1、2015届河南省十所示范性高中联考高二下数学文卷【试卷综析】本试卷是高二文科期中考试卷，但是命题模式与高考一致，考查了高考考纲上的诸多热点问题，突出考查考纲要求的基本能力，重视学生基本数学素养的考查。知识考查注重基础、注重常规，也有综合性较强的问题，选做部分又充分考虑了不同学生的差异，体现了学生学习的自主性要求。试题重点考查：函数、三角函数、数列、立体几何、概率、解析几何、不等式等，涉及到的基本数学思想有数形结合、函数与方程、转化与化归、分类讨论等。试卷题目新颖，结构合理，难度适中，非常适合初次接触高考的高二学生使用。 本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题），满分为150，考试时间为120分
2、钟。第卷第22、23、24题为选考题，其他题为必考题，考生作答时，将答案答在答题卡上，在试题卷上答题无效。第卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的）1. 设集合，则（-2,1） （-1,0） （-2,0）【知识点】集合的运算【答案解析】B 解析：，则故选：B【思路点拨】解出两个集合中的不等式的解集，借助数轴求交集即可。2. 是虚数单位，复数的虚部是 2i -2i 2 -2【知识点】复数的运算，复数的分类【答案解析】D解析：，其虚部为-2，故选：D【思路点拨】根据复数代数形式的除法运算进行化简，然后利用复数虚部
3、的定义可得答案。3. 已知命题P：；命题q：若函数为奇函数，则，下列命题中真命题的是 【知识点】复合命题的真假的判断【答案解析】C解析：，即，命题P为假，若函数为奇函数，则与互为倒数，可解得，命题q为真，故答案为：C【思路点拨】复合命题的真假与构成它的简单命题的真假有关，故需要判断命题P和命题q的真假，且命题为真当且仅当两个命题都为真，据此可选出正确答案。 【知识点】含循环结构的程序框图【答案解析】B解析：第一次循环，成立，进入下一次循环；第二次循环，成立，进入下一次循环；第三次循环，成立，进入下一次循环；第四次循环，成立，进入下一次循环；第五次循环，成立，进入下一次循环；第六次循环，不成立，
4、循环结束，输出s，即判断框中的条件不成立，所以输入的N的值为6，【思路点拨】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加并输出变量S的值，要确定进行循环的条件，可模拟程序的运行，对每次循环中各变量的值进行分析，不难得到题目要求的结果【知识点】三角恒等变换；三角函数的性质【答案解析】B解析：，所以其最大值为，最小正周期是，故选：B【思路点拨】用倍角公式、辅助角公式将函数解析式化简成的形式，不难得出其最大值和周期。 【知识点】根据三视图求体积、表面积【答案解析】A 解析：由三视图可知此几何体是一个棱长为2的正方体内部挖去一个圆锥，圆锥的底面半径为1，高为2，所以
5、这个几何体的体积为故选：A【思路点拨】由三视图可知此几何体是一个正方体内部挖去一个等高的圆锥，故其体积为正方体体积减去圆锥体积，代入各自的体积公式中计算即可。【知识点】向量的加、减运算即其几何意义；向量的夹角【答案解析】D 解析：，由向量加法平行四边形法则和向量减法的三角形法则得：由两个向量为邻边平行四边形是矩形，且矩形的对角线长度为一条边所在边的2倍，所以所在的边、两条对角线的一半构成等边三角形，而的夹角就是的补角，故选：D【思路点拨】由得到以两个向量为邻边平行四边形是矩形，且一条对角线等于对角线的一半，得到特殊的关系，进而求出所求向量的夹角。【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质；等
6、比数列的前n项和【答案解析】B 解析：因为数列为等比数列，所以，且数列也是等比数列，公比为，首项为，所以=，故选：B【思路点拨】利用等比数列的前n项和公式和通项公式，得到两个关于首项和公比的式子，由等比数列的性质可得也是等比数列，代入等比数列的前n项和公式，再利用以上两个式子进行化简即可得结果。【知识点】基本不等式的应用【答案解析】C 解析：由已知得：，故选：C【思路点拨】基本不等式中有“积定和最小”，注意到已知条件中有，故把1整体代换成，与相乘，化简出现两项的积是定值，其余是常数，基本不等式求最小值即可。【知识点】复杂函数的图像【答案解析】A 解析：因为，所以函数是偶函数，图像关于x轴对称，
7、排除B、D，再取一个比较接近于零的数例如0.1，排除C，故选：A【思路点拨】分析复杂函数的图像时，一般采取排除法，从图像的对称性、特殊值、定义域、值域、单调性等方面一一排除，直至选出正确答案为止。【知识点】双曲线的简单性质；双曲线的离心率【答案解析】A 解析：若P在双曲线的右支上，则，因为,所以，又，所以，即，又双曲线的离心率大于等于1，故选：A【思路点拨】由双曲线的定义可得，结合，可解得，再，即可得双曲线离心率的取值范围。【知识点】分段函数；数形结合法【答案解析】C 解析：由函数的图像可知，当与相切时，方程只有一个根，设切点坐标为，的导数为：，由得，即此时，把这条直线绕原点逆时针方向旋转直到
8、与平行，即为止，方程有两个实根，而当时，方程有三个实根，不符合条件，所以实数a的取值范围是：故选：C【思路点拨】画出分段函数的图像，再画出的图像，可知其恒过原点，把直线的图像绕原点移动，利用数学结合法观察与直线交点的情况，从中选出符合条件的实数a的取值范围。【知识点】三角函数的诱导公式【答案解析】 解析：，故答案为：【思路点拨】观察已知角和所求角的关系，不难发现其和为，利用这个诱导公式即可得到答案。【知识点】线性规划【答案解析】8 解析：画出不等式组表示的平面区域，其形状是三角形区域，顶点坐标分别为,目标函数可化为：，表示斜率为，在y轴上的截距为，所以当直线经过可行域最下方的点时，截距最小，z
9、最大，最大值为：，故答案为：8【思路点拨】作出可行域，把目标函数变形，得到目标函数是一组平行的直线系，而z与截距有关，将直线平移，发现当它经过可行域内的点A时，截距最小，z最大，则点A为最优解，把点A的坐标代入目标函数中即可求得最大值。【知识点】求内接多面体；求的表面积和体积公式【答案解析】 解析：三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的表面上，SA平面ABC，所以可将三棱锥扩展为长方体，由AC=2,BC=,，可得，所以扩展后的长方体长为，宽高均为2，外接球的直径就是长方体的对角线的长度，球的直径2R，所以，球O的表面积为：，故答案为：【思路点拨】根据题意，三棱锥S-ABC可扩展为长方体，长方体的
10、外接球的球心就是长方体体对角线的中点，求出长方体的对角线的长度，即可求解球的半径，从而可求三棱锥S-ABC的外接球的表面积。【知识点】抛物线的简单几何性质；直线和抛物线的交点【答案解析】 解析：抛物线的焦点坐标为F:(1,0),所以射线FA的方程为：，化简得：，分别与抛物线方程和其准线方程联立，解得点M、N的纵坐标分别为：，所以,又,所以,故答案为：【思路点拨】【知识点】正余弦定理；三角形面积公式【答案解析】解：（1）由正弦定理:, 得， 即. （2）由，即余弦定理得：, 即，即， .【思路点拨】（1）由正弦定理得：，代入已知条件中，可以求出角A的正切值，进而求出角A；（2）由（1）知，再求出
11、的值，代入面积公式就可求出三角形的面积，而已知条件中有，所以再用余弦定理变形即可得到的值。【知识点】分层抽样；古典概型的概率计算公式【答案解析】解：（1） 因为，所以 所以黑米手机的总数为： 现用分层抽样的方法在在小米、红米、黑米三款手机中抽取60部手机，应在黑米手机中抽取手机数为（部）. （2）设“销售的黑米手机中经济型比豪华型多”为事件，黑米手机中经济型、豪华型手机数记为，因为，满足事件的基本事件有：，共个 事件包含的基本事件为，共7 个所以，即销售的黑米手机中经济型比豪华型多的概率为.【思路点拨】（1）由已知条件可算出经济型红米手机的数量，就可算出黑米手机的数量，按分层抽样的比例抽取即可
12、。（2）由已知可以判断出这是古典概型，列出基本事件空间，以及“销售的黑米手机中经济型比豪华型多”这一事件包含的基本事件，用古典概型的公式即可计算出概率。【知识点】面面垂直的判定；锥体的体积【答案解析】19. 解（1），为的中点， ， 又底面为菱形， ， ,又 平面， 又平面, 平面平面; （2）平面平面,平面平面, 平面平面, , 又, 平面, 又， 【思路点拨】(1)要证明平面和平面垂直，可优先考虑面面垂直的判定定理，即证明一个平面内有另一个平面的垂线，即把面面垂直转化成线面垂直，注意到已知条件中有边长相等，故可尝试用“等腰三角形底边上的中线也是底边的高线”这一结论证明线线垂直，进而证明线面
13、垂直，从而证明面面垂直。（2） 求三棱锥的体积关键是求出高和底面积，因为三棱锥的高和底面积都比较难求，故转化成求三棱锥体积，利用已知和（1）的结论可证明 平面,又，所以三棱锥的高是BC的，再求出底面积即可代入体积公式求出三棱锥的体积。【知识点】椭圆的方程和简单几何性质；直线和椭圆的位置关系；向量的数量积运算【答案解析】解：（1）圆M的圆心（3,1），r= 由题意知A(0，1)，F（c，0）直线AF的方程为，即 由直线AF与圆M相切，得，解得故椭圆C的方程为 （2）解法一 由=0知，从而直线与坐标轴不垂直，可设直线的方程为y=kx+1, 直线的方程为y=-x+1 . 联立 ，整理得（1+3k）x
14、+6kx=0, 解得x=0或x= ,故 (,) 同理 ( ), 故直线的斜率为， 即直线的方程y=直线过定点（0，-）. 解法二 由 =0知，而直线与轴不垂直，故可设直线的方程为 联立，整理得（1+3k）x+6ktx+3(t)=0 设点坐标（x,y）, (x,y)则x+x=,xx= (*) 由，得 由 =0 得=xx+(y-1)(y-1)=(1+k) xx+k(t-1)( x+x)+=0将(*)代入，得t=- ，故直线过定点（0，-）.【思路点拨】（1）椭圆方程中，故只需求出或c即可解得椭圆的方程。设椭圆的右焦点坐标为F（c，0），求出直线AF的方程，利用直线AF与圆M相切，得，解出c，再利用
15、即可得到a的值。（2） 解法一：设出直线AP的方程，由=0知，可以据此得出AQ的方程，分别与联立，解得点P、Q的坐标，用两点式写出直线的方程，就可证明出直线恒过定点（0，-）. 解法二：设直线的方程为，与方程联立，消去y，设点（x,y）, (x,y)，利用韦达定理求出x+x，代入=xx+(y-1)(y-1)=(1+k) xx+k(t-1)( x+x)+=0中，也可证明出直线的截距是定值，从而直线恒过定点（0，-）.【知识点】函数的单调性和导数；函数的最值和导数【答案解析】解： (1)在上恒成立，令，有，得即 . （2）假设存在正实数a，使 ，有最小值3， 当时，在上单调递减，在上单调递增.3，
16、即满足条件.当时，在上单调递减，=3即（舍去） 综上，存在实数，使得当时，函数有最小值3. （3）令，由（2）知. 令，当时，在 上单调递增，所以.故 ， 即 . 【思路点拨】（1）函数在是减函数，等价于在上恒成立，因为函数的定义域是，所以又等价于在上恒成立，则，解出a的范围即可。（2） 假设存在正实数a，使 ，有最小值3，然后利用导数求其最小值点，进而求出最小值并令其为3，解出此时的实数a，观察是否满足条件。（3） 要证，令，只需证的最小值大于的最大值。由（2）知再用导数求出的最大值，比较两者的大小即可。【知识点】证明四点共圆；切割线定理【答案解析】（1）连接，则，所以，所以，所以四点共圆.
17、 （2）因为，则，又为三等分，所以，又因为，所以， 【思路点拨】（1）利用圆的性质可得，证明出，即可证四点共圆.（2）由切割线定理可得和，把已知代入即可解得。【知识点】直线的参数方程；曲线的直角坐标方程；点到直线的距离公式【答案解析】（1）直线的普通方程： ； 曲线的直角坐标方程： （2）设点，则 所以的取值范围是 【思路点拨】（1）由直线的参数方程消去参数t即得到直线的普通方程；以极点为坐标原点，极轴为x轴，建立平面直角坐标系，易得曲线C的直角坐标方程，是一个圆；（2）设出点P的极坐标，代入点到直线的距离公式并化简，用三角函数的性质解得d的取值范围。【知识点】绝对值不等式的解法；含参数的绝对值不等式【答案解析】解（：1）由化简可得，即x-a1或x-aa+1或xa-1 不等式的解集为 （2）不等式等价于,即即若则原不等式的解集是=，此时 若则原不等式的解集是=，此时综上： 【思路点拨】（1）把代入要解的不等式中，将其化简成，去掉绝对值即可；（2）不等式等价于，解出x的范围，令其等于，观察并解出a的值即可。
