1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。71.2复数的几何意义1777年，数学家欧拉首次提出用i表示平方等于1的新数，1801年，数学家高斯系统使用了i这个符号，使之通行于世高斯不仅阐述了复数的加减法和乘法，而且将复数abi表示为复平面的一点(a，b)，这也和向量运算是一致的使人们对复数不再有种神秘的印象，几何表示可以使人们对复数真正有一个新的认识【问题1】把复数放到坐标平面时，横轴、纵轴会发生怎样的变化？【问题2】把复数放到坐标平面时，这一坐标平面怎么称呼？1复平面通过建立平面直角坐标系来表示复数的平面称为复
2、平面，x轴称为实轴，y轴称为虚轴实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数2复数的几何意义1本质：建立了复数与复平面上的点，复数与向量的对应关系2混淆：复数与原点为起点的向量一一对应，并非复平面上的所有向量复平面、实轴、虚轴与复数的对应(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数zabi(a，bR)可用点Z(a，b)表示(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z00i0，表示的是实数实轴上的点表示实数，虚轴上的点表示虚数，这句话对吗？
3、提示：不正确实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0，0)，它所确定的复数是z00i0，表示的是实数3复数的模向量的模称为复数zabi的模或绝对值，记作|z|或|abi|.即|z|abi|，其中a，bR.如果b0，那么zabi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值).4共轭复数(1)定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数(2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果zabi，那么abi.对复数模的三点说明(1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而复数
4、的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不能比较大小(2)数的角度理解：复数abi(a，bR)的模|abi|，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小(3)几何角度理解：表示复数的点Z到原点的距离|z1z2|表示复数z1，z2对应的两点之间的距离1复数的模一定是正数吗？提示：不一定，复数的模是非负数，即|z|0，当z0时，|z|0；反之，当|z|0时，必有z0.2互为共轭复数的两个复数有什么特点？提示：实部相等，虚部相反，模相同1.复平面内的点与复数是一一对应吗？2复数即为向量，反之，向量即为复数，这种
5、说法是否正确？3复数的模一定是正实数吗？4复数与向量一一对应吗？提示：1.是2.不是3.不是4.不是1已知复数zi，复平面内对应点Z的坐标为()A(0，1) B(1，0)C(0，0) D(1，1)【解析】选A.复数zi的实部为0，虚部为1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，1).2已知复数z的实部为1，虚部为2，则|z|_【解析】|z|.答案：基础类型一复数与复平面上点的对应关系(直观想象)1(2021白银高一检测)已知复数z2i3，则z在复平面内对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限2向量a(2，1)所对应的复数是()Az12iBz12iCz12iDz2i3实数x分别取什
6、么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在：(1)第三象限；(2)直线xy30上【解析】1.选D.复数z2i在复平面内对应的点为(2，1)，在第四象限2选D.向量a(2，1)所对应的复数是z2i.3因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数(1)当实数x满足即当3x2时，点Z在第三象限(2)zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)，当实数x满足(x2x6)(x22x15)30，即当x2时，点Z在直线xy30上利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数zabi(a，bR)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据
7、(2)列出方程(组)或不等式(组)：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解微提醒：复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示基础类型二复数与向量的对应关系(数学抽象)【典例】在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为14i，3i，2，O为复平面的坐标原点(1)求向量和对应的复数；(2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数【解析】(1)由已知得，所对应的复数分别为14i，3i，2，则(1，4)，(0，3)，(2，0)，因此(1，1)，(1，4)，故对应的复数为1i，对应的复数为14i.(2)方法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1，4)，
8、(0，3)，(2，0)，则AC的中点为，由平行四边形的性质知BD的中点也是，若设D(x0，y0)，则有解得故D(3，7). 点D对应的复数为37i.方法二：由已知得(1，4)，(0，3)，(2，0)，所以(1，7)，(2，3)，由平行四边形的性质得(3，10)，所以(3，7)，于是D(3，7).点D对应的复数为37i.【备选例题】在复平面内，O是原点，向量对应的复数为2i.(1)如果点A关于实轴的对称点为点B，求向量对应的复数；(2)如果(1)中的点B关于虚轴的对称点为点C，求点C对应的复数【解析】(1)设向量对应的复数为z1x1y1i(x1，y1R)，则点B的坐标为(x1，y1)，由题意可知
9、，点A的坐标为(2，1).根据对称性可知：x12，y11，故z12i.(2)设点C对应的复数为z2x2y2i(x2，y2R)，则点C的坐标为(x2，y2)，由对称性可知：x22，y21，故z22i.【知识拓展】点A(a，b)关于x轴的对称点为B(a，b)，点A(a，b)关于y轴的对称点为B(a，b)，点A(a，b)关于原点的对称点为B(a，b)，点A(a，b)关于yx的对称点为B(b，a)，点A(a，b)关于yx的对称点为B(b，a).1若复数zabi(a，bR)则复数z在复平面内对应的向量(a，b).2解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平
10、面内的点、向量之间的转化微提醒：一个向量不管怎样平移，它所对应的复数是不变的，但其起点与终点对应的复数可能改变复数43i与25i分别表示向量与，则向量表示的复数是_【解析】因为复数43i与25i分别表示向量与，所以(4，3)，(2，5)，又(2，5)(4，3)(6，8)，所以向量表示的复数是68i.答案：68i综合类型复数的模与共轭复数(逻辑推理、数学运算)复数的模【典例】设z为纯虚数，且|z1|1i|，则复数z_【解析】因为z为纯虚数，所以设zai(aR，且a0)，则|z1|ai1|.又因为|1i|，所以，即a21，所以a1，即zi.答案：i1复数zabi模的计算：|z|.2转化思想：利用模
11、的定义将复数模的条件转化为其实虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想【加固训练】若复数z(a2a6)i是实数，其中a是实数，则z1(a1)(12a)i的模为_【解析】因为z为实数，所以a2a60，所以a2或3.因为a2时，z无意义，所以a3，所以z125i，所以|z1|.答案：共轭复数【典例】(2021西安高一检测)在复平面内，复数z1i，则对应的点位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限【解析】选D.因为复数z1i，所以1i，则在复平面内对应的点的坐标为(1，1)，位于第四象限共轭复数的求法及其关系(1)复数zabi(a，bR)的共轭复数为abi.(2)互为共轭复数的模相等微提
12、醒：互为共轭复数的两个复数对应的点关于实轴对称实数的共轭复数是它本身【加固训练】 已知复数z62i(i为虚数单位)，则在复平面内z的共轭复数所对应的点为()A(6，2) B(6，2)C(2，6) D(2，6)【解析】选B.由题意，可知62i，则在复平面内所对应的点为(6，2). 1已知zm1(m2)i在复平面内对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是()A(1，2) B(2，1)C(1，) D(，2)【解析】选B.因为zm1(m2)i在复平面内对应的点在第二象限，所以m10，解得2m1，则实数m的取值范围是(2，1).2在复平面内，若(0，5)，则对应的复数为()A0 B5 C5i D5【解析】选C.对应的复数z05i5i.3已知复数z(m3)(m1)i的模等于2，则实数m的值为()A1或3 B1C3 D2【解析】选A.依题意可得2，解得m1或3.4i为虚数单位，设复数z1，z2在复平面内对应的点关于原点对称，若z123i，则z2_【解析】因为z123i，所以z1对应的点为(2，3)，关于原点的对称点为(2，3).所以z223i.答案：23i5已知复数z满足|z|1，|z1|1，求复数z.【解析】设zabi(a，bR)，解得或所以zi.关闭Word文档返回原板块
