1、第1节绝对值不等式最新考纲1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|ab|a|b|(a，bR)；|ab|ac|cb|(a，bR)；2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|axb|c；|axb|c；|xc|xb|a.知 识 梳 理1.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|a的解集不等式a0a0a0|x|a(，a)(a，)(，0)(0，)R(2)|axb|c (c0)和|axb|c (c0)型不等式的解法|axb|ccaxbc；|axb|caxbc或axbc；(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法利用绝对值不等式的几
2、何意义求解，体现了数形结合的思想；利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.2.含有绝对值的不等式的性质(1)如果a，b是实数，则|ab|a|b|，当且仅当ab0时，等号成立.(2)如果a，b，c是实数，那么|ac|ab|bc|，当且仅当(ab)(bc)0时，等号成立.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“”或“”)(1)若|x|c的解集为R，则c0.()(2)不等式|x1|x2|2的解集为.()(3)对|ab|a|b|当且仅当ab0时等号成立.()(4)对|a|b|ab|当且仅当|a|b|时等号成立.()(5)对|ab|a|b|
3、当且仅当ab0时等号成立.()答案(1)(2)(3)(4)(5)2.不等式|x1|x5|2的解集是()A.(，4) B.(，1) C.(1，4) D.(1，5)解析当x1时，原不等式可化为1x(5x)2，42，不等式恒成立，x1.当1x5时，原不等式可化为x1(5x)2，x4，1x4，当x5时，原不等式可化为x1(x5)0，|x1|，|y2|，求证：|2xy4|a.证明因为|x1|，|y2|，所以|2xy4|2(x1)(y2)|2|x1|y2|1的解集.解(1)f(x)故yf(x)的图象如图所示.(2)由f(x)的解析式及图象知，当f(x)1时，可得x1或x3；当f(x)1时，可得x或x5.故
4、f(x)1的解集为x|1x3；f(x)1的解集为.【例12】 (2017全国卷)已知函数f(x)x2ax4，g(x)|x1|x1|.(1)当a1时，求不等式f(x)g(x)的解集；(2)若不等式f(x)g(x)的解集包含1，1，求a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)x2x4，f(x)g(x)x2x|x1|x1|40.当x1时，f(x)g(x)x2x40，解之得1x.当1x1时，f(x)g(x)(x2)(x1)0，则1x1.当x1时，f(x)g(x)x23x40，解得1x4，又x0的解集；(2)设g(x)|x7|3m，若关于x的不等式f(x)0，即|x2|4x2.当x2时，不等式可化为x2x
5、60，解得x2；当x0，解得x2或x1.(2)依题意，|x2|x2|x7|在xR上有解，又|x2|x7|(x2)(x7)|9，所以3m9，解得m3.故实数m的取值范围是(3，).考点二绝对值不等式性质的应用【例21】 设不等式2|x1|x2|0的解集为M，a，bM.(1)证明：；(2)比较|14ab|与2|ab|的大小，并说明理由.(1)证明设f(x)|x1|x2|由22x10，解得x.因此集合M，则|a|，|b|.所以|a|b|.(2)解由(1)得a2，b20，所以|14ab|24|ab|2，故|14ab|2|ab|.【例22】 对于任意的实数a(a0)和b，不等式|ab|ab|M|a|恒成
6、立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)(一题多解)解不等式|x1|x2|m.解(1)不等式|ab|ab|M|a|恒成立，即M对于任意的实数a(a0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.因为|ab|ab|(ab)(ab)|2|a|，当且仅当(ab)(ab)0时等号成立，即|a|b|时，2成立，也就是的最小值是2，所以M2.因此m2.(2)不等式|x1|x2|m，即|x1|x2|2.法一由于|x1|x2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和；而数轴上和对应点到1和2对应点的距离之和正好等于2，故|x1|x2|的解集为.法二当x1时，不等式为(x1)(x2)2，解得x，即
7、x2时，不等式为(x1)(x2)2，解得x，即2x.综上可知，不等式的解集是.规律方法1.求含绝对值的函数最值时，常用的方法有三种：(1)利用绝对值的几何意义；(2)利用绝对值三角不等式，即|a|b|ab|a|b|；(3)利用零点分区间法.2.含绝对值不等式的证明中，要注意绝对值三角不等式的灵活应用.【训练2】 对于任意实数a，b，已知|ab|1，|2a1|1，且恒有|4a3b2|m，求实数m的取值范围.解因为|ab|1，|2a1|1，所以|3a3b|3，所以|4a3b2|(3a3b)|3a3b|a|36，则|4a3b2|的最大值为6，所以m|4a3b2|max6，m的取值范围是6，).考点三
8、绝对值不等式的综合应用【例3】 (2017全国卷)已知函数f(x)|x1|x2|.(1)求不等式f(x)1的解集；(2)若不等式f(x)x2xm的解集非空，求m的取值范围.解(1)f(x)|x1|x2|当x1时，f(x)31无解；当1x2时，2x11，解得x1，则1x1时，等价于a1a3，解得a2.所以a的取值范围是2，).基础巩固题组(建议用时：50分钟)1.(1)求不等式|x1|x2|5的解集；(2)若关于x的不等式|ax2|3的解集为，求a的值.解(1)当x2时，不等式等价于(x1)(x2)5，解得x3；当2x1时，不等式等价于(x1)(x2)5，即35，无解；当x1时，不等式等价于x1
9、x25，解得x2.综上，不等式的解集为x|x3或x2.(2)|ax2|3，1ax0时，x，且无解；当a0时，xR，与已知条件不符；当a0时，xx1；(2)若关于x的不等式f(x)f(x)x1，当x1时，不等式化为2x2x1，解得x3.当xx1，解得x.综上所述，不等式的解集为.(2)因为f(x)f(x)|ax2|ax2|ax2ax2|4，所以f(x)f(x)的最小值为4，又f(x)f(x)4.则m的取值范围为.3.(2015全国卷)已知函数f(x)|x1|2|xa|，a0.(1)当a1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.解(1)当a
10、1时，f(x)1化为|x1|2|x1|10.当x1时，不等式化为x40，无解；当1x0，解得x0，解得1x1的解集为.(2)由题设可得，f(x)所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a1，0)，C(a，a1)，ABC的面积S|AB|(a1)(a1)2.由题设得(a1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，).4.(2018石家庄三模)在平面直角坐标系中，定义点P(x1，y1)，Q(x2，y2)之间的“直角距离”为L(P，Q)|x1x2|y1y2|，已知A(x，1)，B(1，2)，C(5，2)三点.(1)若L(A，B)L(A，C)，求x的取值范围；(2)当xR时，不等
11、式L(A，B)tL(A，C)恒成立，求t的最小值.解(1)由定义得|x1|1|x5|1，则|x1|x5|，两边平方得8x24，解得x3.故x的取值范围为(3，).(2)当xR时，不等式|x1|x5|t恒成立，也就是t|x1|x5|恒成立，因为|x1|x5|(x1)(x5)|4，所以t4，tmin4.故t的最小值为4.5.设函数f(x)|x|(xR)的最小值为a.(1)求a；(2)已知两个正数m，n满足m2n2a，求的最小值.解(1)f(x)当x(，0)时，f(x)单调递减；当x0，)时，f(x)单调递增；当x0时，f(x)的最小值a1.(2)由(1)知m2n21，则m2n22mn，得2，由于m
12、0，n0，则22，当且仅当mn时取等号.的最小值为2.能力提升题组(建议用时：30分钟)6.已知函数f(x)|2xa|2x3|，g(x)|x1|2.(1)解不等式：|g(x)|5；(2)若对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，求实数a的取值范围.解(1)由|x1|2|5，得5|x1|25，所以7|x1|3，解不等式得2x4，所以原不等式的解集是x|2x4.(2)因为对任意的x1R，都有x2R，使得f(x1)g(x2)成立，所以y|yf(x)y|yg(x)，又f(x)|2xa|2x3|2xa(2x3)|a3|，g(x)|x1|22，所以|a3|2，解得a1或a5，所以实数a的
13、取值范围是a|a1或a5.7.(2018西安模拟)已知函数f(x)|x2|，g(x)|x1|x.(1)解不等式f(x)g(x)；(2)若存在实数x，使不等式mg(x)f(x)x(mR)成立，求实数m的最小值.解(1)原不等式f(x)g(x)化为|x2|x|x1|，当x(x1)，解得x3，即3xx1，解得x1，即1x2时，x2xx1，解得x3，即x3.综上所述，不等式f(x)g(x)的解集为x|3x3.(2)由mg(x)f(x)x(mR)可得m|x2|x1|，由题意知m(|x2|x1|)min，|x2|x1|x2(x1)|3，m3，故实数m的最小值是3.8.(2018郑州模拟)已知不等式|xm|x|的解集为(1，).(1)求实数m的值；(2)若不等式对x(0，)恒成立，求实数a的取值范围.解(1)由|xm|x|，得|xm|2m2，又不等式|xm|x|的解集为(1，)，则1是方程2mxm2的解，解得m2(m0舍去).(2)m2，不等式对x(0，)恒成立等价于不等式a5|x1|x2|a2对x(0，)恒成立.设f(x)|x1|x2|当0x2时，f(x)在(0，2)上是增函数，则1f(x)3，当x2时，f(x)3.因此函数f(x)的值域为(1，3.从而原不等式等价于解得1a4.所以实数a的取值范围是(1，4.
