1、56 级高二开学数学测试题 一单项选择题(本题共 8 小题，每小题 5 分，只有一项是符合题目要求的)1.在复平面内，复数2334izi+=(i 是虚数单位)，则复数 z 的共轭复数所对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限 2.一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，这个圆柱全面积与侧面积的比为（）A.122+B.144+C.12+D.142+3.如图所示，在四棱锥 PABCD中，MN，分别为 ACPC，上的点，且 MN 平面 PAD，则（）A.MNPDB.MNPAC.MNADD.以上均有可能 4.已知 ABC中，D，E，F 分别是 AB，AC，BC 的中点，则（）A.32
2、AFABBE=+B.32AFABBE=+C.32AFABBE=D.32AFABBE=5.在 ABC中，,a b c 分别是角,A B C 的对边，满足()()abcabcab+=，则 ABC的最大角为（）A.30 B.120 C.90 D.606.从某项综合能力测试中抽取 100 人的成绩，统计如表，则这 100 人成绩的标准差为（）分数 54321人数 2010303010A.3B.2 105C.3D.857.在 ABC中，,a b c 分别是角,A B C 的对边，满足2 cosbcA=，则 ABC的形状为（）A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D.锐角三角形 8.掷一枚骰子试
3、验中，出现各点的概率均为 16，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事件 B 表示“出现小于 5 的点数”，则一次试验中，事件 AB（B 表示事件 B 的对立事件）发生的概率为()A.13B.12C.23D.56二多项选择题(本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得 5 分，部分选对得 3 分，有选错的得 0 分)9.若复数21 iz=+，其中i 为虚数单位，则下列结论正确的是（）A.z 的虚部为 1B.|2|z=C.2z 为纯虚数 D.z 的共轭复数为 1i 10.有 5 件产品，其中 3 件正品，2 件次品，从中任取 2
4、 件，则互斥的两个事件是（）A.至少有 1 件次品与至多有 1 件正品B.至少有 1 件次品与都是正品 C.至少有 1 件次品与至少有 1 件正品D.恰有 1 件次品与恰有 2 件正品.11.某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90 后从事互联网行业岗位分布条形图，则下列结论正确的是（）注：90 后指 1990 年及以后出生，80 后指 1980-1989 年之间出生，80 前指 1979 年及以前出生.A.互联网行业从业人员中从事技术和运营岗位的人数占总人数的三成以上 B.互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的 20%C.互联网行业中从事运营岗
5、位的人数 90 后比 80 前多 D.互联网行业中从事技术岗位的人数 90 后比 80 后多 12.已知正方体的外接球与内切球上各有一个动点 M、N，若线段MN 的最小值为 31，则（）A.正方体的外接球的表面积为12B.正方体的内切球的体积为 43 C.正方体的棱长为 2D.线段MN 的最大值为2 3 三填空题 13.已知向量122aee=，122bee=+，其中1(1,0)e=，2(0,1)e=，a 与 b 的夹角为=_.14.在 ABC 中，若3b=，3c=，30B=，则 a 等于_.15.如图，在 ABC 中，13ANNC=，P 是 BN 上的一点，若311APABACm=+，则实数m
6、 的值为_.16.在平行四边形 ABCD中，2 2AB=，3BC=，且2cos3A=，以 BD 为折痕，将 BDC 折起，使点C 到达点 E 处，且满足 AEAD=，则三棱锥 EABD的外接球的表面积为_.四解答题(本题共 6 题，共 70 分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤)17.已知复数 w 满足()432(ww i i=为虚数单位)，52zww=+()1 求 z；()2 若()1 中的 z 是关于 x 的方程20 xpxq+=的一个根，求实数 p，q 的值及方程的另一个根 18.在 ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，并且222bcabc+=.已知_，计算 ABC
7、 的面积.请7a=，2b=，sin2sinCB=这三个条件中任选两个，将问题（1）补充完整，并作答.注意，只需选择其中的一种情况作答即可.19.如图，四棱锥 PABCD中，底面 ABCD为矩形，PA 面 ABCD，E 为 PD 的中点（1）证明：/PB平面 AEC;（2）设1AP=，3AD=，三棱锥 PABD的体积34V=，求 A 到平面 PBC 的距离 20.若 5 张奖券中有 2 张是中奖的，先由甲抽 1 张，然后由乙抽 1 张，求：（1）甲中奖的概率()P A；（2）甲乙都中奖的概率()P B；（3）只有乙中奖的概率(C)P.21.某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问
8、50 名职工，根据这 50 名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为40,50),50,60),.,80,90),90,100（1）求频率分布直方图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在40,60)的受访职工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在40,50)的概率.22.在四棱锥 PABCD中，侧面 PAD 底面 ABCD，底面 ABCD 为直角梯形，BC/AD，90ADC=，112BCCDAD=，PAPD=，,E F 为,AD PC 的中点（1）求证：PA/平面 BEF；（2）若 PC 与 AB 所成角为45，求
9、 PE 的长；（3）在（2）的条件下，求二面角 F-BE-A 的余弦值 56 级高二开学数学测试题答案 一、单项选择题：1.【答案】C【解析】()()()()2334236 17617343434252525iiiiziiii+=+，6172525zi=，其在复平面内对应的点的坐标为617,2525，位于第三象限.故选：C.2.【答案】A【解析】设圆柱底面积半径为 r，则高为 2r，全面积：侧面积=（2r）2+2r2：（2r）2这个圆柱全面积与侧面积的比为122+,故选 A3.【答案】B【解析】MN平面 PAD，平面 PAC平面 PADPA，MN平面 PAC，MNPA.故选 B.4.【答案】A
10、【解析】依题意，11()22BEBABCABBF=+=+，故32AFABBFABBE=+=+故选 A 5.【答案】B【解析】根据方程可知：222()()2abc abcaabbcab+=+=，故222abcab+=，由余弦定理得：2221cos22abcCab+=，又(0,)C，故23C=.故选：B.6.【答案】B【解析】，()()()2222121nSxxxxxxn=+=，故选 B 7.【答案】C【解析】222cos2bcaAbc+=,2222cosbcabcAb+=,即2222bbca=+,整理得:()()0ca ca+=,即ac=,则 ABC 为等腰三角形.故选：C.8.【答案】C【解析
11、】事件 B 表示“小于 5 的点数出现”，B的对立事件是“大于或等于 5 的点数出现”，表示事件是出现点数为 5 和 6事件 A 表示“小于 5 的偶数点出现”，它包含的事件是出现点数为 2 和 4，()2163P A=，()4263P B=()()211133P BP B=()()()112333P AP BP AB+=+=故选：C 二、多项选择题：9.【答案】ABC【解析】因为()()()2 122211 i1 i 12iizii=+，对于 A：z 的虚部为 1，正确；对于 B：模长2z=，正确；对于 C：因为22(1)2zii=，故2z 为纯虚数，正确；对于 D：z 的共轭复数为1 i+
12、，错误.故选：ABC.10.【答案】BD【解析】对于 A，至少有 1 件次品与至多有 1 件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于 B，至少有 1 件次品与都是正品是对立事件，属于互斥事件，故满足条件；对于 C，至少有 1 件次品与至少有 1 件正品不互斥，它们都包括了“一件正品与一件次品”的情况，故不满足条件；对于 D，恰有 1 件次品与恰有 2 件正品是互斥事件，故满足条件故选：BD 11.【答案】ABC【解析】选项 A：因为互联网行业从业人员中，“90 后”占比为 56，其中从事技术和运营岗位的人数占 的 比 分 别 为 39.6 和 17 ，则“90
13、后”从 事 技 术 和 运 营 岗 位 的 人 数 占 总 人 数 的0000000056(39.617)31.7+.“80 前”和“80 后”中必然也有从事技术和运营岗位的人，则总的占比一定超过三成，故选项 A 正确；选项 B：因为互联网行业从业人员中，“90 后”占比为 56，其中从事技 术 岗 位 的 人 数 占 的 比 为39.6 ，则“90 后”从 事 技 术 岗 位 的 人 数 占 总 人 数 的0000005639.622.2.“80 前”和“80 后”中必然也有从事技术岗位的人，则总的占比一定超过 20，故选项 B 正确；选项 C：“90 后”从事运营岗位的人数占总人数的比为0
14、0000056179.5，大于“80前”的总人数所占比 3，故选项 C 正确；选项 D：“90 后”从事技术岗位的人数占总人数的0000005639.622.2，“80 后”的总人数所占比为 41，条件中未给出从事技术岗位的占比，故不能判断，所以选项 D 错误.故选：ABC.12.【答案】ABC【解析】设正方体的棱长为 a，则正方体外接球半径为体对角线长的一半，即32 a；内切球半径为棱长的一半，即 2a.,M N 分别为外接球和内切球上的动点，min33 13 1222aMNaa=，解得：2a=，即正方体棱长为 2，C 正确，正方体外接球表面积为()24312=，A 正确；内切球体积为 43
15、，B 正确；线段 MN最大值为33 122aa+=+，D 错误.故选：ABC.三、填空题：13.【答案】2【解析】由题可知，1(1,0)e=，2(0,1)e=，则()()()1221,02 0,11,2aee=，()()()1222 1,00,12,1bee=+=+=，得()22125a=+=，22215b=+=，所以()1 221cos,055a ba ba b +=，又因为两向量的夹角范围为0,，所以 a 与 b 的夹角为 2.故答案为：2.14.【答案】2 3 或3.【解析】由正弦定理，可得 sinsinbcBC=，所以sin3 sin303sin23cBCb=，因为(0,180)C，所
16、以60C=或120C=，当60C=时，90A=，可得222 3abc=+=；当120C=时，30A=，此时3ab=，综上可得2 3a=或3a=.故答案为：2 3 或 3.15.【答案】211【解析】解法 1：因为13ANNC=，所以4ACAN=，又311APABACm=+，所以3411APABNm A=+因为点,P B N 三点共线，所以 3+4111m=，解得：211m=.解法 2：因为 APAB BP=+，设 BPBN=，所以 APABBN=+，因为13ANNC=，所以14ANAC=，又 BNANAB=，所以14BNACAB=，所以()=4141APABACABABAC=+，又311APA
17、BACm=+，所以31114m=解得：8=11211m=，所以211m=.故答案为：211.16.【答案】13【解析】在ABD中，2 2AB=，3BC=，且2cos3A=，由余弦定理，得2222cosBDABADAB ADA=+，即：()22222 232 2 2393BD=+=，解得：3BD=，在四面体 ABED 中，3AEBD=，3ADBE=，2 2ABED=，三组对棱长相等，可将四面体 ABED 放在长方体中，设长方体的相邻三棱长分别为 x，y，z，设外接球半径为 R，则229xy+=，229yz+=，228zx+=，则22213xyz+=，即213R=，所以132R=.所以，四面体 E
18、ABD外接球的表面积为：21344134R=.故答案为：13.四、解答题：17.【解析】()1()1 243wii+=+，()()()()431 24321 21 21 2iiiwiiii+=+，()()()5 2513222iziiiii+=+=+=+()23zi=+是关于 x 的方程20 xpxq+=的一个根，()()2330ipiq+=，()()8360pqp i+=，p，q 为实数，830 60pqp+=，解得6p，10q=解方程26100 xx+=，得3xi=实数6p，10q=，方程的另一个根为3xi=18.【解析】因为222bcabc+=，所以222122bcabc+=，所以1co
19、s2A=，因为(0,)A，所以3A=，若选择7a=，2b=，由2222cosabcbcA=+，得2742cc=+，即2230cc=，解得3c=（负值舍去）所以113sin23222ABCSbcA=3 32=.若选择7a=，sin2sinCB=，由sin2sinCB=以及正弦定理可得2cb=，由2222cosabcbcA=+得222742bbb=+，得273b=，所以ABCS113377 3sin2222236bcAbb=.若选择2b=，sin2sinCB=,由sin2sinCB=以及正弦定理可得2cb=，所以4c=，所以113sin2 42 3222ABCSbcA=.19.【解析】(1）设 B
20、D 交 AC 于点 O，连结 EO因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点 又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB 又 EO平面 AEC，PB平面 AEC所以 PB平面 AEC（2）1366VPA AB ADAB=由，可得.作交于 由题设易知，所以 故，又3 1313PA ABAHPB=所以到平面的距离为 法 2：等体积法 1366VPA AB ADAB=由，可得.由题设易知,得 BC假设到平面的距离为 d，又因为 PB=所以 又因为(或)，所以 20.【解析】（1）根据题意，甲中奖为事件 A，5 张奖券中有 2 张是中奖的，则甲从中随机抽取 1 张，则其中奖的概率为()25P A
21、=.（2）记甲、乙都中奖事件 B，由（1）可得，首先由甲抽一张，中奖的概率为 25，若甲中奖，此时还有 4 张奖券，其中 1 张有奖，则乙中奖的概率为 14，则甲、乙都中奖的概率()2115410P B=.（3）记只有乙中奖为事件 C，首先甲没有中奖，其概率为()231155P A=，此时还有 4 张奖券，其中 2 张有奖，则乙中奖的概率为 2142=，则只有乙中奖的概率为()3135210P C=.21.【解析】（1）因为，所以.4 分（2）由所给频率分布直方图知，50 名受访职工评分不低于 80 的频率为，所以该企业职工对该部门评分不低于 80 的概率的估计值为0.4 8 分（3）受访职工
22、评分在50,60)的有：500.006103（人），即为;受访职工评分在40,50)的有：500.004402（人），即为.从这 5 名受访职工中随机抽取 2 人，所有可能的结果共有 10 种，它们是 又因为所抽取 2 人的评分都在40,50)的结果有1 种，即，故所求的概率为 22：（1）证明：连接 AC 交 BE 于 O，并连接 EC，FO，1/,2BCAD BCAD=,E 为 AD 中点 AE/BC，且 AE=BC四边形 ABCE 为平行四边形 O 为 AC 中点 又 F 为 AD 中点 /OFPA，,OFBEF PABEF平面平面，PA/平面 BEF （2）由 BCDE 为正方形可得22ECBC=由 ABCE 为平行四边形可得 EC/ABPCE为 PCAB与所成角即045PCE=PAPDEADPEAD为中点=，侧面 PAD 底面,ABCD 侧面 PAD 底面,ABCDAD PE=平面 PAD PEABCD 平面，PEEC，2PEEC=.（3）取 PD 中点 M，连,ME MA，PADABCD面面，ADBEPADABCDAD=且面面，BE 平面 PAD，MEAFBEA为的平面角，又311,1,22EMAEAM=，33cos MEA=，所以二面角 EACB的余弦值为33
