1、第6讲正弦定理和余弦定理最新考纲掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题知 识 梳 理1正弦定理和余弦定理在ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，则正弦定理余弦定理内容2R(R为ABC外接圆半径)a2b2c22bccos A b2a2c22accos B c2a2b22abcos C常见变形(1)a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C；(2)sin A，sin B，sin C；(3)abcsin Asin Bsin Ccos A；cos B；cos C解决的问题(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角；(2)已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角
2、(1)已知三边，求三个角；(2)已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角2.在ABC中，已知a，b和A时，解的情况A为锐角A为钝角或直角图形关系式absin Absin Aababab解的个数一解两解一解一解3.三角形中常用的面积公式(1)Sah(h表示边a上的高)(2)Sbcsin Aabsin Cacsin B.(3)Sr(abc)(r为ABC内切圆半径)辨 析 感 悟1三角形中关系的判断(1)在ABC中，sin Asin B的充分不必要条件是AB. ()(2)(教材练习改编)在ABC中，a，b，B45，则A60或120.()2解三角形(3)在ABC中，a3，b5，sin A，则sin B
3、.()(4)(教材习题改编)在ABC中，a5，c4，cos A，则b6.()3三角形形状的判断(5)在ABC中，若sin Asin Bcos Acos B，则此三角形是钝角三角形()(6)在ABC中，若b2c2a2，则此三角形是锐角三角形()感悟提升1一条规律在三角形中，大角对大边，大边对大角；大角的正弦值也较大，正弦值较大的角也较大，即在ABC中，ABabsin Asin B，如(1)2判断三角形形状的两种途径一是化边为角；二是化角为边，并常用正弦(余弦)定理实施边、角转换.学生用书第63页考点一利用正弦、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2013湖南卷)在锐角ABC中，角A，B所对的边长分
4、别为a，b.若2asin Bb，则角A等于 ()A. B. C. D.(2)(2014杭州模拟)在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a1，c4，B45，则sin C_.解析(1)在ABC中，由正弦定理及已知得2sin Asin Bsin B，B为ABC的内角，sin B0.sin A.又ABC为锐角三角形，A，A.(2)由余弦定理，得b2a2c22accos B132825，即b5.所以sin C.答案(1)A(2)规律方法 已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断【训练1】
5、(1)在ABC中，a2，c2，A60，则C()A30 B45 C45或135 D60(2)在ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a2b2bc，sin C2sin B，则A()A30 B60 C120 D150解析(1)由正弦定理，得，解得：sin C，又ca，所以C60，所以C45.(2)sin C2sin B，由正弦定理，得c2b，cos A，又A为三角形的内角，A30.答案(1)B(2)A考点二判断三角形的形状【例2】 (2014临沂一模)在ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C.(1)求角A的大小；(2)若s
6、in Bsin C，试判断ABC的形状解(1)由2asin A(2bc)sin B(2cb)sin C，得2a2(2bc)b(2cb)c，即bcb2c2a2，cos A，A60.(2)ABC180，BC18060120.由sin Bsin C，得sin Bsin(120B)，sin Bsin 120cos Bcos 120sin B.sin Bcos B，即sin(B30)1.0B120，30B30150.B3090，B60.ABC60，ABC为等边三角形规律方法 解决判断三角形的形状问题，一般将条件化为只含角的三角函数的关系式，然后利用三角恒等变换得出内角之间的关系式；或将条件化为只含有边的
7、关系式，然后利用常见的化简变形得出三边的关系另外，在变形过程中要注意A，B，C的范围对三角函数值的影响【训练2】 (1)(2013山东省实验中学诊断)在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c22a22b2ab，则ABC是()A钝角三角形 B直角三角形C锐角三角形 D等边三角形(2)在ABC中，若(a2b2)sin(AB)(a2b2)sin C，则ABC的形状是()A锐角三角形 B直角三角形C等腰三角形 D等腰或直角三角形解析(1)由2c22a22b2ab，得a2b2c2ab，所以cos C0，所以90C180，即ABC为钝角三角形(2)由已知(a2b2)sin(AB)(a2b2
8、)sin C，得b2sin(AB)sin Ca2sin Csin(AB)，即b2sin Acos Ba2cos Asin B，即sin2 Bsin Acos Bsin2 Acos Asin B，所以sin 2Bsin 2A，由于A，B是三角形的内角，故02A2，02B2.故只可能2A2B或2A2B，即AB或AB.故ABC为等腰三角形或直角三角形答案(1)A(2)D考点三与三角形面积有关的问题【例3】 (2013新课标全国卷)ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知abcos Ccsin B.(1)求B；(2)若b2，求ABC面积的最大值审题路线(1)abcos Ccsin Bsin
9、Asin(BC)求出角B.(2)由得出a2与c2的关系式利用基本不等式求ac的最大值即可解(1)由已知及正弦定理，得sin Asin Bcos Csin Csin B又A(BC)，故sin Asin(BC)sin Bcos Ccos Bsin C由，和C(0，)得sin Bcos B.又B(0，)，所以B.(2)ABC的面积Sacsin Bac.由已知及余弦定理，得4a2c22accos.又a2c22ac，故ac，当且仅当ac时，等号成立因此ABC面积的最大值为1.规律方法 在解决三角形问题中，面积公式Sabsin Cbcsin Aacsin B最常用，因为公式中既有边又有角，容易和正弦定理、
10、余弦定理联系起来.学生用书第64页【训练3】 (2013湖北卷)在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A3cos(BC)1.(1)求角A的大小；(2)若ABC的面积S5，b5，求sin Bsin C的值解(1)由cos 2A3cos(BC)1，得2cos2A3cos A20，即(2cos A1)(cos A2)0，解得cos A或cos A2(舍去)因为0A，所以A.(2)由S bcsin Abcbc5，得bc20.又b5，所以c4.由余弦定理，得a2b2c22bccos A25162021，故a.又由正弦定理，得sin Bsin Csin Asin Asin2A.1
11、在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题时要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解2正、余弦定理在应用时，应注意灵活性，尤其是其变形应用时可相互转化如a2b2c22bccos A可以转化为sin2 Asin2 Bsin2 C2sin Bsin Ccos A，利用这些变形可进行等式的化简与证明答题模板6解三角形问题【典例】 (12分)(2013山东卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ac6，b2，cos B.(1)求a，c的值；(2)求sin(AB)的值规范解答(1)由余弦定理b2a2c22accos B，得b2(ac)22ac(1
12、cos B)，又b2，ac6，cos B，所以ac9，解得a3，c3， (6分)(2)在ABC中，sin B， (7分)由正弦定理得sin A. (9分)因为ac，所以A为锐角，所以cos A. (10分)因此sin(AB)sin Acos Bcos Asin B. (12分)反思感悟 (1)在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用解决三角形问题时，注意角的限制范围(2)在本题第(2)问中，不会判断角A为锐角，易造成求错cos A，导致sin(AB)的结果出
13、错答题模板第一步：定已知即梳理已知条件，确定三角形中已知的边与角；第二步：选定理即根据已知的边角关系灵活地选用定理和公式；第三步：代入求值【自主体验】已知a，b，c分别为ABC三个内角A，B，C的对边，casin Cccos A.(1)求A；(2)若a2，ABC的面积为，求b，c.解(1)由casin Cccos A及正弦定理，得sin Asin Ccos Asin Csin C0，由于sin C0，所以sin，又0A，所以A，故A.(2)ABC的面积Sbcsin A，故bc4.而a2b2c22bccos A，故b2c28，解得bc2.基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、选择题1(2013绍
14、兴模拟)在ABC中，若a2c2b2ab，则C()A30 B45 C60 D120解析由a2c2b2ab，得cos C，所以C30.答案A2(2014合肥模拟)在ABC中，A60，AB2，且ABC的面积为，则BC的长为()A. B. C2 D2解析SABACsin 602AC，所以AC1，所以BC2AB2AC22ABACcos 603，所以BC.答案B3ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b2，B，C，则ABC的面积为()A22 B.1 C22 D.1解析由正弦定理及已知条件得c2，又sin Asin(BC).从而SABCbcsin A221.答案B4ABC的内角A，B，C所对的边
15、分别为a，b，c.若B2A，a1，b，则c()A2 B2 C. D1解析由，得，所以，故cos A，又A(0，)，所以A，B，C，c2.答案B5(2013陕西卷)设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos Cccos Basin A，则ABC的形状为()A直角三角形 B锐角三角形C钝角三角形 D不确定解析由正弦定理及已知条件可知sin Bcos Ccos Bsin Csin2 A，即sin(BC)sin2 A，而BCA，所以sin(BC)sin A，所以sin2 Asin A，又0A，sin A0，sin A1，即A.答案A二、填空题6在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a
16、，b，c，若a，b2，sin Bcos B，则角A的大小为_解析由题意知，sin Bcos B，所以sin，所以B，根据正弦定理可知，可得，所以sin A，又ab，故A.答案7(2014惠州模拟)在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若(a2c2b2)tan Bac，则角B的值为_解析由余弦定理，得cos B，结合已知等式得cos Btan B，sin B，B或.答案或8(2013烟台一模)设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a1，b2，cos C，则sin B等于_解析由余弦定理，得c2a2b22abcos C4，即c2.由cos C得sin C.由正弦定理，得sin
17、 B(或者因为c2，所以bc2，即三角形为等腰三角形，所以sin Bsin C)答案三、解答题9(2014宜山质检)在ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且acbcos C.(1)求角B的大小；(2)若SABC，b，求ac的值解(1)由正弦定理，得sin Asin Csin Bcos C，又因为A(BC)，所以sin Asin(BC)，可得sin Bcos Ccos Bsin Csin Csin Bcos C，即cos B，又B(0，)，所以B.(2)因为SABC，所以acsin，所以ac4，由余弦定理可知b2a2c2ac，所以(ac)2b23ac131225，即ac5.10(20
18、13北京卷)在ABC中，a3，b2，B2A.(1)求cos A的值；(2)求c的值解(1)因为a3，b2，B2A，所以在ABC中，由正弦定理，得，所以，故cos A.(2)由(1)知cos A，所以sin A.又因为B2A，所以cos B2cos2A1，所以sin B.在ABC中，sin Csin(AB)sin Acos Bcos Asin B.所以c5.能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1(2014温岭中学模拟)在锐角ABC中，若BC2，sin A，则的最大值为()A. B. C1 D3解析由余弦定理，得a2b2c22bc4，由基本不等式可得4bc，即bc3，所以bccos Abc
19、1.答案C2(2013青岛一中调研)在ABC中，三边长a，b，c满足a3b3c3，那么ABC的形状为()A锐角三角形 B钝角三角形C直角三角形 D以上均有可能解析由题意可知ca，cb，即角C最大，所以a3b3aa2bb2ca2cb2，即c3ca2cb2，所以c2a2b2.根据余弦定理，得cos C0，所以0C，即三角形为锐角三角形答案A二、填空题3(2013浙江卷)在ABC中，C90，M是BC的中点若sinBAM，则sinBAC_.解析如图，令BAM，BAC，故|CM|AM|sin()，M为BC的中点，|BM|AM|sin()在AMB中，由正弦定理知，即，sin ，cos ，cos sin c
20、os cos2，整理得12sin cos cos2，所以1，解得tan ，故sin .答案三、解答题4(2013长沙模拟)在ABC中，边a，b，c分别是角A，B，C的对边，且满足bcos C(3ac)cos B.(1)求cos B；(2)若4，b4，求边a，c的值解(1)由正弦定理和bcos C(3ac)cos B，得sin Bcos C(3sin Asin C)cos B，化简，得sin Bcos Csin Ccos B3sin Acos B，即sin(BC)3sin Acos B，故sin A3sin Acos B，所以cos B.(2)因为4，所以|cos B4，所以|12，即ac12.又因为cos B，整理得，a2c240.联立解得或学生用书第65页
