1、江苏省淮安市六校联盟2020届高三数学第三次学情调查试题 文一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1已知集合A3，1，1，2，集合B0，+），则AB 2若复数z（1+i）（3ai）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a 3函数y的定义域为 4“x2”是“x2+3x40”的 条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）5已知等差数列an，a4+a610，前5项的和S55，则其公差为 6已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当 x0时f（x）log2（2x），则f（0）+f（2） 7在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准
2、线方程为，且它的一个顶点与抛物线y24x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为 8如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为36，E为线段B1C上的一点，则棱锥ADED1的体积为 9若曲线C1：yax36x2+12x与曲线C2：yex在x1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为 10已知正实数x，y满足xyx2y1，则x+2y的最小值为 11已知菱形ABCD的边长为2，BAD120，点E、F分别在边BC、DC上，若1，则+ 12已知点A（1，0），B（2，0），直线l：kxy5k0上存在点P，使得PA2+2PB29成立，则实数k的取值范围是 13在三角形ABC中，角A、B、C、所对的边分别为
3、a、b、c，若b3，2sin2A+sin2B+C，则sinC的最大值是 14已知函数f（x）|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|1实根的个数为 二、解答题（本大题共六小题，15、16、17每题14分，18、19、20每题16分，共90分）15如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点（1）求证：BF平面A1EC；（2）求证：平面A1EC平面ACC1A116如图，在平面直角坐标系xOy中，A为单位圆与x轴正半轴的交点，P为单位圆上一点，且AOP，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q（a，b），其中（1）若点P的坐标为，时，求ab的值；（2）若，求b2a
4、2的取值范围17如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值18（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x2P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方
5、程；（3）若，且（，2），求的最大值19（16分）已知数列an和bn满足：a1，an+1+n4，bn（1）n（an3n+21），其中为实数，n为正整数（1）对任意实数，证明：数列an不是等比数列；（2）证明：当18时，数列 bn 是等比数列；（3）设Sn为数列 bn 的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有Sn12？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由20（16分）已知函数f（x）lnxax2+x，aR（1）若a2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ax1恒成立，求整数a的最小值（3）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：x1
6、+x22019-2020学年江苏省淮安市六校联盟高三（上）第三次学情调查数学试卷（文科）（12月份）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分）1已知集合A3，1，1，2，集合B0，+），则AB1，2【解答】解：A3，1，1，2，B0，+），AB1，2，故答案为：1，22若复数z（1+i）（3ai）（i为虚数单位）为纯虚数，则实数a3【解答】解：复数z（1+i）（3ai）3+a+（3a）i，复数z为纯虚数，解得a3故答案为：33函数y的定义域为2，+）【解答】解：由2x40，得2x4，则x2函数y的定义域为2，+）故答案为：2，+）4“x2”是“x2+3x40”的充
7、分条件（从“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分又不必要”中选择一个正确的填写）【解答】解：x2+3x40，解得：x1或x4x2”是“x2+3x40”的充分不必要条件故答案为：充分5已知等差数列an，a4+a610，前5项的和S55，则其公差为2【解答】解：等差数列an，a4+a610，前5项的和S55，设公差为d由题意可得 2a1+8d10，5a1+5，解方程组求得d2，故答案为 26已知 f（x）是定义在R上的奇函数，当 x0时f（x）log2（2x），则f（0）+f（2）2【解答】解：f（x）是定义在R上的奇函数，当 x0时f（x）log2（2x），则f（0）+f（2）0f
8、（2）log2（2+2）2，故答案为：27在平面直角坐标系xOy中，若中心在坐标原点的双曲线的一条准线方程为，且它的一个顶点与抛物线y24x的焦点重合，则该双曲线的渐近线方程为yx【解答】解：设双曲线的方程为，抛物线y24x中2p4抛物线y24x的焦点F（1，0），双曲线的一个顶点与抛物线y24x的焦点重合a1，又双曲线的一条准线方程为，解得c2，b2413，即双曲线的渐近线方程为yx，故答案为：yx8如图所示，长方体ABCDA1B1C1D1的体积为36，E为线段B1C上的一点，则棱锥ADED1的体积为1【解答】解：长方体ABCDA1B1C1D1的体积为36，E为线段B1C上的一点，棱锥ADE
9、D1的体积为：1故答案为：19若曲线C1：yax36x2+12x与曲线C2：yex在x1处的两条切线互相垂直，则实数a的值为【解答】解：由yax36x2+12x，得y3ax212x+12，y|x13a，由yex，得yex，y|x1e曲线C1：yax36x2+12x与曲线C2：yex在x1处的切线互相垂直，3ae1，解得：a故答案为：10已知正实数x，y满足xyx2y1，则x+2y的最小值为4+2【解答】解：正实数x，y满足xyx2y1，xyx+2y+1，由基本不等式可得，xyx（2y），当且仅当x2y时取等号，x+2y+1，x+2y0解不等式可得，x+2y故答案为：4+211已知菱形ABCD的
10、边长为2，BAD120，点E、F分别在边BC、DC上，若1，则+【解答】解：由题意可得若（+）（+），+ 22cos120+2+4+4+22cos1204+4221，4+423 （）（1）（1）（1）（1）（1）（1）22cos120（1+）（2），即+由求得+，故答案为：12已知点A（1，0），B（2，0），直线l：kxy5k0上存在点P，使得PA2+2PB29成立，则实数k的取值范围是【解答】解：由题意得：直线l：yk（x5），因此直线l经过定点（5，0）；设点P坐标为（x0，y0）；PA2+2PB29，化简得：，因此点p为x2+y22x0与直线l：yk（x5）的交点所以应当满足圆心（1，
11、0）到直线的距离小于等于半径解得：故答案为13在三角形ABC中，角A、B、C、所对的边分别为a、b、c，若b3，2sin2A+sin2B+C，则sinC的最大值是【解答】解：b3，2sin2A+sin2B+C，由正弦定理可得：2a2+b2+ab3c2，可得c2，所以cosC，当且仅当ab3时取等号，故sinCmax故答案为：14已知函数f（x）|lnx|，g（x），则方程|f（x）+g（x）|1实根的个数为4【解答】解：由|f（x）+g（x）|1可得g（x）f（x）1g（x）与h（x）f（x）+1的图象如图所示，图象有2个交点g（x）与（x）f（x）1的图象如图所示，图象有两个交点；所以方程|
12、f（x）+g（x）|1实根的个数为4故答案为：4二、解答题（本大题共六小题，15、16、17每题14分，18、19、20每题16分，共90分）15如图，在正三棱柱ABCA1B1C1中，E，F分别为BB1，AC的中点（1）求证：BF平面A1EC；（2）求证：平面A1EC平面ACC1A1【解答】证明：（1）连接A1C与AC1交于点O，连接OF，F为AC的中点，OFC1C且OFC1C，E为BB1的中点，BEC1C且BEC1C，BEOF且BEOF，四边形BEOF是平行四边形，BFOE，BF平面A1EC，OE平面A1EC，BF平面A1EC（2）ABCB，F为AC的中点，BFAC由（1）知BFOE，OEA
13、C，AA1底面ABC，BF底面ABC，AA1BF，BFOE，OEAA1，AA1ACA，OE平面AA1C1COE面A1EC，平面A1EC平面AA1C1C16如图，在平面直角坐标系xOy中，A为单位圆与x轴正半轴的交点，P为单位圆上一点，且AOP，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q（a，b），其中（1）若点P的坐标为，时，求ab的值；（2）若，求b2a2的取值范围【解答】解：（1）A为单位圆与x轴正半轴的交点，P为单位圆上一点，且AOP，将点P沿单位圆按逆时针方向旋转角后到点Q（a，b），其中，若点P的坐标为，时，则cos，sin，且acos（+），bsin（+），故absin（+）cos（
14、+）sin（2+）cos2（2cos21）（2）若，则acos（+），bsin（+），b2a2 cos（2+），2+，cos（2+）1，b2a2 cos（2+），117如图，洪泽湖湿地为拓展旅游业务，现准备在湿地内建造一个观景台P，已知射线AB，AC为湿地两边夹角为120的公路（长度均超过2千米），在两条公路AB，AC上分别设立游客接送点M，N，从观景台P到M，N建造两条观光线路PM，PN，测得AM2千米，AN2千米（1）求线段MN的长度；（2）若MPN60，求两条观光线路PM与PN之和的最大值【解答】解：（1）在AMN中，由余弦定理得，MN2AM2+AN22AMANcos120，所以千米 （
15、2）设PMN，因为MPN60，所以PNM120在PMN中，由正弦定理得，因为，所以PM4sin（1200），PN4sin因此PM+PN4sin（1200）+4sin因为0120，所以30+30150所以当+300900，即600时，PM+PN取到最大值答：两条观光线路距离之和的最大值为千米（16分）18（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：+1（ab0）的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，一条准线方程为x2P为椭圆C上一点，直线PF1交椭圆C于另一点Q（1）求椭圆C的方程；（2）若点P的坐标为（0，b），求过P、Q、F2三点的圆的方程；（3）若，且（，2），求的最大值【解答】解：
16、（1）由题意可得，解得c1，a22，b2a2c21，椭圆C的方程为；（2）P（0，1），F1（1，0），直线PF1的方程为xy+10，由，解得，或，点Q的坐标为（，），设过P，Q，F2三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F0，解得，所求圆的方程为x2+y2+；（3）设P（x1，y1），Q（x2，y2），则（x1+1，y1），（1x2，y2 ），即，解得x2，x1x2+y1y2x2（1x2），当且仅当，即1时取等号，即的最大值为19（16分）已知数列an和bn满足：a1，an+1+n4，bn（1）n（an3n+21），其中为实数，n为正整数（1）对任意实数，证明：数列an不是等比数列；（2）
17、证明：当18时，数列 bn 是等比数列；（3）设Sn为数列 bn 的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有Sn12？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由【解答】解：（1）证明：假设存在一个实数，使an是等比数列，则有a22a1a3，即（）22，矛盾所以an不是等比数列（2）解：因为bn+1（1）n+1an+13（n+1）+21（1）n+1（an2n+14）（1）n（an3n+21）bn当18时，b1（+18）0，由上可知bn0，（nN+）故当18时，数列bn是以（+18）为首项，为公比的等比数列（3）当18时，bn0，从而Sn0成立当18时，由（）得，于是，要使对任意正整数n，都
18、有Sn12即令当n为正奇数时，当n为正偶数时，（16分）于是可得综上所述，存在实数，使得对任意正整数n，都有Sn12；的取值范围为（，6）（18分）20（16分）已知函数f（x）lnxax2+x，aR（1）若a2，求函数f（x）的单调区间；（2）若关于x的不等式f（x）ax1恒成立，求整数a的最小值（3）若a2，正实数x1，x2满足f（x1）+f（x2）+x1x20，证明：x1+x2【解答】解：（1）若a2，则f（x）lnxx2+x，（x0），f（x）2x+1，f（x）0可得2x2x10，又x0，解得x1，即有f（x）的减区间为（1，+），增区间为（0，1）；（2）f（x）ax1恒成立，可得l
19、nxax2+xax+10恒成立，令g（x）lnxax2+xax+1，g（x），当a0时，x0，ax2+（1a）x+10，g（x）0g（x）在（0，+）单调递增，且g（1），此时不等式f（x）ax1不恒成立当a0时，g当）时，g（x）0，x时，g（x）0g（x）在（0，）递增，在（）d递减，故g（x）maxg（）令h（a），（a0），显然函数h（a）在（0，+）递减且h（1）整数a的最小值为2（3）证明：由f（x1）+f（x2）+x1x20，即lnx1+x12+x1+lnx2+x22+x2+x1x20，从而（x1+x2）2+（x1+x2）x1x2ln（x1x2），令tx1x2，则由（t）tlnt，由x10，x20，即x1+x20（t）t0可知，（t）在区间（0，1）上单调递减，在区间（1，+）上单调递增所以（t）（1）1，所以（x1+x2）2+（x1+x2）1，解得：x1+x2或x1+x因为x10，x20，因此x1+x2成立
