1、第二节函数的单调性与最大(小)值1. 理解函数的单调性及其几何意义.2. 会运用函数图像理解和研究函数的性质.3. 会求一些简单函数的值域.4. 理解函数的最大值、最小值、及其几何意义. 知识梳理一、 函数单调性的定义二、证明函数单调性的一般方法1定义法用定义法判断、证明函数单调性的一般步骤是：(1)设x1，x2_，且x10f(x)0，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f(x)0f(x)0请注意两者的区别所在三、求函数单调区间的方法定义法、导数法、图象法四、复合函数及其单调性1复合函数设yf(u)，uB，ug(x)，xA，通
2、过变量u，得到y关于x的函数，那么称这个函数为函数yf(u)和ug(x)的_，记作_其中yf(u)叫做外函数，ug(x)叫做内函数，u称为中间变量，它的取值范围是g(x)的值域的子集2复合函数yf的单调性规律对于函数yf(u)和ug(x)，如果ug(x)在区间(a，b)上具有单调性，当x(a，b)时，u(m，n)，且yf(u)在区间(m，n)上也具有单调性，则复合函数yf(g(x)在区间(a，b)具有单调性的规律见下表：yf(u)增 减 ug(x)增 减 增 减 yf(g(x)增 减 减 增 以上规律还可总结为：“同增异减”五、函数的最大值、最小值一般地，设函数yf(x)的定义域为A，如果MR
3、，满足：(1)对xA，恒有f(x)M或f(x)M；(2) x0A，使得f(x0)M，则称M是函数yf(x)的_六、求函数值域(最值)的各种方法因为函数的值域是由其对应法则和定义域共同决定的，故其类型依解析式的特点可分为三类：(1)求常见函数的值域；(2)求由常见函数复合而成的函数的值域；(3)求由常见函数作某些“运算”而得函数的值域无论用什么方法求函数的值域，都必须首先考虑函数的定义域具体的方法有：直接法；配方法；分离常数法；换元法；三角函数有界法；基本不等式法；单调性法；数形结合法；导数法(对于具体函数几乎都可以用导数法去解决) 基础自测1下列函数中，在区间(0，)上不是增函数的是()Ay2
4、x1By3x21Cy Dy|x|解析：由函数单调性定义知选C.答案：C 2已知函数f(x)为R上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是()A(1,1)B(0,1)C(1,0)(0,1)D(，1)(1，)解析：f(x)为R上的减函数，且f(|x|)f(1)，|x|1，x1或x1.故选D.答案：D3 若函数f(x)x22xm在3，)上的最小值为1，则实数m的值为_解析：f(x)(x1) 2m1在3，)上为单调增函数，且f(x)在3，)上的最小值为1，f(3)1，即22m11，m2. 答案：24 一个矩形的周长为l，面积为S，给出：(4,1)，(8,6)，(10，8)，.其中可作为
5、(l，S)取得的实数对的序号是_解析：设矩形一边长为x，则Sx2x2，检验知，满足答案： 1(2013重庆卷)y (6a3)的最大值为()A9 B. C3 D.解析：因为y ，所以当a时，y的值最大，最大值为.答案：B2(2013大纲全国卷)若函数f(x)x2ax在是增函数，则a的取值范围是()A1,0 B1，)C0,3 D3，)解析： f(x)2xa0在上恒成立，即a2x在上恒成立，由于y2x在，上单调递减，所以y3，故只要a3.答案：D1已知函数f(x)x24x在区间m，n上的值域是5,4，则mn的取值范围是()A1,7 B1,6 C1,1 D0,6解析：f(x)x24x(x2)24，f(2)4.又由f(x)5，得x1或5.由f(x)的图象知：1m2,2n5.因此1mn7.答案：A2已知函数f(x)log2(x22xa)的值域为0，)，则正实数a等于()A1 B 2 C3 D4解析：依题意函数g(x)x22xa的值域为1，)g(x)x22xa(x1)2a1a1，a11，得a2.故选B.答案：B
