1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。第3课时余弦定理、正弦定理应用举例距离问题如图是隋唐天坛，古叫圜丘，它位于唐长安城明德门遗址东约950米，即今西安市雁塔区陕西师范大学以南天坛初建于隋而废弃于唐末，比北京明清天坛早1000多年，是隋唐王朝近三百年里的皇家祭天之处某数学兴趣小组为了测得天坛的直径，在天坛外围测得AB60米，BC60米，CD40米，ABC60，BCD120，据此可以估计天坛的最下面一层的直径AD大约为多少米？【问题1】怎样将上述生活实际问题转化为数学问题(数学建模)?【问题2】解决上述问题需要
2、用到我们学习的哪些数学知识？【问题3】解决上述问题还能锻炼我们的哪些能力？有关的几个术语1基线的定义在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线，一般地讲，基线越长，测量的精确度越高2方向角：指以观测者为中心，指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90的水平角，它是方位角的另一种表示形式如图，左图中表示北偏东30，右图中表示南偏西60.应用：选择合适的基线、方向角可以有效简化运算，提高测量的精确度如何不登月测量地月距离？提示：可以在地球上选两点，与月亮构成三角形，测量地球上两点的距离和这两点与月亮所成的角，通过解三角形求得地月距离1本质：基线、方向角等是在测量过程中人为设置的一些量，选择
3、合适的基线、方向角可以有效简化运算，提高测量的精确度2解与三角形有关的应用题的基本思路：测量时是否一定要选取基线？提示：测量时必须选取基线，因为无论应用正弦定理还是余弦定理解三角形时，至少应已知一边的长度1在测量过程中基线越长，测量精确度越高吗？2已知三角形的三个角，能够求其三条边吗？3两点间不可通又不可视问题的测量方案实质是构造两边及一角或两角及一边解三角形吗提示：1.是的2.不是3.是的1如图所示，为了测量隧道口AB的长度，给定下列四组数据，测量时应选用数据()A，a，b B，aC.a，b， D，b【解析】选C.选择a，b，可直接利用余弦定理AB求解2如图所示，设A，B两点在河的两岸，一测
4、量者与A在河的同侧，在A所在的河岸边先确定一点C，测出A，C的距离为50 m，ACB45，CAB105后，可以计算出A，B两点的距离为()A.50 m B50 mC.25 m D m【解析】选A.ABC1804510530，在ABC中由得AB10050 m基础类型一利用正弦、余弦定理解决简单的应用问题(数学建模、数学运算)1海上A，B两个小岛相距10 海里，从A岛望C岛和B岛成60的视角，从B岛望C岛和A岛成75的视角，则B，C间的距离是()A10海里 B海里C5海里 D5海里2已知船A在灯塔C北偏东85且到C的距离为2 km，船B在灯塔C北偏西65且到C的距离为km，则A、B两船的距离为()
5、A2 km B3 kmC km D km3如图所示，为了测定河的宽度，在一岸边选定两点A，B，望对岸标记物C，测得CAB30，CBA75，AB120 m，则河的宽度为()A230 m B240 m C50 m D60 m【解析】1.选D.根据题意，可得如图所示在ABC中，A60，B75，AB10，所以C45.由正弦定理可得，即，所以BC5(海里).2选D.如图可知ACB8565150，AC2 km，BC km，所以AB2AC2BC22ACBCcos 15013，所以AB km.3选D.在ABC中CAB30，CBA75，所以ACB75，ACBABC.所以ACAB120(m).如图，作CDAB，垂
6、足为D，则CD即为河的宽度在RtACD中，由正弦定理，得，所以，所以CD60(m)，所以河的宽度为60 m运用余弦定理、正弦定理的方法：(1)在运用正弦定理、余弦定理解决实际问题时，通常都根据题意，从实际问题中抽象出三角形，然后通过解三角形，得出实际问题的解(2)解决与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决微提醒：当题目中出现互补(余)的角时，注意补角(余角)之间的关系基础类型二与方向角有关的距离问题(逻辑推理、数学运算)【典例】如图，A，B是海面上位于东西方向相距5(3)海里的两个观测点，现位于A点北偏东45，
7、B点北偏西60的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60且与B点相距20海里的C点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D点至少需要多少小时？【思路探求】根据题目提供的方向角，求出DBA和DBC的大小，再根据题目提供的距离，解三角形【解析】由题意知AB5(3)，DBA906030，DAB45，所以ADB105，所以sin 105sin 45cos 60sin 60cos 45.在ABD中，由正弦定理得，所以BD10.又DBC180606060，BC20，在DBC中由余弦定理得CD2BD2BC22BDBC cos 603001 20021020900，所以CD30(
8、海里)，则至少需要的时间t1(小时).(1)解决与距离有关的问题，若所求的线段在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解(2)若题目中条件告诉的是方向角时，要善于根据题目提供的方向角计算解题时需要的其它角的大小微提醒：题目中有多个三角形时，解题时要写清楚是在哪个三角形中进行计算求解的某测量员做地面测量，如图，目标A与B相距3千米，从B处测得目标C在B的北偏西60的方向上，从A处测得目标C在A的正北方向，他从A向C前进2千米到达D处时，发现B，D两处也相距2千米，试求A与C的距离【解析】依题意得AB3，AD2，B
9、D2，ACB60.在ABD中，由余弦定理得cos A.所以sin A，所以sin(AC)sin (A60)sin A cos 60cos A sin 60.所以sin ABCsin 180(AC)sin (AC).在ABC中由正弦定理得，所以AC.答：A与C之间的距离为千米【加固训练】 某观测站C在城A的南偏西20的方向，由城A出发的一条公路，走向是南偏东40，在C处测得公路上B处有一人，距C为31 km，正沿公路向A城走去，走了20 km后到达D处，此时CD间的距离为21 km，问：这人还要走多少千米才能到达A城？【解析】如图，令ACD，CDB，在CBD中，由余弦定理得cos ，所以sin
10、.又sin sin (60)sin cos 60sin 60cos ，在ACD中，所以AD15(km).答：这个人再走15 km就可以到达A城综合类型函数、方程思想在正弦定理、余弦定理中的应用(逻辑推理)方程思想的应用【典例】一次机器人足球比赛中，甲队1号机器人由A点开始做匀速直线运动，到达点B时，发现足球在点D处正以2倍于自己的速度向点A做匀速直线滚动，如图所示，已知AB4 dm，AD17 dm，BAD45，若忽略机器人原地旋转所需的时间，则该机器人最快可在何处截住足球？【解析】设机器人最快可在点C处截住足球，点C在线段AD上，连接BC，如图所示，设BCx dm，由题意知CD2x dm，AC
11、ADCD(172x)dm.在ABC中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos A，即x2(4)2(172x)28(172x)cos 45，解得x15，x2.所以AC172x7(dm)或AC(dm)(舍去).所以该机器人最快可在线段AD上离A点7 dm的点C处截住足球方程思想的应用余弦定理和正弦定理涉及三个边和三个角共六个量，只要知道其中三个独立的量(必须有边)就能求出其余三个量因此，解三角形的实际应用问题中，直接求相关量较难时，通常将问题的数量关系运用这两个定理转化为数学模型(方程、方程组)加以解决函数思想的应用【典例】某港口O要将一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的轮船上，在小艇出发
12、时，轮船位于港口O北偏西30且与该港口相距20海里的A处，并正以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶假设该小艇沿直线方向以v海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？【解析】设相遇时小艇航行的距离为S海里，则S.故当t时，Smin10 ，v30 .即小艇以30 海里/时的速度航行，相遇时小艇的航行距离最小函数思想的应用将三角形中边角之间的关系问题借助余弦定理和正弦定理建立函数关系，结合有关函数的图象和性质，加以分析、转化、解决有关求取值范围、最大(小)值问题微提醒：利用函数思想解决实际问题时，要注意实际问题中量的取值范
13、围，即函数的定义域【加固训练】 如图，一辆汽车从O点出发，沿海岸一条直线公路以100千米/时的速度向东匀速行驶，汽车开动时，在O点南偏东方向距O点500千米且与海岸距离MQ为300千米的海上M处有一快艇，与汽车同时出发，要把一件重要的物品递送给这辆汽车的司机，问快艇至少以下哪个速度行驶，才能把物品递送到司机手中()A40 B50 C60 D70【解析】选CD.设快艇从M处以v千米/时的速度出发，沿MN方向航行，t小时后与汽车相遇在MON中，MO500，ON100t，MNvt.设MON，由题意，知sin ，则cos .由余弦定理，知MN2OM2ON22OMON cos ，即v2t25002100
14、2t22500100t.整理，得v23 600.当，即t时，v3 600，所以vmin60，即快艇至少须以60千米/时的速度行驶，故选CD.微提醒：本题除了利用解析中常规解题方法之外，还可以将选择项逐项代入原题，能构成三角形的选项即为答案1某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 km，那么x的值为()A B2C2或 D3【解析】选C.如图，在ABC中由余弦定理得39x26x cos 30，即x23x60，解之得x2或.2如图，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值为()A1 B
15、4C1 D1或4【解析】选B.由余弦定理，得x293x13，整理得x23x40，解得x4或x1 ，又因为x 0，所以x4.3在高出海平面200 m的小岛顶上A处，测得位于正西和正东方向的两船的俯角分别是45与30，此时两船间的距离为_m.【解析】过点A作AHBC于点H，由图易知BAH45，CAH60，AH200 m，则BHAH200 m，CHAHtan 60200 m.故两船距离BCBHCH200(1)m.答案：200(1) 4海上某货轮在A处看灯塔B在货轮北偏东75，距离为12海里；在A处看灯塔C，在货轮的北偏西30，距离为8海里；货轮向正北由A处航行到D处时看灯塔B在北偏东120，求：(1)A处与D处之间的距离；(2)灯塔C与D处之间的距离【解析】由题意，画出示意图(1)在ABD中，由已知ADB60，B45，AB12.由正弦定理得ADsin 4524(海里).(2)在ADC中由余弦定理得CD2AD2AC22ADAC cos 30242(8)22248(8)2，所以CD8(海里).即A处与D处之间的距离为24海里，灯塔C与D处之间的距离为8海里关闭Word文档返回原板块
