1、2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设i是虚数单位，复数i（1+ai）为纯虚数，则实数a为（）A1B0C1D22已知集合P=x|1x1，M=a，若PM=，则a取值范围是（）A（，1B1，+）C1，1D（，1）（1，+）3实验测得四组数对（x，y）的值为（1，2），（2，5），（4，7），（5，10），则y与x之间的回归直线方程可能是（）ABCD4已知双曲线的一个顶点坐标为（2，0），则此双曲线的渐近线方程为（）ABCy=2xD5要得到函数的图象，只要将函数y=sinx的图象（）
2、A先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍B先向右平移个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍C先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍D先向右平移个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍6张丘建算经是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，共织三十日，问共织几何？”其意思是：“一女子织布30天，每天所织布的数以相同的数递减，第一天织布5尺，最后一天织布1尺，则30天共织布多少尺？”那么该女子30天共织布（）A70尺B80尺C90尺D100尺7某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填（）Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？8一
3、个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）ABCD9函数f（x）=aexsinx在x=0处有极值，则a的值为（）A1B0C1De10若变量x，y满足的约束条件是，且z=2x+y的最小值为6，则k=（）A0B2C2D1411已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P为C的准线上一点，Q（在第一象限）是直线PF与C的一个交点，若，则QF的长为（）ABCD12函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1x2）都有，记，则a，b，c之间的大小关系为（）AabcBbcaCcbaDacb二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知数列an满足：a1=1，an=2an1（n2，
4、nN），则其前6项的和S6=14若命题“存在xR，使得aex0成立”为假命题，则实数a的取值范围为15一个正方体的顶点都在球面上，已知球的体积为36，则正方体的棱长为16已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cosPOQ=三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinBasinC=0（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求ABC的面积S18某环保部门对A，B，C三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个
5、城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如表所示：A城B城C城优（个）28xy良（个）3230z已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B城市空气质量为优的数据的概率为0.2（1）现用分层抽样的方法，从上述180个数据汇总抽取30个进行后续分析，求在C城中应抽取的数据的个数；（2）已知y23，z24，求在C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率19在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C为矩形，D，E，F分别是线段BB1，AC1，A1C1的中点（1）求证：DE平面A1B1C1；（2）若平面ABC平面BB1
6、C1C，BB1=4，求三棱锥CAC1D的体积20已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，在x轴上有一点M（3，0）满足（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=2交于点B，且，判断并证明直线l与椭圆C的交点个数21函数f（x）=lnx（k+1）x（k1）（1）若f（x）无零点，求k的取整数时的最小值；（2）若存在x2e，3e使得f（x）0，求实数k的取值范围选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交
7、点为Q，求线段PQ的长选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|kx1|（）若f（x）3的解集为2，1，求实数k的值；（）当k=1时，若对任意xR，不等式f（x+2）f（2x+1）32m都成立，求实数m的取值范围2017年湖南省永州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求.1设i是虚数单位，复数i（1+ai）为纯虚数，则实数a为（）A1B0C1D2【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简复数i（1+ai），结合已知条件即可求得实数a的值【解答】解：i（1+
8、ai）=a+i为纯虚数，a=0，即a=0故选：B2已知集合P=x|1x1，M=a，若PM=，则a取值范围是（）A（，1B1，+）C1，1D（，1）（1，+）【考点】交集及其运算【分析】利用交集的定义直接求解【解答】解：集合P=x|1x1，M=a，PM=，a1或a1a取值范围是（，1）（1，+）故选：D3实验测得四组数对（x，y）的值为（1，2），（2，5），（4，7），（5，10），则y与x之间的回归直线方程可能是（）ABCD【考点】线性回归方程【分析】求出样本中心点的坐标，即可得到结果【解答】解：由题意可知=3， =6，回归直线方程经过（3，6）代入选项，A符合故选：A4已知双曲线的一个顶点
9、坐标为（2，0），则此双曲线的渐近线方程为（）ABCy=2xD【考点】双曲线的简单性质【分析】双曲线的一个顶点坐标为（2，0），可得m=4，即可得到双曲线的渐近线方程【解答】解：双曲线的一个顶点坐标为（2，0），m=4，双曲线的渐近线方程为y=故选D5要得到函数的图象，只要将函数y=sinx的图象（）A先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍B先向右平移个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍C先向左平移个单位，再将各点横坐标变为原来的倍D先向右平移个单位，再将各点横坐标变为原来的2倍【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】利用函数y=Asin（x+）的图象变换规律，得出结论【解答】
10、解：将函数y=sinx的图象先向左平移个单位，可得y=sin（x+）的图象，再将各点横坐标变为原来的倍，可得函数的图象，故选：C6张丘建算经是我国古代数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织布，每天所织的布以同数递减，初日织五尺，末日织一尺，共织三十日，问共织几何？”其意思是：“一女子织布30天，每天所织布的数以相同的数递减，第一天织布5尺，最后一天织布1尺，则30天共织布多少尺？”那么该女子30天共织布（）A70尺B80尺C90尺D100尺【考点】等差数列的前n项和【分析】设该女子每天所织布的数以d尺的数递减，由第一天织布5尺，最后一天织布1尺，利用等差数列通项公式求出d=，由此利用等差数列
11、求和公式能求出30天共织布多少尺【解答】解：设该女子每天所织布的数以d尺的数递减，一女子织布30天，每天所织布的数以相同的数d递减，第一天织布5尺，最后一天织布1尺，a30=5+29d=1，解得d=，30天共织布：S30=305+=90（尺）故选：C7某程序框图如图所示，若输出的S=57，则判断框内应填（）Ak4？Bk5？Ck6？Dk7？【考点】程序框图【分析】执行程序框图，依次写出每次循环得到的k，S的值，当k=5时，根据题意此时满足条件，退出循环，输出S的值为57，从而即可判断【解答】解：执行程序框图，可得k=2，S=4；k=3，S=11；k=4，S=26；k=5，S=57；根据题意此时，
12、满足条件，退出循环，输出S的值为57故判断框内应填k4故选：A8一个几何体的三视图如图所示，则它的体积为（）ABCD【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积【分析】由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，代入棱锥体积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图，可得该几何体是一个以俯视图为底面的三棱锥，底面面积S=（1+1）=2，棱锥的高h=3，故体积V=2，故选：A9函数f（x）=aexsinx在x=0处有极值，则a的值为（）A1B0C1De【考点】利用导数研究函数的极值【分析】求出函数的导数，根据f（0）=1，求出a的值，检验即可【解答】解：f（x）=aexcosx，若函数f（x）
13、=aexsinx在x=0处有极值，则f（0）=a1=0，解得：a=1，经检验a=1符合题意，故选：C10若变量x，y满足的约束条件是，且z=2x+y的最小值为6，则k=（）A0B2C2D14【考点】简单线性规划【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，得A（k，k），化目标函数z=2x+y为y=2x+z，由图可知，当直线y=2x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2k+k=3k=6，k=2故选：B11已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，P为C的准线上一点，
14、Q（在第一象限）是直线PF与C的一个交点，若，则QF的长为（）ABCD【考点】抛物线的简单性质【分析】利用抛物线的定义，结合，Q（在第一象限）是直线PF与C的一个交点，求出直线的斜率，即可求出直线PF的方程与y2=8x联立可得x，利用|QF|=d可求【解答】解：抛物线y2=8x的焦点F（2，0），设Q到准线l的距离为d，则|QF|=d，|=d，Q（在第一象限）是直线PF与C的一个交点，直线的斜率为1，直线的方程为xy2=0与y2=8x联立可得x=6+4（另一根舍去），|QF|=d=8+4，故选：C12函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意两个正数x1，x2（x1x2）都有，记，则a，b，c之
15、间的大小关系为（）AabcBbcaCcbaDacb【考点】函数奇偶性的性质【分析】构造函数g（x）=，则函数单调递减，比较变量的大小，即可得出结论【解答】解：构造函数g（x）=，则函数单调递减，0.221log35，abc，故选A二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13已知数列an满足：a1=1，an=2an1（n2，nN），则其前6项的和S6=21【考点】等比数列的前n项和【分析】可判数列an是公比为2的等比数列，由求和公式可得【解答】解：由题意可得=2，数列an是公比为2的等比数列，其前6项的和S6=21故答案为：2114若命题“存在xR，使得aex0成立”为假命题，则实数a
16、的取值范围为a0【考点】命题的真假判断与应用【分析】若命题“存在xR，使得aex0成立”为假命题，即“xR，使得aex成立”为真命题，进而得到答案【解答】解：若命题“存在xR，使得aex0成立”为假命题，则“存在xR，使得aex成立”为假命题，即“xR，使得aex成立”为真命题，故a0，故答案为：a015一个正方体的顶点都在球面上，已知球的体积为36，则正方体的棱长为2【考点】球内接多面体【分析】求出正方体的对角线的长度，就是外接球的直径，利用球的体积公式求解即可【解答】解：因为一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为a，所以正方体的外接球的直径就是正方体的对角线的长度： a所以球的半径为： a
17、所求球的体积为=36，所以a=2故答案为216已知P，Q是圆心在坐标原点O的单位圆上的两点，且分别位于第一象限和第四象限，点P的横坐标为，点Q的横坐标为，则cosPOQ=【考点】两角和与差的余弦函数【分析】由条件利用直角三角形中的边角关系求得sinxOP和cosxOQ的值，利用同角三角函数的基本关系求得cosxOP 和 sinxOQ，再利用两角和的余弦公式求得cosPOQ=cos（xOP+xOQ ）的值【解答】解：由题意可得，cosxOP=，sinxOP=；再根据cosxOQ=，可得sinxOQ=cosPOQ=cos（xOP+xOQ）=cosxOPcosxOQsinxOPsinxOQ=故答案为
18、：三、解答题：本大题共5小题，共70分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.17在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bsinBasinC=0（1）求证：a，b，c成等比数列；（2）若a=1，c=2，求ABC的面积S【考点】余弦定理；正弦定理【分析】（1）由已知及正弦定理可得：b2=ac，从而证明得解（2）由已知及余弦定理可求cosB，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinB的值，利用三角形面积公式即可计算得解【解答】（本题满分为12分）解：（1）证明：bsinBasinC=0，bsinB=asinC，由正弦定理可得：b2=ac，a，b，c成等比数列6分（2）a=1，c=
19、2，则b2=ac=2，cosB=，8分sinB=，10分SABC=acsinB=12分18某环保部门对A，B，C三个城市同时进行了多天的空气质量监测，测得三个城市空气质量为优或良的数据共有180个，三城市各自空气质量为优或良的数据个数如表所示：A城B城C城优（个）28xy良（个）3230z已知在这180个数据中随机抽取一个，恰好抽到记录B城市空气质量为优的数据的概率为0.2（1）现用分层抽样的方法，从上述180个数据汇总抽取30个进行后续分析，求在C城中应抽取的数据的个数；（2）已知y23，z24，求在C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的
20、概率；分层抽样方法【分析】（1）由题意，求出x，由此能求出在C城中应该抽取的数据个数（2）由（1）知y+z=54，且y，zN，由此利用列举法能求出在C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率【解答】解：（1）由题意，解得x=36，y+z=18028323630=54，在C城中应该抽取的数据个数为（2）由（1）知y+z=54，且y，zN，数对（y，z）可能的结果有如下8种：（23，31），（24，30），（25，29），（26，28），（27，27），（28，26），（29，25），（30，24），其中，“C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数”对应的结果有如下3种：（28，2
21、6），（29，25），（30，24），在C城中空气质量为优的天数大于空气质量为良的天数的概率p=19在三棱柱ABCA1B1C1中，ABC是边长为2的正三角形，侧面BB1C1C为矩形，D，E，F分别是线段BB1，AC1，A1C1的中点（1）求证：DE平面A1B1C1；（2）若平面ABC平面BB1C1C，BB1=4，求三棱锥CAC1D的体积【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定【分析】（1）连结B1F，则四边形DEFB1是平行四边形，从而DEB1F，由此能证明DE平面A1B1C1（2）过A作AHBC于H，三棱锥CAC1D的体积=，由此能求出结果【解答】证明：（1）连结B1F，D，E，
22、F分别是线段BB1，AC1，A1C1的中点EF是AA1C1的中位线，EFAA1，且EF=AA1，又AA1BB1，且AA1=BB1，DB1=BB1，EFDB1，EF=DB1，四边形DEFB1是平行四边形，从而DEB1F，又DE平面A1B1C1，B1F平面A1B1C1，DE平面A1B1C1解：（2）过A作AHBC于H，平面ABC平面BB1C1C，AH平面BB1C1C，三棱锥CAC1D的体积：=AH=20已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为，在x轴上有一点M（3，0）满足（1）求椭圆C的方程；（2）直线l与直线x=2交于点A，与直线x=2交于点B，且，判断并证明直线l与椭圆C的交点个数【考
23、点】椭圆的简单性质【分析】（1）设椭圆的焦距为2c，由题意列a，c的方程组，求得a，c的值，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设出直线l的方程为：y=kx+m，可得A（2，2k+m），B（2，m2k），由，得（1，2k+m）（3，m2k）=0，即m2=4k2+3联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程，利用判别式等于0得答案【解答】解：（1）设椭圆的焦距为2c，由题意有：，解得a=2，c=1b2=a2c2=3则椭圆C的方程为：；（2）由题意可知直线l的斜率存在，设直线l的方程为：y=kx+m则A（2，2k+m），B（2，m2k），由，得（1，2k+m）（3，m2k）=0，即m2
24、=4k2+3联立，得（3+4k2）x2+8kmx+4m212=0=64k2m24（3+4k2）（4m212）=4（48k212m2+36）=0直线l与椭圆C的交点个数是121函数f（x）=lnx（k+1）x（k1）（1）若f（x）无零点，求k的取整数时的最小值；（2）若存在x2e，3e使得f（x）0，求实数k的取值范围【考点】利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出k的只需整数值；（2）通过讨论k的范围，根据函数的单调性确定k的具体范围即可【解答】解：（1）k=1时，f（x）=lnx有1个零点，k1时，f（x）=，故x（0，）
25、时，f（x）0，f（x）递增，x（，+）时，f（x）0，f（x）递减，f（x）无零点，f（x）max=f（）=ln10，解得：k1，故k取整数时的最小值是0；（2）k=1时，f（x）=lnx，x2e，3e使得f（x）0恒成立，符合题意，k1时，由（1）得k1时，f（x）0，只需讨论1k1时是否存在x2e，3e使得f（x）0，此时x=（e，+），由（1）得：e2e即1k1时，只需f（2e）=ln2e（k+1）2e0，即k11，1k1时存在x2e，3e使得f（x）0，当2e3e即1k1时，由（1）得：f（x）max=f（）=ln10，1k1时，存在x2e，3e使得f（x）0，当3e即1k1时，只需
26、f（3e）=ln3e（k+1）3e0，即k1，1k1时存在x2e，3e使得f（x）0，综上，k1，1）时，存在x2e，3e，使得f（x）0选修4-4：坐标系与参数方程22在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为：，以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系（）求曲线C的极坐标方程；（）已知直线l1：，射线与曲线C的交点为P，l2与直线l1的交点为Q，求线段PQ的长【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程【分析】（）把参数方程消去参数，可得曲线C的普通方程，再根据x=cos，y=sin，可得曲线C的极坐标方程（）利用极坐标方程求得P、Q的坐标，可得线段PQ的长【解答】解：（）曲线C的
27、参数方程为：，普通方程为（x1）2+y2=7，x=cos，y=sin代入，可得曲线C的极坐标方程为22cos6=0；（）设P（1，1），则有，解得1=3，1=，即P（3，）设Q（2，2），则有，解得2=1，2=，即Q（1，），所以|PQ|=|12|=2选修4-5：不等式选讲23已知函数f（x）=|kx1|（）若f（x）3的解集为2，1，求实数k的值；（）当k=1时，若对任意xR，不等式f（x+2）f（2x+1）32m都成立，求实数m的取值范围【考点】函数恒成立问题；其他不等式的解法【分析】（）通过讨论k的范围，求出不等式的解集，从而求出k的值即可；（）令h（x）=f（x+2）f（2x+1），根据h（x）的单调性求出h（x）的最大值，从而求出m的范围即可【解答】解：（）显然k0，k0时，f（x）3的解集是，=2且=1，但k无解，k0时，f（x）3的解集是，=2且=1，解得：k=2，综上，k=2；（）k=1时，令h（x）=f（x+2）f（2x+1）=，由此可得，h（x）在（，0上递增，在0，+）递减，x=0时，h（x）取最大值1，由题意得：132m，解得：m的范围是（，12017年3月4日
