1、第六章不等式、推理与证明深研高考备考导航为教师授课、学生学习提供丰富备考资源考点2016年2015年2014年2013年2012年不等关系与不等式全国卷T8不等式的证明全国卷T21全国卷T21全国卷T21全国卷T21全国卷T17基本不等式全国卷T24全国卷T24全国卷T17一元二次不等式及其解法全国卷T1全国卷T1全国卷T1全国卷T1全国卷T1简单线性规划全国卷T16全国卷T13全国卷T15全国卷T14全国卷T9全国卷T9全国卷T9全国卷T14合情推理与演绎推理全国卷T14全国卷T12直接证明与间接证明全国卷T18全国卷T20全国卷T19全国卷T21全国卷T17全国卷T19全国卷T21全国卷T
2、18全国卷T20全国卷T18全国卷T18全国卷T18全国卷T21全国卷T19数学归纳法重点关注1从近五年全国卷高考试题来看，涉及本章知识的既有客观题，又有解答题客观题主要考查不等关系与不等式，一元二次不等式的解法，简单线性规划，合情推理与演绎推理，解答题主要考查不等式的证明、基本不等式与直接证明2不等式具有很强的工具性，应用十分广泛，推理与证明贯穿于每一个章节，因此，不等式往往与集合、函数、导数的应用、数列交汇考查，对于证明，主要体现在不等式证明和不等式恒成立证明以及几何证明3从能力上，突出对函数与方程、转化与化归、分类讨论等数学思想的考查导学心语1加强不等式基础知识的复习不等式的基础知识是进
3、行推理和解不等式的理论依据，要弄清不等式性质的条件与结论；一元二次不等式、基本不等式是解决问题的基本工具；如利用导数研究函数单调性，常常归结为解一元二次不等式问题2强化推理证明和不等式的应用意识从近年命题看，试题多与数列、函数、解析几何交汇渗透，对不等式知识、方法技能要求较高抓好推理论证，强化不等式的应用训练是提高解综合问题的关键3重视数学思想方法的复习明确不等式的求解和推理证明就是一个把条件向结论转化的过程；加强函数与方程思想在不等式中的应用训练，不等式、函数与方程三者密不可分，相互转化第一节不等式的性质与一元二次不等式考纲传真1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系，了解不等式(组
4、)的实际背景.2.会从实际问题的情境中抽象出一元二次不等式模型.3.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.4.会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图1实数的大小顺序与运算性质的关系(1)abab0；(2)abab0；(3)ababbbb，bcac；(单向性)(3)可加性：abacbc；(双向性)ab，cdacbd；(单向性)(4)可乘性：ab，c0acbc；ab，c0acb0，cd0acbd；(单向性)(5)乘方法则：ab0anbn(n2，nN)；(单向性)(6)开方法则：ab0(n2，nN)；(单向性)(7)倒数性质：设ab0，则a.(
5、双向性)3一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系4.用程序框图表示一元二次不等式ax2bxc0(a0)的求解过程1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)abac2bc2.()(2)ab0，cd0.()(3)若不等式ax2bxc0.()(4)若方程ax2bxc0(a0)没有实数根，则不等式ax2bxc0的解集为R.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)下列四个结论，正确的是()ab，cbd；ab0，cdbd；ab0；ab0.AB.C D.D利用不等式的同向可加性可知正确；对于，根据不等式的性质可知acb0可知a2b20，所以b，则下列不等式恒成立的
6、是()Aa2b2 B.1C2a2b D.lg(ab)0C取a1，b2，排除A，B，D.故选C.4(2015广东高考)不等式x23x40的解集为_(用区间表示)(4,1)由x23x40得x23x40，解得4x0的解集为(4,1)5若不等式mx22mx10的解集为R，则m的取值范围是_. 【导学号：01772195】0,1)当m0时，10显然成立；当m0时，由条件知得0m1，由知0my0，则()A.0B.sin xsin y0C.xy0(2)已知函数f(x)ax2bx，且1f(1)2,2f(1)4，求f(2)的取值范围(1)C函数yx在(0，)上为减函数，当xy0时，xy，即xyy0y0时，不能比
7、较sin x与sin y的大小，故B错误；xy0xy0/ ln(xy)0/ ln xln y0，故D错误(2)由题意知f(1)ab，f(1)ab，f(2)4a2b.3分设m(ab)n(ab)4a2b，则解得8分f(2)(ab)3(ab)f(1)3f(1).10分1f(1)2,2f(1)4，5f(2)10，即f(2)的取值范围为5,10.12分规律方法1.对于不等式的常用性质，要弄清其条件和结论，不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面，单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的依据，因为解不等式要求的是同解变形2判断多个不等式是否成立，需要逐一给出推理判断或反例说明3由af(x，y)b，
8、cg(x，y)d求F(x，y)的取值范围，要利用待定系数法解决，即设F(x，y)mf(x，y)ng(x，y)，用恒等变形求得m，n，再利用不等式的性质求得F(x，y)的取值范围变式训练1(1)(2016河南六市2月模拟)若0，则下列结论不正确的是()Aa2b2B.abb2Cab|ab|(2)已知“1xy4,2xy3”，求3x2y的取值范围(1)D由题可知ba0，所以A，B，C正确，而|a|b|ab|ab|，故D错误，选D.(2)设3x2ym(xy)n(xy)，则3分即3x2y(xy)(xy)，又1xy4,2xy3，(xy)10,1(xy)，8分(xy)(xy)，即3x2y.故3x2y的取值范围
9、为.12分一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)32xx20；(2)x2(a1)xa0.解(1)原不等式化为x22x30，即(x3)(x1)0，故所求不等式的解集为x|1x3.6分(2)原不等式可化为(xa)(x1)1时，原不等式的解集为(1，a)；当a1时，原不等式的解集为；当a1时，原不等式的解集为(a,1).12分迁移探究将(2)中不等式改为ax2(a1)x10，求不等式的解集解若a0，原不等式等价于x11.若a0，解得x1.3分若a0，原不等式等价于(x1)0.当a1时，1，(x1)1时，1，解(x1)0得x1；当0a1，解 (x1)0得1x.10分综上所述：当a1；当0a1时，解集
10、为.12分规律方法1.解一元二次不等式的步骤：(1)使一端为0且把二次项系数化为正数(2)先考虑因式分解法，再考虑求根公式法或配方法或判别式法(3)写出不等式的解集2解含参数的一元二次不等式的步骤：(1)二次项中若含有参数应讨论是等于0，小于0，还是大于0，然后将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与0的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式变式训练2(2016黑龙江大庆实验中学期末)已知不等式ax2bx10的解集是，则不等式x2bxa0的解集是()Ax|2x0的解集是，ax2bx10的解是x1
11、和x2，且a0，解得则不等式x2bxa0即为x25x60，解得x2或x3.一元二次不等式恒成立问题角度1形如f(x)0(xR)求参数的范围(2016甘肃白银会宁一中月考)不等式(a2)x22(a2)x40对一切xR恒成立，则实数a的取值范围是_. 【导学号：01772196】(2,2当a20，即a2时，不等式即为40，对一切xR恒成立，当a2时，则有即2a2.综上，可得实数a的取值范围是(2,2角度2形如f(x)0求参数的范围设函数f(x)mx2mx1.若对于x1,3，f(x)m5恒成立，求m的取值范围解要使f(x)m5在x1,3上恒成立，即m2m60时，g(x)在1,3上是增函数，所以g(x
12、)maxg(3)7m60，所以m，所以0m；7分当m0时，60恒成立；当m0时，g(x)在1,3上是减函数，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0，又因为m(x2x1)60，所以m.7分因为函数y在1,3上的最小值为，所以只需m即可所以m的取值范围是.12分角度3形如f(x)0(参数ma，b)求x的范围对任意的k1,1，函数f(x)x2(k4)x42k的值恒大于零，则x的取值范围是_x|x3x2(k4)x42k0恒成立，即g(k)(x2)k(x24x4)0，在k1,1时恒成立只需g(1)0且g(1)0，即解得x3.规律方法1.解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知
13、道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数2对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方，另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值思想与方法1倒数性质，若ab0，则ab0对任意实数x恒成立或不等式ax2bxc0对任意实数x恒成立或5“三个二次”的关系是解一元二次不等式的理论基础，一般可把a0时的情形6解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏易错与防范1运用不等式性质，一定弄清性质成立的条件2求代数式的范围，应利用待定系数法或数形结合建立待求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，避免扩大变量范围3对于不等式ax2bxc0，求解时不要忘记讨论a0时的情形4当0(a0)的解集为R还是，要注意区别5含参数的不等式要注意选好分类标准，避免盲目讨论6不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述
