1)又切线过原点，故02(01)，解得2.【答案】2三、解答题 9. 求下列函数的导数(1)y；(2)ycos x.【解】(1)y().(2)法一：y(cos x)()cos x(
57、cos x)(x)cos xsin xxcos xsin xsin x.法二：y(cos x)(). 10. 已知函数yf(x)x3bx2cxd的图像过点P(0，2)，且在点M(1，f(1)处的切线方程为6xy70.求函数yf(x)的解析式【解】由f(x)的图像经过P(0，2)，知d2，所以f(x)x3bx2cx2，f(x)3x22bxc.由在M(1，f(1)处的切线方程是6xy70，知6f(1)70，即f(1)1，f(1)6.即解得bc3.故所求的解析式是f(x)x33x23x2. 11. 设函数f(x)满足af(x)bf()(a，b，c均为常数，且|a|b|)，试求f(x)【解】af(x)
58、bf()，以代替x，得bf(x)af()cx.由消去f()，得f(x)(bcx)f(x)()(bcx)(bc)(bc)(教师用书独具)已知抛物线yax2bxc通过点(1，1)，且在点(2，1)处与直线yx3相切，求a、b、c的值【思路探究】题中涉及三个未知量，已知中有三个独立条件，因此，要通过解方程组来确定a、b、c的值【规范解答】因为yax2bxc过点(1，1)，所以abc1.y2axb，曲线在点(2，1)的切线的斜率为4ab1.又曲线过点(2，1)，所以4a2bc1.由解得所以a、b、c的值分别为3、11、9.设f(x)aexbln x且f(1)e，f(1)，求a，b的值【解】由f(x)a
59、exbln x，得f(x)aex.根据题意应有解得导数的定义对于导数的定义，必须明确定义中包含的基本内容和x0的方式，掌握用定义求导数的三个步骤以及用定义求导数的一些简单变形利用导数的定义求函数y的导数【思路点拨】根据求导的步骤求解即可【规范解答】yError! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. .设f(x)在x处可导，则Error!
60、No bookmark name given. ()A2f(h)B.f(x)Cf(x) D4f(x)【解析】Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. f(x)【答案】C导数的几何意义函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是曲线yf(x)在点P(x0，f(x0)处的切线的斜率，其切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，因此，关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决已知曲线yf(
61、x).(1)求曲线在点P(1，1)处的切线方程；(2)求曲线过点Q(1，0)的切线方程【思路点拨】利用导数的几何性质确定曲线在某点处的切线的斜率，进而可解决曲线的切线问题【规范解答】(1)y，又P(1，1)是曲线上的点，P为切点所求切线的斜率为kf(1)1.曲线在P点处的切线方程为y1(x1)，即yx2.(2)点Q(1，0)不在曲线y上，则可设过点Q的切线的切点为A(a，)(a0)，则该切线的斜率为k1f(a).则切线方程为y(xa)将Q(1，0)代入方程得0(1a)，解得a，故所求切线方程为y4x4.已知点P在曲线y上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是()A0，) B，)C(，
62、D，)【解析】y1，即1tan 0，所以0，并且对于任意实数x，都有f(x)0，则的最小值为_【思路点拨】f(x)0及f(x)0求出a，b，c的不等关系，再结合基本不等式的性质求解【解析】f(x)2axb，则f(0)b0.因为对于任意实数x，都有f(x)0，则a0，且对于方程ax2bxc0，b24ac0，所以b24ac，则必有c0，故.所以121212.【答案】2已知函数f(x)ax3x21(xR)，其中a0，若a1，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程【解】当a1时，f(x)x3x21，f(2)23413，f(x)3x23x，f(2)6.当a1时，f(x)在(2，f(2)，即(2，
63、3)处的切线方程为y36(x2)，即y6x9.综合检测(三)(时间90分钟，满分120分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知函数yx21的图像上一点(1，2)及邻近一点(1x，2y)，则Error! No bookmark name given. ()A2B2xC2x D2x2【解析】Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. Error! No bookmark name given. (x2)2.【答案】A 2. 设f(x)(3x
64、32)(x25)，则f(x)等于()A15x445x24x B15x4C15x445x2 D45x24x【解析】f(x)3x515x32x210，f(x)15x445x24x.【答案】A 3. f(x)在点(1，)处的切线方程为()Ax2y20 Bx2y20Cx2y20 Dx2y20【解析】f(x)，f(x)，f(1)，切线方程为y(x1)，即x2y20.【答案】B 4. 若f(x)ax33x22，f(1)3，则a的值等于()A5 B4C3 D6【解析】f(x)ax33x22，f(x)3ax26x，f(1)3a63，a3.【答案】C 5. 运动物体的位移s3t22t1，则此物体在t10时的瞬时
65、速度为()A281 B58C85 D10【解析】s6t2，当t10时，s610258.【答案】B 6. 函数y的导数是()A B.C D【解析】y().【答案】C 7. 曲线yf(x)x33x21在点(2，3)处的切线方程为()Ay3x3 By3x1Cy3 Dx2【解析】因为yf(x)3x26x，则曲线yx33x21在点(2，3)处的切线的斜率kf(2)322620，所以切线方程为y(3)0(x2)，即y3.【答案】C 8. (2013大纲全国卷)已知曲线yx4ax21在点(1，a2)处切线的斜率为8，则a()A9 B6C9 D6【解析】y4x32ax，由导数的几何意义知在点(1，a2)处的切
66、线斜率ky|x142a8，解得a6.【答案】D 9. 点P在曲线yx3x上移动，设点P处切线的倾斜角为，则的取值范围是()A(0，) B0，)，C，) D(，【解析】y3x211，tan 1，0，)，0，)，)【答案】B 10. 设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g(3)0，则不等式f(x)g(x)0的解集是()A(3，0)(3，)B(3，0)(0，3)C(，3)(3，)D(，3)(0，3)【解析】f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，故函数F(x)f(x)g(x)是R上的奇函数由奇函数的图像关于原点对称知，F(x)在原点两侧的单调性相同又F(x)f
67、(x)g(x)f(x)g(x)，依据条件知，F(x)在x0时亦为增函数因g(x)为偶函数且g(3)0，故g(3)0，从而F(3)F(3)0.作出满足条件的F(x)的示意图如图所示，由图易知，F(x)0的解集为(，3)(0，3)，故选D.【答案】D二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 11. 在平面直角坐标系xOy中，点P在曲线C：yx310x3上，且在第二象限内，已知曲线C在点P处的切线的斜率为2，则点P的坐标为_【解析】y3x210，设切点P(x0，y0)(x00)，则点P处切线斜率k3x102，x02.P点坐标为(2，15)【答案】(2，15) 12. y3tan x，则y等
68、于_【解析】y3(tan x).【答案】 13. 已知函数f(x)138x2x2且f(x0)4，则x0_【解析】f(x)84x，由f(x0)84x04，x03.【答案】3 14. 已知aR，f(x)(x24)(xa)且f(1)0，则a_【解析】f(x)(x24)(xa)，f(x)3x22ax4.又f(1)32a40，a.【答案】三、解答题(本大题共4小题，共50分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 15. (12分)求下列函数的导数(1)y3x2xcos x；(2)y；(3)y.【解】(1)y(3x2)(xcos x)6xxcos xx(cos x)6xcos xxsin x.(2)法
69、一：y.法二：y().(3)yx12x25x3，yx22(2)x35(3)x4. 16. (12分)求过曲线ycos x上点P(，)且与过这点的切线垂直的直线方程【解】ycos x，ysin x.曲线在点P(，)处的切线斜率是y|xsin .过点P且与切线垂直的直线的斜率为.所求直线方程为y(x)即2xy0. 17. (12分)已知函数f(x)aln xx2.(1)若a1，求f(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)对于任意x2使得f(x)x恒成立，求实数a的取值范围【解】(1)当a1时，f(x)ln xx2，则f(x)2x，故在点(1，f(1)处的切线斜率为kf(1)3，又f(1)1，即
70、切点为(1，1)，故切线方程为y13(x1)，即3xy20.(2)当x2时，f(x)x，即2xx(x2)恒成立，即ax2在x2，)上恒成立令tx2，当x2，)时，易知tmax4，为使不等式ax2恒成立，则a4，故实数a的取值范围为4，) 18. (14分)(2012西安高二检测)设函数f(x)|1|，点P(x0，y0)(0x01)在曲线yf(x)上，求曲线在点P处的切线与x轴和y轴的正向所围成的三角形面积的表达式(用x0表达)【解】0x1时，yf(x)|1|1，f(x0)，0x01.曲线yf(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为yy0(xx0)，即y，切线与x轴，y轴正向的交点分别为(x0(2x0)，0)和(0，(2x0)故所求三角形面积表达式为x0(2x0)(2x0)，即(2x0)2.
