1、温馨提示： 此套题为Word版，请按住Ctrl,滑动鼠标滚轴，调节合适的观看比例，答案解析附后。关闭Word文档返回原板块。62平面向量的运算62.1向量的加法运算俄罗斯著名寓言作家克雷洛夫在他所著的克雷洛夫寓言中有一篇天鹅、梭子鱼和虾的故事，故事的大意是这样的：有一天，天鹅、梭子鱼和虾一起拉一车货物，天鹅想，我的家在天上，应该把货物拉到我家，于是，天鹅伸长脖子拼命往天上飞梭子鱼想，我的家在河里，应该往河里拉，于是，梭子鱼使劲往河里拽虾想，我的家在池塘里，应该把货送到池塘，于是，虾弓着身子往池塘拉他们三个累的精疲力尽，车子却纹丝不动【问题1】车子为什么纹丝不动？【问题2】这则故事给我们的启示是
2、什么？1向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法2向量求和的法则三角形法则作法已知非零向量a，b，在平面内任取一点A，作a，b，则向量叫做a与b的和，记作ab，即ab图示平行四边形法则作法已知两个不共线向量a，b，作a，b，以AB，AD为邻边作ABCD，则对角线上的向量ab.图示规定a00aa剖析向量加法的两个运算法则(1)两个法则的使用条件不同：三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量求和(2)当两个向量不共线时，两个法则是一致的三角形法则作出的图形是平行四边形法则作出图形的一半如图所示：(平行四边形法则)，又因为，所以(三角形法则).(3)在使用
3、三角形法则时，应注意“首尾连接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合，则以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量即为两向量的和；在使用平行四边形法则时应注意范围的限制及和向量与两向量起点相同两个向量相加就是两个向量的模相加吗？提示：不是两个向量的和仍是一个向量，所以两个向量相加要注意两个方面，即和向量的方向与模3|ab|，|a|，|b|之间的关系一般地，我们有|ab|a|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立向量ab与非零向量a，b的模及方向的联系(1)当向量a与b不共线时，向量ab的方向与a，b都不相同，且|ab|a|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边(2)当向
4、量a与b同向时，向量ab与a(或b)方向相同，且|ab|a|b|.(3)当向量a与b反向时，且|a|b|时，ab与b方向相同(与a方向相反)，且|ab|b|a|.4向量加法的运算律交换律结合律abba(ab)ca(bc)1.存在向量a，b，使得ab是一个实数吗？2若ab0，则一定有a0且b0吗？3在平行四边形ABCD中，一定成立吗？4.成立吗？提示：1.不存在.2.不一定.3.成立.4.成立阅读并思考教材第9页“探究”问题(1)对于两个非零的共线向量a，b，你能画图说明求两个向量的和向量的过程吗？提示：当向量a，b是共线向量时，不能用平行四边形法则作出两个向量的和向量，但可以用三角形法则作出两
5、个向量的和向量，分两向量同向和反向两种情形：同向图中ab，即为所求向量反向图中ab，即为所求向量1如图，在平行四边形ABCD中，下列结论中错误的是()A.BCD0【解析】选C.因为，所以C错误2(教材习题改编)若a表示“向东走8 km”，b表示“向北走8 km”，则|ab|_，ab的方向是_.【解析】如图所示，作a，b，则ab.所以|ab|8(km)，因为AOB45，所以ab的方向是东北方向答案：8 km东北方向基础类型一三角形法则与平行四边形法则的应用(直观想象)1如图所示的方格纸中有定点O，P，Q，E，F，G，H，则()ABC D【解析】选C.设a，利用平行四边形法则作出向量，再平移即发现
6、a.2如图，在ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，F为线段DE延长线上一点，DEBC，ABCF，连接CD，那么(在横线上只填上一个向量)：(1)_；(2)_；(3)_【解析】由已知可得四边形DFCB为平行四边形(1)易知.由三角形法则得.答案：(2)易知，所以.答案：(3).答案：3如图，已知正方形ABCD，a，b，c，试作向量abc.【解析】由已知得ab，又c，所以延长AC至E，使|，则abc，即所求，如图1应用三角形法则应注意的问题使用三角形法则求两个向量的和时，应注意“首尾相连，起点指终点”，即首尾相连的两个向量的和对应的向量是第一个向量的起点指向第二个向量的终点2应用平行四边形法则
7、应注意的问题(1)平行四边形法则只适用于求不共线的两个向量的和(2)基本步骤可简述为：共起点，两向量所在线段为邻边作平行四边形，找共起点的对角线对应的向量微提醒：当两个向量不共线时，向量加法的三角形法则和平行四边形法则是统一的【备选例题】 如图，已知向量a，b，c，d.求作abcd.【解析】在平面内任取一点O，做a，b，c，d，则abcd.【知识拓展】 向量加法的多边形法则向量加法的三角形法则可以推广为多个向量求和的多边形法则，即把每个向量平移，使这些向量首尾相连，则由第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量就是这些向量的和向量即：或这是一个极其简单却非常有用的结论(如图).利用向量加法的多
8、边形法则化简多个向量的和有时非常有效 基础类型二向量加法的性质和运算律的应用(逻辑推理、数学运算)【典例】1.设|a|8，|b|12，则|ab|的最大值与最小值分别为_，_【解析】当a，b共线同向时，|ab|a|b|81220，当a，b共线反向时，|ab|a|b|4.当a，b不共线时，|a|b|ab|a|b|，即4|ab|20，综上知，4|ab|20，所以最大值为20，最小值为4.答案：2042如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点，化简下列各式：(1)；(2).【解析】 (1)；(2)0.1向量ab与非零向量a，b的模及方向的联系(1)当向量a与b不共线时，向
9、量ab的方向与a，b都不相同，且|ab|a|b|，几何意义是三角形两边之和大于第三边(2)当向量a与b同向时，向量ab，a，b方向相同，且|ab|a|b|.(3)当向量a与b反向时，若|a|b|时，则ab的方向与a相同，且|ab|a|b|；若|a|b|时，则ab0；若|a|b|时，则ab的方向与b相同，且|ab|b|a|.2向量加法运算律的意义和应用原则(1)意义：向量加法的运算律为向量加法提供了变形的依据，实现恰当利用向量加法法则运算的目的实际上，由于向量的加法满足交换律和结合律，故多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行(2)应用原则：利用代数方法通过向量加法的交换律，使各向
10、量“首尾相连”，通过向量加法的结合律调整向量相加的顺序微提醒：注意各向量的起、终点及向量起、终点字母的排列顺序，以及0与0的区别向量()()化简后等于()A B C D【解析】选D.原式()()0.综合类型向量加法的应用(直观想象)解决与平面几何有关的问题如图，在菱形ABCD中，ABC120，|2，则|_如图，在四边形ABCD中，DADBDC，且，则ABC_【解析】如图所示，设菱形对角线交点为O.因为ABC120，所以BAD60，所以ABD为等边三角形又因为AB2，所以OB1.在RtAOB中，|，所以|2|2.答案：2因为，所以由向量的加法的几何意义可知四边形ABCD是平行四边形，又因为DAD
11、BDC，所以四边形ABCD是菱形，且DAB60，所以ABC120.答案：120点拨：两道题的背景图形是一样的，题是知道四边形ABCD的形状，考查向量加法的几何意义及平面几何知识的应用；题是知道四边形ABCD满足的条件，主要考查用向量加法的几何意义判断四边形的形状应用向量加法解决平面几何问题的关键及技巧(1)三个关键：一是搞清构成平面图形的向量间的相互关系；二是熟练找出图形中的相等向量；三是能根据三角形法则或平行四边形法则作出向量的和向量(2)应用技巧：准确画出几何图形，将几何图形中的边转化为向量；将所求问题转化为向量的加法运算，进而利用向量加法的几何意义进行求解【加固训练】 如图所示，P，Q是
12、ABC的边BC上两点，且0.求证：.【证明】因为，所以.又因为0，所以.解决与实际生活有关的问题【典例】在某地抗震救灾中，一架飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏东55的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位移的和【解析】如图所示，设，分别表示飞机从A地按北偏东35的方向飞行800 km，从B地按南偏东55的方向飞行800 km.则飞机飞行的路程指的是|；两次飞行的位移的和指的是.依题意，有|8008001 600(km).又35，55，ABC355590.所以|800(km).其中BAC45，所以方向为北偏东354580
13、.从而得出飞机飞行的路程是1600 km，两次飞行的位移和的大小为800 km，方向为北偏东80.本例中，这架飞机到达C地医院后，往正南方向飞行多大距离即可由此按正西方向飞回A地？【解析】如图，由点C作垂线，垂足为D，因为BAC45，所以CAD90354510，在RtACD中，CDAC sin 10800sin 10 km.即往正南方向飞行800sin 10 km，即可由此按正西方向飞回A地利用向量的加法解决实际应用题的三个步骤【加固训练】 一架直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40 km到B地，再由B地沿正北方向飞行40 km到达C地，求此时直升飞机与A地的相对位置【解析】如图所示，设，分
14、别是直升飞机两次位移，则表示两次位移的合位移，即.在RtABD中，|20 km，|20 km，在RtACD中，|40(km)，CAD60，即此时直升飞机位于A地北偏东30，且距离A地40 km处 创新拓展用向量方法证明几何问题(逻辑推理)【典例】如图所示，在平行四边形ABCD的对角线BD的反向延长线及延长线上取点E，F，使BEDF，求证：四边形AECF是平行四边形【证明】因为，又，所以，即AE与FC平行且相等所以四边形AECF是平行四边形用向量方法证明几何问题的策略用向量方法证明几何问题，首先要把几何问题中的边转化成相应的向量，通过向量的运算及其几何意义得到向量间的关系，然后再还原成几何问题创
15、新思维数形结合思想的应用(直观想象)【典例】设|a|2，e为单位向量，求|ae|的最大值【解析】在平面内任取一点O，作a，e，则ae，因为e为单位向量，所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，由图可知当点B在点B1时，O，A，B1三点共线，|即|ae|最大，最大值是3.【思维难点】利用向量加法的三角形法则作出向量ae，固定此向量的起点，依据e为单位向量，分析向量ae终点的位置，数形结合确定|ae|的最大值【加固训练】是否存在a，b，使|ab|a|b|？请画出图形说明【解析】存在，如图，a，b，OAOBOC，AOB120，AOCCOB60.1.等于()A B C D【解析】选C.2已知向量
16、ab，且|a|b|0，则向量ab的方向()A与向量a方向相同B与向量a方向相反C与向量b方向相同D与向量b方向相反【解析】选A.因为ab，且|a|b|0，由三角形法则知向量ab与a同向3已知D，E，F分别是ABC的边AB，BC，CA的中点，则下列等式中不正确的是()A B0C D【解析】选D.由向量加法的平行四边形法则可知，.4若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行 km”，则向量ab表示()A向东北方向航行2 kmB向北偏东30方向航行2 kmC向北偏东60方向航行2 kmD向东北方向航行(1) km【解析】选B.a表示“向东航行1 km，b表示“向北航行 km”，根据三角形法则，ab，因为tan A，所以A60，且|2(km)，所以ab表示向北偏东30方向航行2 km.5如图，已知向量a，b，求作向量ab.【解析】(1)作a，b，则ab，如图(1)；(2)作a，b，则ab，如图(2)；(3)作a，b，则ab，如图(3).关闭Word文档返回原板块
