1、第3讲数学归纳法及其应用最新考纲1了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.知 识 梳 理1数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立；(2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当nk1时命题也成立只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立2数学归纳法的框图表示辨 析 感 悟1数学归纳法原理(1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立()(2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明()(3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用()
2、2数学归纳法的应用(4)(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验n等于3.()(5)已知n为正偶数，用数学归纳法证明12时，若已假设nk(k2且k为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证nk2时等式成立()(6)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项()感悟提升1数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主要用于解决与正整数有关的数学问题证明时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2)的基础，步骤(2)是递推的依据2在用数学归纳法证明时，第(1)步验算nn0的n0不一定为1，而是根据题目要求选择合适的起始值，如(
3、4)，检验n的值从n3开始，因此(1)不正确第(2)步，证明nk1时命题也成立的过程，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法，如(3).学生用书第206页考点一用数学归纳法证明等式【例1】 (2012天津卷改编)已知等差数列an的公差为3，其前n项和为Sn，等比数列bn的公比为2，且a1b12.(1)求数列an与bn的通项公式；(2)记Tnanb1an1b2a1bn，nN*，证明Tn122an10bn(nN*)审题路线(1)代入等差、等比数列的通项公式求an，bn；(2)注意到所证结论是关于“n”的命题，可运用数学归纳法证明(1)解由a12，公差d3，ana1(n1)d3n1.在等比数列bn
4、中，公比q2，首项b12，bn22n12n.(2)证明当n1时，T112a1b11216，2a110b116，故等式成立；假设当nk时等式成立，即Tk122ak10bk，当nk1时，Tk1ak1b1akb2ak1b3a1bk1ak1b1q(akb1ak1b2a1bk)ak1b1qTkak1b1q(2ak10bk12)2ak14(ak13)10bk1242ak110bk112，即Tk1122ak110bk1.因此nk1时等式也成立由、可知，对任意nN*，Tn122an10bn成立规律方法 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少(
5、2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程【训练1】 求证：(n1)(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*)证明(1)当n1时，等式左边2，右边2112，等式成立(2)假设当nk(kN*)时，等式成立，即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)当nk1时，左边(k2)(k3)2k(2k1)(2k2)2(k1)(k2)(k3)(kk)(2k1)22k135(2k1)(2k1)2k1135(2k1)(2k1)这就是说当nk1时，等式成立根据(1)、(2)知，对nN*，原等式成立考点二用数学
6、归纳法证明不等式【例2】 由下列不等式：1，11,1，12，你能得到一个怎样的一般不等式？并加以证明审题路线 观察前4个式子，左边的项数及分母的变化不难发现一般的不等式为1(nN*)，并用数学归纳法证明解一般结论：1(nN*)，证明如下：(1)当n1时，由题设条件知命题成立(2)假设当nk(kN*)时，猜想正确即1.当nk1时，1.当nk1时，不等式成立根据(1)、(2)可知，对nN*,1.规律方法 用数学归纳法证明不等式的关键是由nk时命题成立证nk1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化【训
7、练2】 若函数f(x)x22x3，定义数列xn如下：x12，xn1是过点P(4,5)、Qn(xn，f(xn)的直线PQn与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2xnxn13.证明(1)当n1时，x12，f(x1)3，Q1(2，3)直线PQ1的方程为y4x11，令y0，得x2，因此，2x1x23，即n1时结论成立(2)假设当nk时，结论成立，即2xkxk13.直线PQk1的方程为y5(x4)又f(xk1)x2xk13，代入上式，令y0，得xk24，由归纳假设，2xk13，xk240，即xk1xk2.所以2xk1xk23，即当nk1时，结论成立由(1)、(2)知对任意的正整数n,2xnxn1
8、0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通项公式；(2)证明通项公式的正确性审题路线从特殊入手，正确计算a1，a2，a3，探求an与n的一般关系运用数学归纳法严格证明(1)解当n1时，由已知得a11，a2a120.a11(a10)当n2时，由已知得a1a21，将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知，当n1,2,3时，通项公式成立假设当nk(k3，kN*)时，通项公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，将ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1时通项公式成立由、，可知对所有nN*，an都成立规律方法 “归纳猜想证
9、明”的模式，是不完全归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，这种方法在解决探索性问题、存在性问题时起着重要作用，它的模式是先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理证明结论的正确性【训练3】 已知函数f(x)x3x，数列an满足条件：a11，an1f(an1)试比较与1的大小，并说明理由解f(x)x21，an1f(an1)，an1(an1)21.函数g(x)(x1)21x22x在区间1，)上单调递增，于是由a11，得a2(a11)21221，进而得a3(a21)21241231，由此猜想：an2n1.下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n1时，a12111，结论成立；(2)假设nk(k1且kN*)时
10、结论成立，即ak2k1，当nk1时，由g(x)(x1)21在区间1，)上单调递增知，ak1(ak1)2122k12k11，当nk1时，结论也成立由(1)、(2)知，对任意nN*，都有an2n1.即1an2n，因此，1n1.1在数学归纳法中，归纳奠基和归纳递推缺一不可在较复杂的式子中，注意由nk到nk1时，式子中项数的变化应仔细分析，观察通项同时还应注意，不用假设的证法不是数学归纳法2对于证明等式问题，在证nk1等式也成立时，应及时把结论和推导过程对比，以减少计算时的复杂程度；对于整除性问题，关键是凑假设；证明不等式时，一般要运用放缩法3归纳猜想证明属于探索性问题的一种，一般经过计算、观察、归纳
11、，然后猜想出结论，再用数学归纳法证明由于“猜想”是“证明”的前提和“对象”，务必保证猜想的正确性，同时必须严格按照数学归纳法的步骤书写 答题模板14数学归纳法在数列问题中的应用【典例】 (12分)(2012安徽卷改编)数列xn满足x10，xn1xxnc(nN*)(1)证明：xn是递减数列的充要条件是c0；(2)若0c，证明数列xn是递增数列规范解答(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，数列xn是递减数列 (2分)必要性：若xn是递减数列，则x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是递减数列的充要条件是c0. (4分)(2)若00，即证xn对任意n1成立 (6分)下面用数
12、学归纳法证明：当0c时，xn对任意n1成立当n1时，x10，结论成立 (7分)假设当nk(k1，kN*)时结论成立，即xk.因为函数f(x)x2xc在区间内单调递增，所以xk1f(xk)f()，当nk1时，xk1成立 (10分)由、知，xnxn，即xn是递增数列 (12分)反思感悟 (1)第(1)问易只判定充分性或必要性，证明不完整而失分(2)难以将第(2)的结论转化为判定xn；或在证明nk1时，不能运用函数f(x)x2xc的单调性，导致归纳假设运用受阻束手无策答题模板第一步：利用充要条件的意义，判定xn递减c0；第二步：运用分析法，将结论转化为判定xn；第三步：验证n1时，结论成立；第四步：
13、假设当nk(k1，kN*)时，xk，证明当nk1时xk1，b2，b3.猜想bn(nN*)下面利用数学归纳法证明(1)当n1时，因b12，所以b1.(2)假设当nk(k1，kN*)时，结论成立，即0.当nk1时，bk10.bk1，也就是说，当nk1时，结论也成立根据(1)、(2)，知bn(nN*).对应学生用书P383基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1用数学归纳法证明“12222n22n31”，在验证n1时，左边计算所得的式子为()A1 B12C1222 D122223解析左边的指数从0开始，依次加1，直到n2，所以当n1时，应加到23，故选D.答案D2设f(x)是定义在正整数集上的
14、函数，且f(x)满足：“当f(k)k2成立时，总可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命题总成立的是()A若f(1)1成立，则f(10)100成立B若f(2)4成立，则f(1)1成立C若f(3)9成立，则当k1时，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，则当k4时，均有f(k)k2成立解析选项A，B的答案与题设中不等号方向不同，故A，B错；选项C中，应该是k3时，均有f(k)k2成立；选项D符合题意答案D3用数学归纳法证明“12222n12n1(nN*)”的过程中，第二步nk时等式成立，则当nk1时应得到()A12222k22k12k11B12222k2k12k12k1C12222k12
15、k12k11D12222k12k2k11解析由条件知，当nk时，等式12222k12k1，当nk1时，等式12222k12k2k12k2k11.答案D4用数学归纳法证明1，则当nk1时，左端应在nk的基础上加上()A. BC. D.解析当nk时，左侧1，当nk1时，左侧1.答案C5凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n1)多边形的对角线的条数f(n1)为()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案C二、填空题6(2014扬州质检)设f(n)1(nN*)，则f(n1)f(n)_.解析f(n)1，f(n1)1.f(n1)f(n).
16、答案7用数学归纳法证明：“11)”，由nk(k1)不等式成立，推证nk1时，左边应增加的项的项数是_解析由nk(k1)到nk1时，不等式左端增加的项为共增加(2k11)(2k1)2k项答案2k8用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真解析因为n为正奇数，所以与2k1相邻的下一个奇数是2k1.答案2k1三、解答题9用数学归纳法证明下面的等式12223242(1)n1n2(1)n1.证明(1)当n1时，左边121，右边(1)01，则左边右边，当n1时，原等式成立(2)假设nk(kN*，k1)时，等式成立，即有122
17、23242(1)k1k2(1)k1.那么，当nk1时，则有12223242(1)k1k2(1)k(k1)2(1)k1(1)k(k1)2(1)kk2(k1)(1)k.nk1时，等式也成立，由(1)、(2)知对任意nN*有12223242(1)n1n2(1)n1.10已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上(1)解由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2，a2a1b2.点P2的坐标为，直线l的方程为2xy1.(2)证明当n1时，2a1b121
18、(1)1成立假设当nk(kN*)时，2akbk1成立，则当nk1时，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由、知，对于nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1对于不等式n1(nN*)，某同学用数学归纳法的证明过程如下：(1)当n1时，11，不等式成立(2)假设当nk(kN*且k1)时，不等式成立，即k1，则当nk1时，4时，f(n)_(用n表示)解析f(3)2，f(4)f(3)3235，f(n)f(3)34(n1)234(n1)(n1)(n2)答案5(n1)(n2)三、解答题4设数列an的前n项和为Sn，且方程x
19、2anxan0有一根为Sn1(nN*)(1)求a1，a2；(2)猜想数列Sn的通项公式，并给出证明解(1)当n1时，方程x2a1xa10有一根为S11a11，(a11)2a1(a11)a10，解得a1.当n2时，方程x2a2xa20有一根为S21a1a21a2，2a2a20，解得a2.(2)由题意知(Sn1)2an(Sn1)an0，当n2时，anSnSn1，代入上式整理得SnSn12Sn10，解得Sn.由(1)得S1a1，S2a1a2.猜想Sn(nN*)下面用数学归纳法证明这个结论当n1时，结论成立假设nk(kN*，k1)时结论成立，即Sk，当nk1时，Sk1.即当nk1时结论成立由、知Sn对任意的正整数n都成立.学生用书第208页
